精品解析：湖南省长沙市长沙县 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级期中质量监测试卷 数学 时量：120分钟　总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程． A：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意； B：方程中含有分式项 ，不是整式方程，故本选项不符合题意； C：方程中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，故本选项符合题意； D：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，“瓦当”上的图案设计优美，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．熟知二者的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 3. 将抛物线向下平移10个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，掌握上加下减是解题的关键． 抛物线上下平移只改变常数项，向下平移10个单位即在函数值上减去10． 【详解】解：∵原抛物线为，向下平移10个单位长度， ∴新抛物线为． 故选：B． 4. 用配方法解方程．下列配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方． 在方程两边同时加上4，即可解答． 【详解】解：∵ 方程 中，二次项系数为1，一次项系数为4， ∴ 两边同时加4，得 ，即 ， 故选：B． 5. 抛物线的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 6. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水在时沸腾 B. 当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C. 在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D. 使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类，掌握随机事件的定义，关键区分事件是否具有确定性． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，选项A、B、C描述的事件都是必然发生的，属于必然事件；选项D描述的事件具有不确定性，属于随机事件． 【详解】解：∵ A：在标准大气压下，水在时沸腾是必然事件； B：当水位高于平台时，江水漫上洲岸是必然事件； C：三角形内角和恒为是必然事件； D：抽奖赢得奖励可能发生也可能不发生，是随机事件． 故选：D． 7. 为推进五育并举，长沙某中学在校园文化节中组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），设邀请个球队参加比赛，由此可得方程． 【详解】解：设邀请个球队参加比赛， 根据题意得：， 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质可得，结合可得． 【详解】解：四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 故选C． 9. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ， ， ． 故选：A． 10. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与各项系数的符号关系是解题的关键．根据抛物线开口方向、与y轴的交点以及对称轴可得到a、b、c的符号及a与b的关系，即可判断A、B、D选项，根据函数的最值即可判断C选项． 【详解】解：∵抛物线交y轴于负半轴， ∴当时，，故A选项错误； ∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即，故B选项错误； ∵当时，；当时，， 又抛物线开口向上，其对称轴为直线，即当时，y取得最小值， ∴，故C选项正确； ∵， ∴，故D选项错误． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的点，横纵坐标都变成相反数解答即可，掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知二次函数的图象上有两点，，则_____．（请在横线上填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据抛物线开口向下，对称轴为直线，则在时，随的增大而减小，即可解答 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为负，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 若是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二方程的根，理解根的含义，代入求值是关键． 将 代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：把 代入方程 得 ，即 ， 所以 ， 解得， 故答案为：2． 14. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理的应用． 根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求解； 【详解】解：， ，， 在中，． 故答案为：5． 15. 某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活_____棵． 【答案】36000 【解析】 【分析】根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在，解答即可． 本题考查了频率估计总体，熟练掌握频率的意义是解题的关键． 【详解】解：根据分布信息，判定这种树苗的成活率稳定在， 故40000棵这种树苗成活数量为：（棵）， 故答案为：36000． 16. 某公园计划在圆形花坛（圆心为点）外围安装景观照明系统．如图，工程师从花坛外一点引出两条灯带和，分别与花坛相切于点、，使两条灯带在点处形成的夹角（即）．已知花坛半径米，则单条灯带的长度等于_____米．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 根据切线的性质可得，然后根据勾股定理计算． 【详解】解：和分别与花坛相切于点、，， ， （米）， （米）． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择适当方法解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，解题的关键在于掌握解一元二次方程的各种方法，并且根据方程选择合适的方法尤为重要． （1）根据方程情况提公因式，分别令或，即可求解； （2）根据方程情况选用公式法，分别找到二次项系数，一次项系数，常数项，然后验证的情况，看有没有实数根，然后根据公式，即可求解． 【小问1详解】 解：， 提公因式得， 或， 故，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 故，． 18. 已知抛物线经过点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）若随的增大而减小，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握待定系数法，函数增减性是关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数解析式得到对称轴直线，根据二次函数图象的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：把点，代入抛物线， 得， 解得， 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由得，该抛物线的对称轴为， ， 当时，随的增大而减小， ∴x的取值范围为． 19. 如图是一个的方格纸，其中小正方形的顶点叫做“格点”，点，，，都在格点上． （1）在图①中，作出关于点的中心对称图形； （2）在图②中，以点为中心，把逆时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了利用中心对称作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点关于点O中心对称的点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点O逆时针旋转后的对应点的位置，再顺次连接即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 20. 为传承湖湘文化，我市某中学计划开展“走进长沙老街”研学活动．为了解同学们对这项活动的参与态度，学校随机对部分学生进行了问卷调查，将反馈情况划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不参与．根据调查结果绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 学生参与“走进长沙老街”研学活动态度统计表 类别 人数 所占百分比 A 18 B 20 40% C 16% D 4 8% 合计 100% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）求的值，并补充条形统计图； （3）在本次研学活动中，九年级一班积极参与的4名同学中，恰好有2名男生和2名女生，从中随机选取2人进行湖湘文化介绍，试用画树状图法或列表法求所选的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）， （2） 条形图补充如下： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握以上知识是关键． （1）根据一定参与的人数与所在百分比得到样本容量，根据某项百分比的计算求解得到； （2）根据样本容量与所占百分比即可求解和作图； （3）运用列表法或画树状图法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，B.一定参与的人数为20，所占百分比为， ∴（人）， ∴，； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：记两名男生为，，两名女生为，，所有等可能得结果列举如下： 一共有12种等可能的结果，其中1名男生，1名女生的结果有8种， 故所选的2人恰好是1名男生和1名女生的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程中，根的判别式和韦达定理，解题的关键是掌握根的判别式和韦达定理的公式． （1）因为是一元二次方程，所以；有实数根，则，解出不等式，求出的取值范围即可； （2）应用韦达定理，表示出，，代入条件，求出值，同时记得检验． 【小问1详解】 根据题意，一元二次方程有实数根， 则且， 即 ∴且， 故的取值范围是且． 【小问2详解】 由题意得，， ， ， 解得，经检验，符合题意． 故． 22. 长沙县某农业科技园，为培育生态茶园所需的有益微生物，引进了100个活体样本．经过两轮培养后，有益微生物总数达到10000个． （1）求每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌． （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有多少个有益菌？ 【答案】（1）每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出9个有益菌 （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为100000个 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，掌握该知识点是解题的关键． （1）设每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出个有益菌，则第一轮分裂后共有个，第二轮分裂后共有个，建立方程求出其解就可以； （2）根据（1）可得第三轮分裂后共有个有益菌，结合的值即可解答． 【小问1详解】 解：设每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出个有益菌， 解得，（不合题意，舍去） 答：每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出9个有益菌． 【小问2详解】 解：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为 （个） 答：按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有有益菌的数量为100000个． 23. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的直径． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ， ，且为的半径， 直线是的切线． （2）8 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分定理、等边对等角、圆切线的判定及勾股定理等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键． （1）由角平分线定理得，又，可得，结合即可证明即可证明； （2）在中，利用勾股定理求出半径，进而得到的直径． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得，，为的半径， 在中，由勾股定理， 的直径为8． 24. 我们约定：在平面直角坐标系内不重合两点若满足：，，且，则称点，点是一对“镜像点”；若函数图象上有一对或一对以上“镜像点”，则称该函数为“镜像函数”．根据上面约定，解答下列问题． （1）试判断下列每组点是否一定为“镜像点”．若一定是“镜像点”，请在括号内划“√”；若不一定是“镜像点”，请在括号内划“×”． ①点和一定是一对“镜像点”（ ）； ②点和点一定是一对“镜像点”（ ）； ③点和点一定是一对“镜像点”（ ）． （2）若一次函数是“镜像函数”，记该图象上的一对“镜像点”为，，请求出该“镜像函数”与坐标轴围成的三角形的面积． （3）若二次函数是“镜像函数”，记该图象上的一对“镜像点”为，，当时，求的值． 【答案】（1）①√；②√；③× （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据“镜像点”的定义判断即可； （2）把点，代入，求得一次函数的解析式，即可解答； （3）把点，代入，整理得，然后设直线的解析式为，代入求得直线的解析式，然后联立两个解析式，得到，根据一元二次方程根与系数的关系得到，最后结合两点距离公式得到，即可求解． 【小问1详解】 解：①点和，符合“镜像点”的定义，一定是一对“镜像点”， ②点和点，符合“镜像点”的定义，一定是一对“镜像点”， ③点和点，当时，不满足“镜像点”的定义中的条件，所以不一定是一对“镜像点”； 故答案为：①√；②√；③×． 【小问2详解】 解：由题意，把点，代入， 得 解得， ∴， ∴该函数与坐标轴的交点坐标为，， ∴该“镜像函数”与坐标轴围成的三角形的面积为． 【小问3详解】 解：由题意，把点，代入， 得 整理得， 设直线的解析式为， 代入得 解得 ∴直线的解析式为， 联立得 消去得， ∵m、n为方程的解， ， ， 解得，（经检验，符合题意） ∴当时，的值为． 【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴所围面积，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，已知坐标求两点距离公式等知识点，熟练掌握以上知识点，求得和的值是解题的关键． 25. 如图，在中，，点是边上的动点，设，将以点为中心，逆时针旋转得到，连接，． （1）如图①，当时，求证：； （2）在（1）的条件下，若，当点运动时，求面积的最大值； （3）如图②，当时，求证：． 【答案】（1） 证明：由旋转得，，， 是等边三角形， ； （2） （3） 证明：由题意，，，， ，都是等腰直角三角形， ， 又，， ， ， ，， ，是直角三角形， 在中，由勾股定理得，， ， 在中，由勾股定理得，， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据旋转，可得，，从而知道是等边三角形，从而得证； （2）过点作，交的延长线于点，设，先证明，得到，，推出，那么，， ，，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）由题意，，，，接着证明，得到，，从而得到是直角三角形，然后利用勾股定理即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如下图，过点作，交的延长线于点，设， 则由（1）得，，且， ，都是等边三角形， ， ， ，， ， ∴， ，， ∵ ∴， ， ， 当时，最大值． 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值问题，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中质量监测试卷 数学 时量：120分钟　总分：120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，“瓦当”上的图案设计优美，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移10个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程．下列配方的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的图像大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 在标准大气压下，水在时沸腾 B. 当湘江水位高于橘子洲亲水平台，江水必然会漫上洲岸 C. 在同一平面内任意画一个三角形，它的内角和为 D. 使用手机绿色出行小程序，在一次碳积分抽奖中赢得奖励 7. 为推进五育并举，长沙某中学在校园文化节中组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只比赛一场），赛程计划安排9天，每天安排5场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？若设应邀请支球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 点关于原点的对称点的坐标是______． 12. 已知二次函数的图象上有两点，，则_____．（请在横线上填“”“”或“”） 13. 若是方程的一个根，则的值为_____． 14. 如图，是的直径，弦于点，连接，若，，则_____． 15. 某地持续推进“绿色走廊”生态建设，为评估某本土树种在城区的移植成果情况，县园林绿化中心对近年来该树种移植成果进行跟踪统计，并绘制了如上所示统计图．若该地区已经移植了这种树苗40000棵，请根据统计图提供的信息，估计这种树苗成活_____棵． 16. 某公园计划在圆形花坛（圆心为点）外围安装景观照明系统．如图，工程师从花坛外一点引出两条灯带和，分别与花坛相切于点、，使两条灯带在点处形成的夹角（即）．已知花坛半径米，则单条灯带的长度等于_____米．（结果保留根号） 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 选择适当方法解方程． （1）； （2）． 18. 已知抛物线经过点，． （1）求该抛物线的解析式； （2）若随的增大而减小，试求的取值范围． 19. 如图是一个的方格纸，其中小正方形的顶点叫做“格点”，点，，，都在格点上． （1）在图①中，作出关于点的中心对称图形； （2）在图②中，以点为中心，把逆时针旋转，画出旋转后的． 20. 为传承湖湘文化，我市某中学计划开展“走进长沙老街”研学活动．为了解同学们对这项活动的参与态度，学校随机对部分学生进行了问卷调查，将反馈情况划分为四个类别：A．积极参与；B．一定参与；C．可以参与；D．不参与．根据调查结果绘制了如下不完整的统计表和条形统计图． 学生参与“走进长沙老街”研学活动态度统计表 类别 人数 所占百分比 A 18 B 20 40% C 16% D 4 8% 合计 100% 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ； （2）求的值，并补充条形统计图； （3）在本次研学活动中，九年级一班积极参与的4名同学中，恰好有2名男生和2名女生，从中随机选取2人进行湖湘文化介绍，试用画树状图法或列表法求所选的2人恰好是1名男生1名女生的概率． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为，，当时，求的值． 22. 长沙县某农业科技园，为培育生态茶园所需的有益微生物，引进了100个活体样本．经过两轮培养后，有益微生物总数达到10000个． （1）求每轮培养中，平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌． （2）按照这样的分裂速度，经过三轮培养后，共有多少个有益菌？ 23. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． （1）求证：直线是的切线； （2）若，，求的直径． 24. 我们约定：在平面直角坐标系内不重合两点若满足：，，且，则称点，点是一对“镜像点”；若函数图象上有一对或一对以上“镜像点”，则称该函数为“镜像函数”．根据上面约定，解答下列问题． （1）试判断下列每组点是否一定为“镜像点”．若一定是“镜像点”，请在括号内划“√”；若不一定是“镜像点”，请在括号内划“×”． ①点和一定是一对“镜像点”（ ）； ②点和点一定是一对“镜像点”（ ）； ③点和点一定是一对“镜像点”（ ）． （2）若一次函数是“镜像函数”，记该图象上的一对“镜像点”为，，请求出该“镜像函数”与坐标轴围成的三角形的面积． （3）若二次函数是“镜像函数”，记该图象上的一对“镜像点”为，，当时，求的值． 25. 如图，在中，，点是边上的动点，设，将以点为中心，逆时针旋转得到，连接，． （1）如图①，当时，求证：； （2）在（1）的条件下，若，当点运动时，求面积的最大值； （3）如图②，当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $