5.3.2 函数的极值与最大（小）值（七大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 题型一 函数极值的辨析 1．函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 【答案】A 【分析】由可判断函数的单调性即可得出结论. 【详解】由题意恒成立，所以在上单调递增，既无极大值也无极小值. 故选：A 2．（多选）已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 【答案】AC 【分析】根据导函数图象可得函数单调区间，从而利用单调性与导数符号判断AB，根据极小值的概念判断CD. 【详解】由图可知，故A正确，B错误； 当时，单调递增，； 当时，单调递减，； 当时，单调递增，. 所以是的极小值，不是的极小值，故C正确，D错误. 故选：AC. 3．若函数在上的最小值为4，则 ． 【答案】/ 【分析】求导，得到函数单调性，得到为在上的极小值和最小值，列出方程，求出答案. 【详解】，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为在上的极小值，也是最小值， 故，解得. 故答案为： 4．已知函数，，其中. (1)求证：对任意的，总有恒成立； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，求证：函数在区间上存在极值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依题意可得对任意的恒成立，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得证； （2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论得到在上的单调性，再结合所给区间，分3种情况讨论函数的最小值； （3）利用导数说明导函数的单调性，以及隐零点的思想证明即可. 【详解】（1）依题意对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 即对任意的恒成立； （2）因为，则， ①当时，所以在上单调递增， 当时； ②当则时，时， 即在上单调递减，在上单调递增； 又， 所以当时在上单调递增，所以； 当时在上单调递减，所以； 当，则； 综上可得. （3）因为，， 则， 令，则， 因为，所以恒成立， 所以即在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以使得， 则当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以在处取得极小值， 即函数在区间上存在极值. 题型二 函数极值点的辨析 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 【答案】C 【分析】的变号零点个数即为所求. 【详解】由图可知，的图象有三个变号零点，1个不变号零点，所以极值点的个数为3. 故选：C. 6．（多选）已知函数的极值点均为，则（   ） A．若，则 B． C．c可能为 D．b可能为1 【答案】ABD 【分析】对函数求导，问题化为两两相交且交点横坐标为正实数，结合各选项描述，并应用导数、对数函数的性质判断各项的正误. 【详解】由题设， 所以是的两个零点，即两两相交且交点横坐标均为正实数， 所以的交点横坐标为，即是的两个根， 所以的两个根为，故， 所以，，且，B对， A：当，即，显然存在一个根为1，故，则，A对， C：若，则在上存在两个根， 对于，即，仅当时取等号， 对于，则，显然有，有， 所以在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，仅当时取等号， 综上在上恒成立，故在上不存在实根，与题设矛盾，C错， D：若，由有两个正实根，结合一次函数和对数函数的图象，易知且， 由，则且，    此时，且， 同时，故，，满足前提， 综上，时，存在，且满足要求，D对. 故选：ABD 7．若函数在处有极小值，则等于 ． 【答案】108 【分析】由，求得并检验，求得的解析式，运算得解. 【详解】， 因为在处有极小值，所以， 即，解得或， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极大值，不合题意， 若，则， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在处取极小值，合题意， 所以，则. 故答案为：108. 8．设函数. (1)讨论的单调性； (2)若，为的两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分，，讨论导数的正负，得解； （2）由（1）以及有两个极值点，可得，且，代入并化简，结合基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 令，由， 当时，，由，得， 令，得， 令，得或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 当时，，则，所以在R上单调递减； 当时，，则，故，所以在R上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在和上单调递减. 当时，所以在R上单调递减. （2）由（1）知，当时，有两个极值点，且满足，不妨设， 则， 因为，且，所以， 所以， 所以的取值范围为. 题型三 求已知函数的极值 9．函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出的单调性，再结合极值即可求解. 【详解】由题意可得， 令，得或， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 所以当时，取到极小值，故C正确. 故选：C. 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．既有极大值又有极小值 B．当时，最大值为 C．有三个零点 D．若且，则 【答案】AC 【分析】根据题意，求导分析函数单调性，根据单调性确定极值，可判断AB，由零点存在定理可判断零点个数判断C，利用极值点偏移问题可证明判断D. 【详解】因为，所以. 由；由或. 所以函数在和上单调递减，在上单调递增. 所以函数的极小值为：，极大值. 故A正确，B错误； 又，. 所以在，和上各有1个零点，所以函数有3个零点，故C正确； 对D：若，且，则，. 设，. 所以. 所以， 令， ， ， ， 所以在时单调递减， 则， 即，在时单调递增， ，即， 则在时单调递减，所以， 即， 又，所以， 又，，，且在上单调递减， 所以，故D错误； 故选：AC. 11．已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的导数，再求函数的极值，根据函数有3个零点，结合三次函数的单调性和极值，列式求解. 【详解】，得， ，得，，得或， 所以的增区间是，减区间是和， 函数的极小值是，极大值是， 由条件可知函数有3个零点，所以，得. 故答案为：. 12．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 【答案】(1)1 (2)极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导数，由切线平行于直线可知道的值，建立方程解得的值； （2）由（1）得导数，令，从而得到函数单调递增区间，列表得到函数的极值. 【详解】（1）由题意得， 曲线在点处的切线平行于直线， ，； （2）由（1）可得， 令得或，列表如下： 1 3 ＋ 0 － 0 ＋ 递增 极大值 递减 极小值 递增 极大值为，极小值为. 题型四 根据极值求参数 13．已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 14．（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的极小值点为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数，利用所给极值点及极值求得，再由极值的定义验证并判断. 【详解】函数，求导得， 由，得，解得， ， 当时，有，有，是的极小值点，不符合题意； 当时，由，得或；由，得， 因此是的极小值点，是的极大值点，符合题意，ABD正确，C错误. 故选：ABD 15．已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出导函数，由题意必有两个相异实根，利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】由求导得． 因为函数在上既有极大值也有极小值， 所以必有两个相异实根，即， 解得，即实数的取值范围是． 故答案为： 16．已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 【答案】(1)， (2)1 【分析】（1）由函数解析式求导，根据可导函数取极值的必要条件，建立方程求得，利用极小值的判别方法进行检验，再根据函数解析式求值，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，求得导数与零的大小关系，明确函数的单调区间，可得答案． 【详解】（1）由题意函数，当时，取得极小值5， 可得， 所以，得， 此时； 当时，，当时，， 所以在时取极小值，符合题意； 所以，．又，所以． 即实数，； （2）由（1）可得，所以， 令解得或， 、随的变化情况如下表： 1 2 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 而，，由此可得函数的最小值为. 题型五 根据极值点求参数 17．若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 18．（多选）已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 19．设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求导，得函数的单调性，即可求解极值点，列不等式即可求解. 【详解】， 当时，在恒成立，函数没有小于0的极值点，不合题意； 当时，当且时，在单调递增，在单调递减，故是的唯一极值点，符合题意. 故答案为： 20．已知函数无零点，且有两个不同的极值点. (1)求a的取值范围； (2)求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（ⅰ）令，即，结合直线与无交点，并利用（1）的结果得到的取值范围； （ⅱ）由（1）中方程有，，化简可得，利用导数讨论单调性可得结果. 【详解】（1）由题意可得， 令，则．判别式． ①当，即时，恒成立， 即恒成立，在R上单调递增； ②当，即时，方程有2个实根， 且由求根公式可知该方程的解为， 由二次函数单调性知在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 综上，时，在R上单调递增； 时，在区间和上单调递增， 在区间上单调递减． 令，即， 由于无零点，则直线与无交点，则； 又有两个不同的极值点，由时满足题意， 故a的取值范围为． （2）由（1）中方程有，． 不妨设，． 则 ， 设函数，， 且在上恒成立，故单调递增， 且，． 故的取值范围为. 题型六 函数（导函数）图像与极值的关系 21．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】D 【分析】根据图像得到原函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对A，由图可知：函数在单调递增，在单调递减， 函数在处取得极大值，故错误； 对B，导函数在附近同号，因此在不取极值，故错误； 对C，由图，函数在区间上单调递减，故错误； 对D，由图，函数在区间上单调递减，故正确. 故选：D 22．（多选）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的极小值点为2 C．恰有2个极值点 D．的图象与轴至多有2个公共点 【答案】AD 【分析】对于ABC，导函数符号决定函数单调性、极值点情况，对于D，由函数单调性结合零点存在定理即可判断. 【详解】对于A，当时，，所以在区间上单调递增，所以A正确； 对于B，当时，，所以2不是的极小值点，所以B错误； 对于C，当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以为的极大值点，恰有1个极值点，所以C错误； 对于D，在上递增，在递减，每个单调区间最多一个零点， 所以图象与轴至多有2个公共点，当且仅当时两个，所以D正确. 故选：AD. 23．已知函数的图象如图所示，则 . 【答案】/ 【分析】利用函数的零点求出三次函数的解析式，再利用极值点是导数的零点，结合韦达定理即可求解. 【详解】由图可得函数的零点分别为， 所以， 求导得：， 由图中是函数的极值点， 所以是函数的零点，即， 故答案为： 24．设函数. (1)求的单调区间； (2)若，设，求证：不存在极大值. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，分别在、和的情况下，根据正负得到结论； （2）求得后，对进行再次求导，可求得，结合零点存在定理可说明的正负，从而得到单调性，结合极值点定义可得结论. 【详解】（1）由题意知：定义域为，； ①当时，， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当时，令，解得，； 当时，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，， 当时，；当时，； 的单调递减区间为，；单调递增区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为. （2）当时，，则， 令，则， 令，解得：，， 当时，；当时，； ，即在，上单调递增，在上单调递减， ，，又， ，使得，且当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，不存在极大值. 题型七 函数（导函数）图像与极值点的关系 25．如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 【答案】A 【分析】作出与直线平行且与的图象相切的直线，即可结合图象判断的正负性，从而判断函数单调性，从而求得函数极值点的个数. 【详解】作出与直线平行且与的图象相切的直线， 设切点的横坐标从小打到依次为， 则方程有三个根，即， 因， 则结合图象可知， 当时；时，； 时，；时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 故和为极小值点，为极大值点， 故有个极小值点，个极大值点. 故选：A. 26．（多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 【答案】BD 【分析】利用导函数的图象的正负即可判断的单调性，从而得到极值点和最值. 【详解】如图，设的图象和轴交点的横坐标从左到右依次为， 根据的图象可知， 函数在和上，单调递增， 函数在和上，单调递减， 故在上单调递增，上单调递减，故A错误； 由单调性知的极大值点为，极小值点为，故B正确； 函数的最大值是和两者中较大的一个，没有最小值，故C错误，D正确. 故选：BD.    27． 在 上有且仅有 1 个极值点，则 的取值范围为 . 【答案】 【分析】将问题转化为在上有且只有一个零点，构造函数，确定的单调性，由此解出 的取值范围. 【详解】由题意可得，则，即在上有且只有一个零点， 令，则， 当时，单调递增，单调递减， 所以单调递增， 又，，所以，， 当时，，， 当时，，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，所以， 所以 的取值范围为. 故答案为：. 28．已知函数，． (1)若，判断函数的单调性； (2)若有两极值点且，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）利用二次求导研究导函数单调性，通过导函数的最值判断符号，进而得到原函数的单调性即可； （2）由题意转化为至少两个实数根，构造函数，问题转化为研究函数的零点，按分类讨论零点个数，当均不成立；当时，存在两个零点，先确定所在区间，再将零点满足的关系式代入不等式求解，得到，将问题转化为的值域范围问题，进而探求的范围即可. 【详解】（1）若，， 则，设， 则，令，解得， 故当时，，即在单调递增； 当时，，即在单调递减； 所以在处取最大值，最大值为， 又，故，即， 所以在上单调递减. （2），. 要使有两极值点，则至少两个实数根. 设，则. 当时，没有两个极值点； 当时，，则在上单调递增， 则至多一个实数根，即也不可能有两个极值点； 当时，令，解得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 故在处有极大值，且极大值为， 要使至少两个实数根，即至少两个实数根，设两根为， 所以有，解得， 则有，且，且当，， 故有两正根，且一根在内，另一根在内，    若，则，这与已知矛盾； 故，且， 所以有， 由，则恒成立， 即， 由，得，即，解得， 由，， 构造函数， 则， 当时,，故在单调递减， 由，故，即. 当时，，故在单调递减， 故在单调递减， 则，且， 故，且满足条件. 综上所述，的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 题型一 函数极值的辨析 1．函数在上（   ） A．既无极大值也无极小值 B．有极小值无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．有极大值无极小值 2．（多选）已知函数在上的导数存在，且的图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．是的极小值 D．是的极小值 3．若函数在上的最小值为4，则 ． 4．已知函数，，其中. (1)求证：对任意的，总有恒成立； (2)求函数在区间上的最小值； (3)当时，求证：函数在区间上存在极值. 题型二 函数极值点的辨析 5．已知函数的导函数的图象如图所示，则极值点的个数为（    ）    A．1 B．0 C．3 D．2 6．（多选）已知函数的极值点均为，则（   ） A．若，则 B． C．c可能为 D．b可能为1 7．若函数在处有极小值，则等于 ． 8．设函数. (1)讨论的单调性； (2)若，为的两个极值点，求的取值范围. 题型三 求已知函数的极值 9．函数的极小值是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．既有极大值又有极小值 B．当时，最大值为 C．有三个零点 D．若且，则 11．已知函数，若存在三个互不相等的实数m，n，p，使得，则实数a的取值范围是 ． 12．已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线. (1)求的值； (2)求函数的极值. 题型四 根据极值求参数 13．已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（多选）已知函数在处取到极大值1，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D．的极小值点为 15．已知在上既有极大值也有极小值，则实数的取值范围是 ． 16．已知函数，当时，取得极小值5. (1)求的值； (2)当时，求的最小值. 题型五 根据极值点求参数 17．若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 18．（多选）已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（    ） A．-2 B．-1 C．0 D． 19．设，若函数有小于零的极值点，则实数的取值范围为 . 20．已知函数无零点，且有两个不同的极值点. (1)求a的取值范围； (2)求的取值范围. 题型六 函数（导函数）图像与极值的关系 21．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．函数在处取得极小值 B．函数在处取得极大值 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 22．（多选）已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递增 B．的极小值点为2 C．恰有2个极值点 D．的图象与轴至多有2个公共点 23．已知函数的图象如图所示，则 . 24．设函数. (1)求的单调区间； (2)若，设，求证：不存在极大值. 题型七 函数（导函数）图像与极值点的关系 25．如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（    ）． A．1个极大值点，2个极小值点 B．2个极大值点，1个极小值点 C．3个极大值点，无极小值点 D．2个极小值点，无极大值点 26．（多选）设是函数的导函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）    A．函数在区间上单调递减 B．函数一定有三个极值点 C．函数一定有最小值 D．函数一定有最大值 27． 在 上有且仅有 1 个极值点，则 的取值范围为 . 28．已知函数，． (1)若，判断函数的单调性； (2)若有两极值点且，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $