13.1.3 反证法 课件 2025-2026学年 华东师大版数学八年级上册

13.1.3 反证法 华东师大版（2024）八年级上册 新知导入 1、下列能够判定ΔABC是直角三角形的是（ ） A.∠A：∠B：∠C＝3：4：5； B.AB：BC：AC＝3：4：5； C.∠A＝3∠B＝4∠C； D.AB＝3BC＝4AC； B 一、复习 新知导入 2、下列整数是勾股数的是（ ） A.2cm,4cm,6cm； B.4cm,6cm,8cm； C.6cm,8cm,10cm； D.8cm,10cm,12cm； C 一、复习 一、复习 3、如图，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，BD＝24cm，AD＝26cm.求四边形ACBD的面积. 解：连结AB. 在RtΔABC中，AB＝ 在ΔABD中，AB2+BD2＝102+242＝676＝262 ∴∠ABD＝90° 新知导入 一、提出问题 我们已经知道，当一个三角形的三长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2=c2时，这个三角形一定是直角三角形。那么，如果此时a2+b2≠c2，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？ 新知导入 一、认识反证法 做一做 画出以下各组数为边长的三角形，算算较短的两边长的平方和是否等于最长边的平方，再观察它们的图形，你发现了什么？ （1）a=1.0，b=2.4，c=2.6； （2）a=2，b=3，c=4； （3）a=2，b=2.5，c=3； 新知讲解 一、认识反证法 观察与发现 这是一个直角三角形 新知讲解 一、认识反证法 观察与发现 这是一个钝角三角形 新知讲解 一、认识反证法 观察与发现 这是一个锐角三角形 新知讲解 观察与发现 在ΔABC中，两个较短的边长为a、b，较长的边长为c； 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 一、认识反证法 新知讲解 一、认识反证法 猜 想 当一个三角形三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2时，这个三角形不是直角三角形. 分析与思考 从已知条件a2+b2≠c2出发，直接经过推理，得出结论，十分困难。 能否换一种方式思考问题呢？ 新知讲解 一、认识反证法 分析与思考 我们可以换一种思维方式，用如下方法证明这个结论： （1）假设它是一个直角三角形； （2）根据勾股定理，一定有a2+b2＝c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾； （3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形。 这种证明方法就是反证法 新知讲解 新知讲解 定 义 反证法是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面。 步 骤 第一步：假设结论的反面是正确的； 第二步：通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； 第三步：说明假设不成立，进而得出原结论正确. 二、反证法 新知讲解 例1、求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条直线l和m； 求证：l和m只有一个交点. 分析： 想从已知条件“两条相交直线l与m”出发，经过推理，得出结论’l与m只有一个交点’是很困难的，因此可以考虑用反证法. 二、反证法 新知讲解 例1、求证：两条直线相交只有一个交点. 已知：两条直线l和m； 求证：l和m只有一个交点. 证明：第一步：假设两条相交直线l与m不止一个交点，不妨假设l与m有两个交点A和B； 第二步：这样过点A和B就有两条直线l和m，这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾； 第三步：所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点. 二、反证法 二、反证法 练习：求证：两直线平行，同位角相等. 已知：AB⫽CD. 求证：∠AGE＝∠CHE 证明：假设∠AGE≠∠CHE，过点H作∠EHM＝∠AGE， ∵∠EHM＝∠AGE ∴AB⫽MH 于是，过点H有两条直线CD和MH都与AB平行，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾. 因此，假设不成立，∠AGE＝∠CHE. 新知讲解 新知讲解 例2、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 已知：ΔABC. 求证：ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°. 分析： （1）反证法有哪些步骤？ （2）这个命题的反面是什么？ 二、反证法 新知讲解 例2、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60° 二、反证法 已知：ΔABC. 求证：ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°. 证明：假设ΔABC中没有一个内角小于或等于60°， 即∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°. 于是有∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°＝180°， 这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾. 所以ΔABC中至少有一个内角小于或等于60°. 1、用反证法证明a≥b，对于第一步的假设，下列正确的是（ ） A.a≤b B.a≠b C.a<b D.a=b 2、用反证法证明命题“四边形中至少有一个角不小于直角”应假设（ ） A.没有一个角大于直角 B.至多有一个角不小于直角； C.每一个内角都为锐角； D.至少有一个角大于直角； C C 课堂练习 3、用反证法证明在同一平面内，a⊥c,b⊥c，则a⫽b时应假设（ ） A.a不垂直于b； B.a⊥b； C.a与b相交； D.a、b不垂直于c； 4、用反证法证明 是无理数，最恰当的假设是（ ） A. 是分数； B. 是整数； C. 是有理数； D. 是实数； C C 课堂练习 5、用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角. 已知：在ΔABC中，AB＝AC， 求证：∠B<90°,∠C<90°. 证明：假设∠B≥90° ∵AB＝AC ∴∠B＝∠C ∴∠A+∠B+∠C≥∠A+90°+90°>180° 这与三角形三个内角的和等于180°矛盾. 因此，假设不成立，∠B<90°,∠C<90°. 课堂练习 这节课有哪些收获？ 反证法 假设结论的反面成立 推证出矛盾 结论成立 课堂总结 谢谢 $