精品解析：山西省长治市黎城县部分学校2025-2026学年上学期期中测试七年级数学试卷

2025-2026学年度八年级上学期期中综合评估 数学 上册10.1~12.2 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 9的平方根是（ ）． A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用平方根的意义进行求解即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的意义是解题的关键． 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：A、不是无理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、不是无理数，不符合题意； D、不是无理数，不符合题意； 故选：B． 3. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则“”覆盖的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 覆盖的是：， 故选：D． 4. 要使式子有意义，则x可取的数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 观察四个选项，x可取3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 5. 在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法． 根据证明即可． 【详解】解：∵为边上的中线， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，根据立方根的定义可判断A；根据全等三角形的性质可判断B；根据平行线的性质可判断C；根据绝对值的定义可判断D． 【详解】解：A、负数也有立方根，原命题是假命题，符合题意； B、全等三角形的对应角相等，原命题是真命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题是真命题，不符合题意； D、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等，原命题是真命题，不符合题意； 故选：A． 7. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简． 利用平方差公式简化表达式，然后合并同类项即可． 【详解】解：． 故选：B． 8. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据，得，又因为，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故选：B． 9. 小晋是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：西、爱、我、山、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 美我山西 C. 山西游 D. 我爱山西 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将原式提取公因式后，进一步利用平方差公式因式分解，得到四个因式，分别对应“爱”、“我”、“西”、“山”四个字，组合后即为“我爱山西”． 【详解】∵ 原式 ， 根据对应关系： → 我， → 爱， → 山， → 西， ∴ 结果呈现的密码信息为“我爱山西”． 故选：D． 10. 将图1所示的张长为，宽为的长方形纸片按照图2所示的方式不重复地放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，这两个长方形的面积分别为，．若的值与边的长度无关，则，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，观察图形，求出长方形的宽和长，进一步求出面积为和面积为的长方形的长和宽，继而表示出，，再代入并进行化简，再根据的值与边的长度无关可得结论．解题的关键是观察图形，表示出长方形的长和宽． 【详解】解：由图形可知：长方形的宽为，长为， ∴面积为的长方形的长为，宽为， 面积为的长方形的长为，宽为， ∴，， ∴ ， ∵的值与边的长度无关， ∴，即， ∴，之间的数量关系是． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆应用以及同底数幂的乘法，利用指数法则和负数的奇数次幂性质，将原式化简为同底数幂的乘法，再计算指数运算． 【详解】解：， ． 故答案为：． 13. 若多项式是一个完全平方式，则正数的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，根据是一个完全平方式，则，整理得或，又因为为正数，故，即可作答． 【详解】∵多项式是一个完全平方式，且 ∴， 则， ∴或， ∵为正数， ∴， 故答案为：8． 14. 规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，涉及算术平方根和取整运算，根据定义，逐步计算2025的算术平方根并取整，直到结果为1． 【详解】解：对2025进行操作： 第一次操作，； 第二次操作，； 第三次操作，； 第四次操作，， 故进行了4次操作后变为1， 故答案为：4． 15. 如图，在中，，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，，，，是的中点．两点同时出发，当一个点到达终点时，运动停止．设运动时间为秒，当_______秒时，与全等． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是关键． 根据题意得到，结合全等三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，设运动时间为秒， ∴， ∵，是的中点， ∴， 当，时， ∵， ∴， ∴， 解得，； 当时， 又∵， ∴， ∴， 解得，， 当时，，故此种情况不符合题意； 综上所述，时，与全等． 故答案为：3 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查平方根与立方根的运算，以及整式的乘法和乘法公式的应用．本题需注意运算顺序及符号处理，尤其是平方项的负号需在平方后处理以及完全平方公式的符号处理及合并同类项的准确性． （1）依次计算立方根、平方、平方根，再进行加减运算，注意符号的处理； （2）展开括号并合并同类项，需注意符号处理以及完全平方公式的应用． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 一个正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求和的值． （2）求的立方根． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，立方根，已知一个数的平方根，求这个数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一个数的平方根有两个，互为相反数，进行列式计算，得，再求出，即可作答． （2）先分别把代入进行计算，再求出它的立方根，即可作答． 【小问1详解】 解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和 ∴， ∴， 则， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 则的立方根是． 18. 如图，在和中，，，与相交于点．求证：． 【答案】 证明：， 和均为直角三角形， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． 根据条件先利用证明，即可证明． 【详解】略． 19. 如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 【答案】（平方米） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可． 【详解】解： （平方米）， ∴扩建后的长方形的花园面积为（平方米）． 20. 如图，是的边上一点，，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，再利用证明，利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质求出的长，再根据线段的和差关系可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 21. 阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式中的一次项去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果：． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则_______． 【答案】任务一：B；任务二：；任务三： 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法，解题关键是：掌握多项式乘多项式的运算规则． 任务一：找到两种乘法之间的共同点，是类比思想； 任务二：根据多项式乘以多项式的竖式乘法，即可求解； 任务三：根据多项式乘以多项式的竖式乘法先计算，再根据结果中不含的一次项，即可求解． 【详解】解：任务一：根据由多项式乘以单项式的项式乘法到多项式乘以多项式的竖式乘法，是类比思想， 故选：B； 任务二： 列竖式如下： 故； 任务三： 列竖式如下： ， ， ∵多项式与相乘的结果中不含的一次项， ∴， 故． 22. 综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． （1）根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． （2）将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 【答案】（1） （2）①；②60平方厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）大正方形的面积等于其边长的平方，大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，据此用两种方法表示出大正方形的面积即可得到答案； （2）①大长方形面积等于其长乘以其宽，大正方形面积等于四个正方形面积加上五个长方形面积，据此用两种方法表示出大长方形的面积即可得到答案；②根据阴影部分的面积可以推出，根据大长方形的周长可推出，再由完全平方公式的变形求出的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：图1中大正方形的边长为，则其面积为， 图1中大正方形的面积等于三个正方形的面积加上六个长方形面积，则其面积为， ∴； 【小问2详解】 解：①图2的最大的长方形面积为，其面积又为， ∴； ②∵阴影部分的面积为80平方厘米， ∴， ∴， ∵大长方形纸板的周长为48厘米， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴空白部分的面积为60平方厘米． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期期中综合评估 数学 上册10.1~12.2 说明：共三大题，23小题，满分120分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 9的平方根是（ ）． A. B. 3 C. D. 2. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 墨迹覆盖了等式“”中的运算符号，则“”覆盖的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使式子有意义，则x可取的数是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 在中国的传统建筑中，房梁通常采用三角形结构，工匠通过确保三角架全等来保证结构的稳定．如图，该房梁的三角架可抽象成，，为边上的中线，则判定的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是假命题的是（ ） A. 负数没有立方根 B. 全等三角形的对应角相等 C. 两直线平行，同位角相等 D. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 7. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 小晋是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：西、爱、我、山、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美 B. 美我山西 C. 山西游 D. 我爱山西 10. 将图1所示的张长为，宽为的长方形纸片按照图2所示的方式不重复地放在长方形内，未被覆盖的区域恰好构成两个长方形，这两个长方形的面积分别为，．若的值与边的长度无关，则，之间的数量关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解： ________． 12. 计算的结果是______． 13. 若多项式是一个完全平方式，则正数的值为______． 14. 规定：对于任意实数，可用表示不超过的最大整数，如：，．现对38进行如下操作：，这样对38只需进行3次操作后变为1．某同学对实数2025进行了次操作后变为1，那么的值为______． 15. 如图，在中，，分别从，出发，均以每秒1个单位长度的速度沿，运动，，，，是的中点．两点同时出发，当一个点到达终点时，运动停止．设运动时间为秒，当_______秒时，与全等． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 一个正数的两个不同的平方根分别是和． （1）求和的值． （2）求的立方根． 18. 如图，在和中，，，与相交于点．求证：． 19. 如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园．请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． 20. 如图，是的边上一点，，交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 阅读下列材料，完成相应的任务： 我们曾经学习过多项式乘单项式，多项式乘多项式． 类比整数的乘法运算，我们可以将多项式乘单项式用列竖式方法进行运算． 如：． 用如下列竖式的方法计算： 如果是多项式乘多项式，也可以类比整数乘法用列竖式方法进行运算，计算步骤如下： （1）先把多项式与分别按字母的次数从高到低排列； （2）用多项式中的常数项3去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （3）再用多项式中的一次项去乘多项式的每一项，把所得结果写在下面，并把次数相同的项对齐； （4）最后把两次乘得的结果与相加得． （5）写出结果：． 任务一： 材料中，用列竖式的方法计算多项式乘单项式及多项式乘多项式体现的数学思想是（）； A．数形结合思想B．类比思想C．分类讨论思想D．转化思想 任务二： 请你用列竖式方法计算：； 任务三： 若多项式与相乘的结果中不含的一次项，则_______． 22. 综合与实践 【问题情境】 著名数学家华罗庚对“数形结合”思想有一段精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难人微；数形结合百般好，隔裂分家万事非．”深刻阐释了代数与几何的辩证关系．请你利用数形结合的思想解决以下数学问题． （1）根据图1中大正方形面积的两种不同表示方法，可得出代数恒等式： ． （2）将一张大长方形纸板按图2中所示方式裁剪成9块，其中有2块是边长为厘米的大正方形，2块是边长为厘米的小正方形，5块是长为厘米，宽为厘米的完全相同的小长方形，且． ①观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分的面积为80平方厘米，大长方形纸板的周长为48厘米，求图2中空白部分的面积． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $