专题4.3一元一次方程实际应用--问题解决全攻略(15大题型+知识梳理+题型精析)讲义 2025-2026学年苏科版七年级数学上册)

本讲义聚焦一元一次方程的实际应用，衔接方程解法，通过配套、工程、销售等15类题型覆盖生活场景，以基础解题六步为通用流程，各题型核心公式与易错点为具体学习支架。 资料特色为分层例题设计（基础到拓展），结合生活实际（如水电费、古代问题）培养数学眼光与模型意识，规范解题步骤与易错点警示发展数学思维，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

专题4.3一元一次方程的实际应用 -----问题解决全攻略 题型01 一元一次方程应用之配套问题 题型02一元一次方程应用之工程问题 题型03一元一次方程应用之销售盈亏问题 题型04一元一次方程应用之比赛积分问题 题型05一元一次方程应用之方案选择问题 题型06一元一次方程应用之数字问题 题型07一元一次方程应用之几何问题 题型08一元一次方程应用之动点问题 题型09一元一次方程应用之和差倍分问题 题型10一元一次方程应用之水电费问题 题型11一元一次方程应用之行程问题 题型12一元一次方程应用之比例问题 题型13一元一次方程应用之日历问题 题型14一元一次方程应用之古代问题 题型15一元一次方程应用之其他问题 一.基础解题六步（必背核心流程） 1.审题析意，找等量关系.心是找出不变量或固定关系（如路程公式、利润公式、配套比例、总量守恒等），这是列方程的依据。 2.巧设未知数，简化表达.优先设标准量、较小量或题目直接所求量为x 3.依据关系，列一元一次方程.将第二步中表示的各量，代入第一步找到的等量关系，用等号连接，形成一元一次方程。注意方程两边的单位需统一，表达式需符合数学规范。 4.规范解方程，求未知数值.按照一元一次方程的标准步骤求解：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1。计算过程中注意符号变化和运算准确性，避免粗心错误。 5.检验验证，贴合实际意义.检验分两步：一是代入原方程，验证解是否使左右两边相等；二是检验解是否符合实际场景（如人数、数量为正整数，长度、费用为正数等），不合题意的解需舍去。 6.完整作答，梳理所求量 二、进阶注意事项（适配复杂应用题） 1.多量关联场景：涉及三个及以上量时，先梳理量与量的连锁关系，再设元表示，避免混淆； 2.分段计费 / 形变场景：明确分段节点（如阶梯电费的档位数）或形变不变量（如剪拼图形的周长 / 面积不变），分情况列方程； 3.含隐藏条件场景：注意题目中 “不超过”“至少”“刚好配套” 等隐含要求，检验时需兼顾这些条件。 题型01 一元一次方程应用之配套问题 一、核心定义 是根据两种或多种物品的配套比例关系，建立数量等式， 二、核心解题原则 1.找准配套比例 2.确定数量关系：套问题中，两种物品的数量需满足 “甲物品数量 × 甲的配套份数 = 乙物品数量 × 乙的配套份数”，确保恰好配套，无剩余或短缺。 3.统一单位与范围： 三、易错点警示 1.比例颠倒错误:混淆配套比例的前后项 2.忽视实际意义:解得未知数为负数或小数，未检验并调整（如人数、物品数量必须为正整数）。 3.漏用总条件:未结合题目中 “总人数”“总材料” 等限制条件，导致无法完整表达两种物品的数量关系。 【基础题1】．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，求应安排多少个工人挖土？ 【提升题2】．在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【拓展题3】．1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 题型02 一元一次方程应用之工程问题 一、核心定义 本质是围绕工作总量、工作效率和工作时间三者的数量关系，解决工程施工中的分配、完成进度等问题。 二、核心公式 工程问题的所有运算均基于以下三个基础公式，三者可相互变形，适配不同问题场景： 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 变形公式 1：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 变形公式 2：工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 三、易错点警示 1.效率与时间混淆：误将完成工程的时间当作效率（如甲 10 天完成，错设效率为 10，正确应为101​）。 2.合作时间计算错误：中途有人停工或增减时，未准确计算各主体的实际工作时间。 3.总工作量遗漏：多阶段工程中，忽略 “各阶段工作量之和 = 1” 的核心关系，导致方程列错。 4.忽视实际意义：解出时间为负数或小数时，未检验是否符合工程实际（如人数需为整数，时间可根据题意保留小数或取整）。 【基础题1】．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 【提升题2】．．某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 【拓展题3】A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 题型03 一元一次方程应用之销售盈亏问题 一、核心定义 质是围绕成本价、售价、利润、利润率等核心量的数量关系，判断销售行为的盈利、亏损情况，或求解未知量。 二、核心公式（精准推导，双向可逆） 1.基础等量关系 *利润 = 售价 - 成本价（成本价又称进价，售价＞成本价为盈利，售价＜成本价为亏损） *利润率 = ×100%（利润率为正表示盈利，为负表示亏损） 2.变形公式 售价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 ×(1+利润率) 成本价 =  折扣价 = 标价 ×（如 8 折即标价 ×0.8，9.5 折即标价 ×0.95） 三、易错点警示 1.利润率基数错误;误将标价或售价当作利润率的计算基数（如盈利 20%，错列方程为利润 = 售价 ×20%，正确应为利润 = 成本价 ×20%）。 2.折扣计算错误:混淆折扣与百分数的转换（如 7 折错算为标价 ×7，正确应为标价 ×0.7）。 3.总盈亏判断失误:仅对比两件商品的售价，忽略成本价的差异，误判盈亏情况。 4.单位不统一：题目中若出现 “元 / 件”“元 / 千克” 等不同单位，未统一就列式计算，导致结果错误。 【基础题1】．一种皮鞋，先按成本价提高后标价，为了促销，又按标价打八折出售，现知每双皮鞋卖出后赚8元，则这种皮鞋的成本价是多少？ 【提升题2】．某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 【拓展题3】．过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 题型04 一元一次方程应用之比赛积分问题 一.核心公式与关系 *总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分（无平场则省略） *单场积分关系：胜场得分＞平场得分≥0，负场得分通常为 0（特殊题型会注明负场扣分） *场次关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数 二、易错点警示 1.混淆胜、负、平的单场积分，漏看题目中 “负场扣分” 等特殊规则； 2.计算总场次时重复或遗漏，导致列方程时数量关系错误； 3.忽略解的实际意义，未检验场次是否为非负整数。. 【基础题1】.．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分．在一场比赛中军军投了16个球，进了10个，没有罚球，总共得了24分．他在这场比赛中投进了几个3分球，几个2分球？ 【提升题2】．开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【拓展题3】．（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 题型05 一元一次方程应用之方案选择问题 一、核心关系与公式 1.核心等量关系：不同方案的关键指标（成本 / 收益 / 用量等）相等时，是方案优劣的 “临界点”，以此列方程求解临界值。 2.常用公式：根据场景而定，如购物总价 = 单价 × 数量 + 固定费用；收费总额 = 基础费 + 单价 × 用量；工程总费用 = 人均费用 × 人数 + 材料成本等。 二、易错点警示 1.漏看方案中的 “优惠条件”（如满减、打折门槛、保底费用等），导致表达式列错； 2.忽略变量的取值范围，未结合实际情况（如数量为正整数、用量有上限等）讨论； 3.混淆 “费用” 与 “收益” 的对比方向，误判最优方案。 【基础题1】．某公司要把某物品运往外地，现有两种运输方式可供备选． 方案一：使用货运的货车运输，装卸收费600元，另外每千米运输路程再加收6元； 方案二：使用铁路的火车运输，装卸收费1160元，另外每千米运输路程再加收4元． (1)你认为什么情况下两种运输费用一致？ (2)当运输路程为400千米时，选择哪种运输更合适？ 【提升题2】．某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍50支，网球筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价150元支，网球40元筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按九折付款． (1)用含的式子分别表示到甲、乙两家体育用品商店购买需要支付的费用（元）和（元）； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家体育用品商店中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案支付的费用相差450元，求的值． 【拓展题3】．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 题型06 一元一次方程应用之数字问题 一、核心关系与公式 1.数位数值转化公式： *两位数：设十位数字为a，个位数字为b，则两位数表示为10a+b； *三位数：设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则三位数表示为100a+10b+c（以此类推更高位数）。 二、易错点警示 1.数位表示错误：误将两位数表示为a+b（正确为10a+b），忽略数位的十进制权重； 2.数字取值忽略限制：解得的数字超出0−9范围，或十位、百位数字为 0（不符合多位数定义）； 3.连续数设元错误：混淆连续整数、连续奇数 / 偶数的差值，导致表达式列错。 【基础题1】．一个数的与的差是3，求这个数． 【提升题2】．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和_____； (2)如图2所示，若，，求的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，请直接写出的值． 【拓展题3】．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”． 例如：与是“准同类项” (1)给出下列三个单项式： ①，②，③． 其中与是“准同类项”的是______（填写序号） (2)已知，，均为关于，的多项式，，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)已知，均为关于，的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 题型07 一元一次方程应用之几何问题 .一.核心公式（初中基础必备） 1.平面图形 长方形：周长C=2(a+b)，面积S=ab（a为长，b为宽）； 正方形：周长C=4a，面积S=a2（a为边长）； 三角形：周长C=a+b+c，面积S=ah（a为底，h为高）； 圆：周长C=2πr，面积S=πr2（r为半径）。 立体图形（基础） 长方体体积V=abc，正方体体积V=a3（a,b,c为棱长）。 二、易错点警示 1.公式混淆错误：误用几何公式（如将三角形面积公式写成S=ah，遗漏系数21​）； 2.单位不统一：忽略题目中长度、面积单位差异（如厘米与米混用），未统一就列式； 3.形变条件遗漏：剪拼、折叠等问题中，误判不变量（如折叠后对应边相等、剪拼后面积不变）。 【基础题1】．如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 【提升题2】．对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【拓展题3】．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 题型08 一元一次方程应用之动点问题. 一、核心关系与公式 1.基础运动关系：路程 = 速度 × 时间（s=vt），时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间； 2.图形中关键关系： 线段上动点：运动后线段长度 = 总长度 - 已运动路程（或分段叠加路程）； *相遇问题：路程和 = 初始距离； *追及问题：路程差 = 初始距离。 二、易错点警示 1.运动方向忽略：未明确动点是向左 / 右、上 / 下运动，导致线段长度表达式列错； 2.单位不统一：速度与时间单位不一致（如速度为 cm/s，时间却设为分钟），未统一就计算； 3.端点边界遗漏：未考虑动点运动到线段端点后停止，导致解超出实际运动范围； 4.路程关系混淆：相遇问题与追及问题的路程关系颠倒，误将路程和当作路程差列方程。 【基础题1】．如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 【提升题2】．如图1，在数轴上A点表示数，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且满足．动点P从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从B点出发，以1个单位/秒的速度向右运动． (1)A、B两点之间的距离= ； (2)求出发多少秒后，Q点到O点的距离是P点到O点的距离的4倍； (3)如图2，若C点表示的数是12，P，Q两点各自到达C点后，立即向相反方向运动，速度均变为原来的2倍． ①用含的式子表示的大小； ②直接写出的最小值， 【拓展题3】．如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 题型09一元一次方程应用之和差倍分问题 一、核心关系与关键词 1.和差关系：关键词 “和”“共”“比…… 多”“比…… 少”“相差”核心等式：大数 - 小数 = 差；大数 = 小数 + 差；两数和 = 大数 + 小数 2.倍分关系：关键词 “是…… 的几倍”“的几分之几”“占…… 比例”核心等式：倍数量 = 标准量 × 倍数；分率量 = 标准量 × 分率（标准量通常设为未知数） 二、易错点警示 1.标准量混淆：倍分关系中误将非标准量当作基准（如 “甲是乙的 3 倍”，错设甲为x，增加计算难度）； 2.关键词理解错误：混淆 “比…… 多几倍” 与 “是…… 的几倍”（如 “甲比乙多 2 倍” 等价于 “甲是乙的 3 倍”）； 3.分率计算失误：分数或百分数与整数混合运算时，未统一形式（如未将百分数化为小数 / 分数）导致计算错误。 【基础题1】．金湖水域面积420.08平方千米，陆地面积是水域面积的2.3倍，陆地面积比水域面积多多少平方千米？ 【提升题2】．把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张． 【拓展题3】．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”． （1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数． （2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”． （3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 题型10一元一次方程应用之电费水费问题 一、核心关系与公式 1.单一收费模式：总费用 = 单价 × 用量（无分段，单价固定） 2.阶梯收费模式（初中重点）：总费用 = 第一档费用 + 第二档费用 + …（超过不同用量区间，对应不同单价，超档部分按新单价计费） 3.常见附加关系：总用量 = 各部分用量之和；多人 / 多户共用时，总费用 = 各户费用之和 二、易错点警示 1.阶梯区间混淆：误将总用量全部按高档单价计算，忽略 “超档部分” 才按对应单价计费； 2.单位不统一：忽略用量单位（如吨与立方米）、费用单位的一致性，导致计算错误； 3.漏算固定费用：部分收费包含基础费（如月租费），列式时遗漏固定部分； 4.区间边界错误：混淆 “不超过”“超过” 的表述（如 “超过 10 度按 2 元 / 度”，10 度及以内按原价，超出部分加价） 【基础题1】．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过吨，每吨按2元收费，超过吨的部分按每吨3元收费，王老师三月份平均水费为每吨元收费，则王老师家三月份用水多少吨？ 【提升题2】．购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1级 3级 (1)使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价电费） (2)某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 【拓展题3】．某市居民使用自来水按月收费，标准如下： ①若每户月用水不超过10m3，按a元/m3收费； ②若超过10m3，但不超过20m3，则超过的部分按1.5a元/m3收费，未超过10m3部分按①标准收费； ③若超过20m3，超过的部分按2a元/m3收费，未超过20m3部分按②标准收费； （1）若用水20m3，应交水费　　元；（用含a的式子表示） （2）小明家上个月用水21m3，交水费81元，求a的值； （3）在（2）的条件下，小明家七、八两个月共交水费240元，七月份用水xm3超过10m3，但不足20m3，八月份用水ym3超过20m3，当x，y均为整数时，求y的值． 题型11一元一次方程应用之行程问题 一、核心公式与关系 1.基础公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt），变形公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度 2.分类核心关系 *相遇问题（相向而行）：总路程 = 甲路程 + 乙路程；相遇时间 = 总路程 ÷（甲速度 + 乙速度） *追及问题（同向而行）：路程差 = 快者路程 - 慢者路程；追及时间 = 路程差 ÷（快者速度 - 慢者速度） *往返问题：往返总路程 = 单程路程 ×2；往返平均速度需结合总路程与总时间计算 二、易错点警示 1.单位不统一：速度、时间、路程单位混乱（如速度 m/s 与时间 min 混用），未统一就列式计算； 2.运动方向混淆：相遇问题与追及问题的核心关系颠倒，误将速度和当作速度差列方程； 3.忽略隐含条件：遗漏题目中 “同时出发”“不同时出发”“中途停留” 等关键信息，导致路程关系错误； 4环形行程失误：未明确环形跑道中相遇、追及的路程本质（总路程或路程差为跑道周长）。 【基础题1】．甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车速度是，两地相距，后相遇，问乙车的速度是多少？ 【提升题2】．甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 【拓展题3】．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为，定义：或，请回答问题： (1)设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若，则 ． (2)设数轴上点P对应的数为p，且，求p的值； (3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为，点B表示的数是9． 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动． 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？ 题型12一元一次方程应用之比例分配问题 一、核心关系与公式 1.设元核心：若分配比例为a:b:c，常设三部分量分别为ax、bx、cx（x为比例系数，且x>0）； 2.总量关系：各部分量之和 = 总总量，即ax+bx+cx=总总量； 3.衍生关系：某部分量占总量的比例 = 对应比例项 ÷ 比例总和（如ax占总量的比例为）。 二、易错点警示 1.设元错误：未按比例设系数，直接设某部分量为x，增加计算难度； 2.比例混淆：颠倒比例项的顺序，导致各部分量表达式错误； 3.总量遗漏：列方程时未用 “各部分之和等于总量” 的核心关系，或计算总量时出错； 4.比例系数非正：解得x为负数，未检验其实际意义（比例系数必须为正数）。 【基础题1】．刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 【提升题2】．某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【拓展题3】．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 题型13一元一次方程应用之日历问题 一、核心关系与设元技巧 1.设元核心：若分配比例为m:n（或m:n:p），常设各部分量为mx、nx（或mx、nx、px），其中x为正比例系数； 2.总量等式：各部分量之和 = 总总量，即mx+nx+...=总量。 二、易错点警示 1.设元错误：未按比例设系数，直接设某部分为x，增加计算难度； 2.比例颠倒：混淆比例项顺序，导致各部分量表达式错误； 3.忽略x的取值：解得x为非正数，未检验其实际意义。 【基础题1】．数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【提升题2】．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为、、、、． . (1)若，则________．用含的式子表示________； (2)在移动“凹”字型框过程中，小龙说被框住的5个数字之和可能为26，小翼说被框住的5个数字之和可能为101，他们的说法正确吗?请说明理由； (3)在另一个“凹”字型框框住的五个数分别为、、、、，且，则符合条件的的值为________． 【拓展题3】．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 题型14一元一次方程应用之古代问题 一、核心关系与设元 1.比例设元：比例为a:b（或a:b:c），设各部分为ax、bx（或ax、bx、cx），x为比例系数； 2.核心等式：各部分量之和 = 总量。 二、易错点警示 1.比例项颠倒或设元未用比例系数； 2.解得x为非正数，忽略实际意义。 【基础题1】．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 【提升题2】．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【拓展题3】．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 题型15一元一次方程应用之其他问题 一、常见题型分类及核心要点 1.年龄问题 *核心关系：年龄差始终不变（无论过去、现在、未来，两人年龄差固定）；年龄增长 / 减少的量相同。 *设元技巧：常设现在的年龄为x，用含x的式子表示过去或未来的年龄。 2.浓度问题（基础入门） *核心公式：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。 *解题关键：稀释 / 加浓过程中，溶质质量不变（以此为等量关系列方程）。 3.配套购买问题 *核心关系：根据实际需求确定购买数量比例（如 1 个篮球配 2 个打气筒），结合总费用建立方程。 *常用等式：单价 × 数量 = 总价；各物品总价之和 = 总预算。 4.分段计费延伸问题 （非水电类，如话费、打车费、快递费等）核心：明确分段节点（如打车 3 公里内起步价，超 3 公里按里程计费），超段部分单独计算。 二、易错点警示 年龄问题：误将年龄倍数当作不变量（年龄倍数随时间变化，年龄差才固定）； 浓度问题：混淆 “溶液”“溶质”“溶剂” 概念，误将溶剂质量当作溶液质量； 分段计费问题：漏看 “不足 1 单位按 1 单位计费” 等隐含条件，导致计费区间判断错误。 【基础题1】．两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 【提升题2】．我们知道，分数都是有理数，而分数可以化为小数，结果是有限小数或者无限循环小数．例如我们常见的，．反之，无限循环小数都可以写成分数．观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解决问题． 是一个以34为循环节的无限循环小数．将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到发现小数点后依然是循环节为34的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等于34，所以． 解决以下问题： (1)在横线上填上合适的符号______1（填写“＞”、“＝”、“＜”）； (2)将和化为分数； (3)直接写出的分数形式． 【拓展题3】．已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． ①则 ， ． ②有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2015次时，求点P所对应的有理数． ③在②的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3一元一次方程的实际应用 -----问题解决全攻略 题型01 一元一次方程应用之配套问题 题型02一元一次方程应用之工程问题 题型03一元一次方程应用之销售盈亏问题 题型04一元一次方程应用之比赛积分问题 题型05一元一次方程应用之方案选择问题 题型06一元一次方程应用之数字问题 题型07一元一次方程应用之几何问题 题型08一元一次方程应用之动点问题 题型09一元一次方程应用之和差倍分问题 题型10一元一次方程应用之水电费问题 题型11一元一次方程应用之行程问题 题型12一元一次方程应用之比例问题 题型13一元一次方程应用之日历问题 题型14一元一次方程应用之古代问题 题型15一元一次方程应用之其他问题 一.基础解题六步（必背核心流程） 1.审题析意，找等量关系.心是找出不变量或固定关系（如路程公式、利润公式、配套比例、总量守恒等），这是列方程的依据。 2.巧设未知数，简化表达.优先设标准量、较小量或题目直接所求量为x 3.依据关系，列一元一次方程.将第二步中表示的各量，代入第一步找到的等量关系，用等号连接，形成一元一次方程。注意方程两边的单位需统一，表达式需符合数学规范。 4.规范解方程，求未知数值.按照一元一次方程的标准步骤求解：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为 1。计算过程中注意符号变化和运算准确性，避免粗心错误。 5.检验验证，贴合实际意义.检验分两步：一是代入原方程，验证解是否使左右两边相等；二是检验解是否符合实际场景（如人数、数量为正整数，长度、费用为正数等），不合题意的解需舍去。 6.完整作答，梳理所求量 二、进阶注意事项（适配复杂应用题） 1.多量关联场景：涉及三个及以上量时，先梳理量与量的连锁关系，再设元表示，避免混淆； 2.分段计费 / 形变场景：明确分段节点（如阶梯电费的档位数）或形变不变量（如剪拼图形的周长 / 面积不变），分情况列方程； 3.含隐藏条件场景：注意题目中 “不超过”“至少”“刚好配套” 等隐含要求，检验时需兼顾这些条件。 题型01 一元一次方程应用之配套问题 一、核心定义 是根据两种或多种物品的配套比例关系，建立数量等式， 二、核心解题原则 1.找准配套比例 2.确定数量关系：套问题中，两种物品的数量需满足 “甲物品数量 × 甲的配套份数 = 乙物品数量 × 乙的配套份数”，确保恰好配套，无剩余或短缺。 3.统一单位与范围： 三、易错点警示 1.比例颠倒错误:混淆配套比例的前后项 2.忽视实际意义:解得未知数为负数或小数，未检验并调整（如人数、物品数量必须为正整数）。 3.漏用总条件:未结合题目中 “总人数”“总材料” 等限制条件，导致无法完整表达两种物品的数量关系。 【基础题1】．某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，求应安排多少个工人挖土？ 【答案】应安排45个工人挖土． 【分析】设应安排x个工人挖土，根据“挖出的土及时被运走”列出方程求解即可． 【详解】解:设应安排x个工人挖土，则应安排（）个工人运土．     由题意，得 ．        解得       ．        答： 应安排45个工人挖土． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，设未知数，找准等量关系列方程是解题的关键． 【提升题2】．在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【分析】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【详解】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 【拓展题3】．1套检测仪器由2个部件和3个部件构成，用钢材可以做40个部件或240个部件． (1)若要用钢材制作若干套这种仪器，应用多少钢材做部件，多少钢材做部件？ (2)现在某公司要租赁这批仪器套，每天的付费方案有如下两种： 方案一：当不超过60时，每套支付租金100元；当超过60时，超过的套数每套支付租金打八折． 方案二：不论租赁多少套，每套支付租金90元． 当超过60时，选择哪种租赁方案更合算？请说明理由． 【答案】(1)用钢材做部件，用钢材做部件 (2)当时，选择方案二更合算，当时，两种方案费用相同；当时，选择方案一更合算． 【分析】（1）设应用钢材做A部件，钢材做B部件，根据一套检测仪器由两个A部件和三个B部件构成，列方程求解；                                                                                                                                                                                   （2）方案一租金根据当a超过60套时，超过的套数每套支付租金打八折列式计算可得；方案二租金根据每套支付租金90元列式计算可得；根据,得到，三种情况分析即可； 【详解】（1） 解：设用钢材做部件，用钢材做部件．依题意，得，解得，则． 答：用钢材做部件，用钢材做部件． （2）解：方案一：元． 方案二：元． 当时，解得． 答：当时，，选择方案二更合算； 当时，两种方案费用相同； 当时，选择方案一更合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，配套问题的解决方法，解决问题的关键是正确理解题意列得方程或列式计算． 题型02 一元一次方程应用之工程问题 一、核心定义 本质是围绕工作总量、工作效率和工作时间三者的数量关系，解决工程施工中的分配、完成进度等问题。 二、核心公式 工程问题的所有运算均基于以下三个基础公式，三者可相互变形，适配不同问题场景： 基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间 变形公式 1：工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 变形公式 2：工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率 三、易错点警示 1.效率与时间混淆：误将完成工程的时间当作效率（如甲 10 天完成，错设效率为 10，正确应为101​）。 2.合作时间计算错误：中途有人停工或增减时，未准确计算各主体的实际工作时间。 3.总工作量遗漏：多阶段工程中，忽略 “各阶段工作量之和 = 1” 的核心关系，导致方程列错。 4.忽视实际意义：解出时间为负数或小数时，未检验是否符合工程实际（如人数需为整数，时间可根据题意保留小数或取整）。 【基础题1】．整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6小时、9小时完成．现在先由甲单独做1小时，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？ 【答案】他们合作整理这批图书的时间是3h． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，掌握工程问题的解法是解题的关键． 设他们合作整理这批图书的时间是，根据总工作量为单位“1”，列方程求出x的值即可得出答案． 【详解】解：设他们合作整理这批图书的时间是x h，根据题意得： 解得：， 答：他们合作整理这批图书的时间是． 【提升题2】．．某制衣厂计划若干天完成一批服装的订货任务．每天生产20套服装，就比订货任务少生产100套；每天生产23套服装，就可以超过订货任务20套．问这批服装的订货任务是多少套？原计划多少天完成？ 【答案】这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设原计划天完成，根据两种生产方式下，这批服装的订货任务相等建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原计划天完成， 由题意得：， 解得， 则（套）， 答：这批服装的订货任务是900套，原计划40天完成． 【拓展题3】A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的． (1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ (2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时 (2)小时 【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键． （1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可． （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间． 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时， （小时）， 2小时小时=小时， ， （千米/小时）， 答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时． （2）， 根据题意，设乙的工作效率为， （小时）， 答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时． 题型03 一元一次方程应用之销售盈亏问题 一、核心定义 质是围绕成本价、售价、利润、利润率等核心量的数量关系，判断销售行为的盈利、亏损情况，或求解未知量。 二、核心公式（精准推导，双向可逆） 1.基础等量关系 *利润 = 售价 - 成本价（成本价又称进价，售价＞成本价为盈利，售价＜成本价为亏损） *利润率 = ×100%（利润率为正表示盈利，为负表示亏损） 2.变形公式 售价 = 成本价 + 利润 售价 = 成本价 ×(1+利润率) 成本价 =  折扣价 = 标价 ×（如 8 折即标价 ×0.8，9.5 折即标价 ×0.95） 三、易错点警示 1.利润率基数错误;误将标价或售价当作利润率的计算基数（如盈利 20%，错列方程为利润 = 售价 ×20%，正确应为利润 = 成本价 ×20%）。 2.折扣计算错误:混淆折扣与百分数的转换（如 7 折错算为标价 ×7，正确应为标价 ×0.7）。 3.总盈亏判断失误:仅对比两件商品的售价，忽略成本价的差异，误判盈亏情况。 4.单位不统一：题目中若出现 “元 / 件”“元 / 千克” 等不同单位，未统一就列式计算，导致结果错误。 【基础题1】．一种皮鞋，先按成本价提高后标价，为了促销，又按标价打八折出售，现知每双皮鞋卖出后赚8元，则这种皮鞋的成本价是多少？ 【答案】元 【分析】本题考查了销售盈亏问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设这种皮鞋的成本价是x元，利用利润=售价进价，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设这种皮鞋的成本价是x元， 根据题意得：， 解得：． 答：这种皮鞋的成本价是元． 【提升题2】．某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 【答案】(1)两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元 (2)节省了60元 (3)更省钱，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即可得出所购买物品的原价为134元，由得出第二次所购物品超过500元，设第二次所购物品的原价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）将两次购买的原价相加减去实际付的钱即可得解； （3）计算得出一次全部购买可以节省的钱，比较即可得解． 【详解】（1）解：此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即所购买物品的原价为134元， 第二次购物用了490元， ， 所购物品超过500元． 设第二次所购物品的原价为元， 则， 解得． 答：此人两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元． （2）解：（元）． 答：在此次活动中他节省了60元． （3）解：更省钱． 如果一次全部购买可以节省（元）， 因为， 所以，如果此人将两次购买的物品一次全部购买会更省钱． 【拓展题3】．过年了，武汉某两商场、为庆贺新年，全场商品按如下方式优惠： 商场 不超过元的部分 九折 超过元但不超过元的部分 八折 超过元的部分 五折 商场 全场消费每满减 （如消费就只用付，依此类推） (1)芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，则她购买商品的原价是_____________． (2)芳姐又在商场看中了一套元的衣服，服装类商品按原价先打折，再按打折后的价格参加优惠．芳姐正准备付款，却发现该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，试求该衣服打了几折． (3)过了几天，芳姐和老贾先后去商场给学生购买新年礼物，已知礼物一份单价元，两人共购买了份，一共花了元，已知芳姐买的比老贾多，问两人分别买了多少份礼物？ 【答案】(1) (2)该衣服打了折 (3)芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）结合题意算出当原价为元时，在商场应付费用，推出芳姐购买商品的原价大于，设她购买商品的原价为元，根据“打折后需付款元，”建立方程求解，即可解题； （2）根据题意得到直接参加优惠付款费用，设衣服打了折，分情况当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，当打折后能优惠元，结合“该衣服打折后反而比不打折直接参加优惠贵了元，”建立方程求解并讨论，即可解题； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份，分以下几种情况： 当时；当时；当时，分别求解即可； 正解理解题意，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当原价为元时， 在商场应付费用为：（元）， ∵芳姐去商场置办年货，打折后需付款元，且， ∴她购买商品的原价大于， 设她购买商品的原价为元， 依题意，得：， 解得：， ∴她购买商品的原价是元， 故答案为：； （2）设衣服打了折， 根据题意得直接参加优惠付款费用为：， 当打折后能优惠元，则，解得：， 当打折后能优惠元，则，解得：（不合题意，舍去）， 当打折后能优惠元，即打折后价格不超过，所以该情形不存在； 综上所述，该衣服打了折； （3）设芳姐购买礼物份，则老贾购买礼物份， ∵礼物一份单价元，一共花了元，且芳姐买的比老贾多， ∴原价的总价为，芳姐原价应超过， 当时，则， ∴， 该方程无解； ∵，则： 当时，则， 解得：， ∴（份）， 此时芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物； 当时，则， ， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，芳姐购买了份礼物，老贾购买了份礼物． 题型04 一元一次方程应用之比赛积分问题 一.核心公式与关系 *总积分 = 胜场积分 + 负场积分 + 平场积分（无平场则省略） *单场积分关系：胜场得分＞平场得分≥0，负场得分通常为 0（特殊题型会注明负场扣分） *场次关系：总场次 = 胜场数 + 负场数 + 平场数 二、易错点警示 1.混淆胜、负、平的单场积分，漏看题目中 “负场扣分” 等特殊规则； 2.计算总场次时重复或遗漏，导致列方程时数量关系错误； 3.忽略解的实际意义，未检验场次是否为非负整数。. 【基础题1】.．篮球比赛中，3分线外投中一球记3分，3分线内投中一球记2分．在一场比赛中军军投了16个球，进了10个，没有罚球，总共得了24分．他在这场比赛中投进了几个3分球，几个2分球？ 【答案】4个3分球，6个2分球 【分析】本题主要是一元一次方程的应用，运用一元一次方程解法的知识进行计算，即可解答本题． 设他在这场比赛中投进了个3分球，则进了个2分球，根据总共得了24分即可列方程求解． 【详解】解：设他在这场比赛中投进了个3分球，则进了个2分球，根据题意得， ， ， 2分球： 个， 答：他在这场比赛中投进了4个3分球，6个2分球． 【提升题2】．开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 【拓展题3】．（题）七只鱼缸里所放金鱼的条数分别为条、条、条、条、条、条、条．已知同一缸里的鱼同色，只有一缸是黑色的，其余都是红色和白色，且红色是白色的倍．问：黑色的金鱼有几条？ （题）一次围棋比赛，有人参加了比赛，每名选手都要与其他的选手比赛一次，每局棋胜者得分，负者分，平局各自得分．已知：选手们的得分各不相同，且 ①获得第一与第二的选手一次都没输过； ②获得第四的选手得分与排名最后的四名选手得分总和相等． 请问，从第一名到第四名，每个人的得分各自是多少？ 我选做的题目是 （填或）．详细解答如下： 【答案】选：条；选：分，分，分，分 【分析】选：求出总的金鱼数量，再分种情况求出红色和白色金鱼的数量，若能被整除即可求解； 选：求出总的比赛场数，进而求出产生的总得分，再根据题意求出第一名、第二名、第三名的得分，最后根据方程求出第四名的得分即可求解； 本题考查了有理数除法的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】解：选，解答如下： （条）， ，不能被整除； ，，能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ，不能被整除； ∴黑色的金鱼有条； 选，解答如下： 由题意可得，总的比赛场数为场， ∴产生的总得分为分， ∵获得第一与第二的选手一次都没输过， ∴两人为平局， ∴第一名胜平局，得分最高，得分为分， ∴第二名得分次之且不败，其余局中最多为胜平，最高得分为分， ∴第三名最高得分为分， 设第四名得分为，则， 解得， ∴第四名得分为分， 答：从第一名到第四名，每个人的得分各自是分，分，分，分． 题型05 一元一次方程应用之方案选择问题 一、核心关系与公式 1.核心等量关系：不同方案的关键指标（成本 / 收益 / 用量等）相等时，是方案优劣的 “临界点”，以此列方程求解临界值。 2.常用公式：根据场景而定，如购物总价 = 单价 × 数量 + 固定费用；收费总额 = 基础费 + 单价 × 用量；工程总费用 = 人均费用 × 人数 + 材料成本等。 二、易错点警示 1.漏看方案中的 “优惠条件”（如满减、打折门槛、保底费用等），导致表达式列错； 2.忽略变量的取值范围，未结合实际情况（如数量为正整数、用量有上限等）讨论； 3.混淆 “费用” 与 “收益” 的对比方向，误判最优方案。 【基础题1】．某公司要把某物品运往外地，现有两种运输方式可供备选． 方案一：使用货运的货车运输，装卸收费600元，另外每千米运输路程再加收6元； 方案二：使用铁路的火车运输，装卸收费1160元，另外每千米运输路程再加收4元． (1)你认为什么情况下两种运输费用一致？ (2)当运输路程为400千米时，选择哪种运输更合适？ 【答案】(1)运输路程是280千米时，两种运输收费一致 (2)选用铁路的火车运输方式 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设运输路程是千米，根据两种运输的总费用相等列出方程，求解即可； （2）把路程为400千米代入，分别计算两种运输的总费用，比较其大小即可． 【详解】（1）设运输路程是千米， 根据题意得： 解这个方程，得 答：当运输路程是280千米时，两种运输收费一致； （2）方案一：所需费用（元） 方案二：所需费用（元） 因为 所以选择火车运输更合适． 答：若运输路程是400千米，这家公司应选用铁路的火车运输方式． 【提升题2】．某校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团．其中网球社团正式开课之前打算采购网球拍50支，网球筒（），经市场调查了解到该品牌网球拍定价150元支，网球40元筒．现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案： 甲商店：买一支网球拍送一筒网球； 乙商店：网球拍与网球均按九折付款． (1)用含的式子分别表示到甲、乙两家体育用品商店购买需要支付的费用（元）和（元）； (2)若，请通过计算说明学校到甲、乙两家体育用品商店中的哪一家购买更优惠； (3)若两家的优惠方案支付的费用相差450元，求的值． 【答案】(1)， (2)甲商店购买合算，计算见解析 (3)的值为425或200 【分析】本题考查了代数式的求值，列代数，一元一次方程的实际问题，根据题意列方程是解题关键． （1）按照对应的方案的计算方法分别列出代数式即可； （2）把代入求得的代数式求得数值，进一步比较得出答案即可； （3）根据甲、乙两家的优惠方案相差400元，可列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ； （2）解：当，， ， 因为， 所以甲商店购买合算； （3）解：根据题意得，或， 解得或， 所以的值为425或200． 【拓展题3】．某环保袋生产厂家接到一批环保袋定制任务，要求10天完成．若安排第一车间单独加工，则正好如期完成任务；若安排第二车间单独加工，则会延期5天完成． (1)为了尽快完成任务，安排第一车间单独加工5天后，随即安排第二车间加入一起加工，可以提前几天完成任务？ (2)已知第一车间一天投入生产的成本是1.2万元，第二车间一天投入生产的成本是0.7万元．现有三种加工方案：①第一车间单独加工；②第二车间单独加工；③两个车间同时加工．如果你是厂长，在以上三种方案中，应选择哪一种方案安排生产，既可以节约成本，又可以在规定时间内完成任务？请通过计算说明理由． 【答案】(1)可以提前2天完成任务 (2)选择方案③，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键． （1）设可以提前天完成任务，那么第一车间的工作时间是天，第二车间的工作时间是天，再根据两个车间的工作效率分别是和，可得方程； （2）分别计算出三种方案的费用，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设两车间一起加工了天 由题意得：。解得 总用时为天，故可提前天 答：可以提前天完成任务． （2）解：方案①：（万元）； 方案②：（万元），但不能在规定时间内完成； 方案③：（天），（万元）； ∵， ∴选择方案③． 题型06 一元一次方程应用之数字问题 一、核心关系与公式 1.数位数值转化公式： *两位数：设十位数字为a，个位数字为b，则两位数表示为10a+b； *三位数：设百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则三位数表示为100a+10b+c（以此类推更高位数）。 二、易错点警示 1.数位表示错误：误将两位数表示为a+b（正确为10a+b），忽略数位的十进制权重； 2.数字取值忽略限制：解得的数字超出0−9范围，或十位、百位数字为 0（不符合多位数定义）； 3.连续数设元错误：混淆连续整数、连续奇数 / 偶数的差值，导致表达式列错。 【基础题1】．一个数的与的差是3，求这个数． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，设这个数为，则，接着解方程即可． 【详解】设这个数为， 则， ， ， ， ， ． 所以这个数为． 【提升题2】．相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5． (1)如图2所示，则幻和_____； (2)如图2所示，若，，求的值； (3)由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】本题考查一次方程应用及有理数加法运算，解题关键是熟知“九宫图”的填法． （1）幻和为的3倍； （2）根据幻和为，列方程可得到答案； （3）根据规律，用正方形左边和上方三角形三个顶点上的数字之和等于右边和下方三角形三个顶点上的数字之和及、的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，幻和， 故答案为：； （2）解：如图： 由（1）知：， ∵，， ， ，， ， ， ， ， ， ； （3）解：根据题意得：则， 则， ． 【拓展题3】．类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值都小于或等于1的项是“准同类项”． 例如：与是“准同类项” (1)给出下列三个单项式： ①，②，③． 其中与是“准同类项”的是______（填写序号） (2)已知，，均为关于，的多项式，，，．若C的任意两项都是“准同类项”，求n的值． (3)已知，均为关于，的单项式，，，其中，，和都是有理数，且．若与是“准同类项”，则的最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①③ (2)或 (3)； 【分析】（1）根据新定义，进行判断即可求解； （2）根据多项式的加减计算，根据C的任意两项都是“准同类项”，即可求解； （3）根据新定义得出的值，进而根据，，分三种情况讨论，化简绝对值，分别求得的最大值与最小值，即可求解． 【详解】（1）单项式①，②，③中，与是“准同类项”的是①，③ 故答案为：①③． （2）解：∵， ∴ ∵C的任意两项都是“准同类项”， ∴，且为正整数， ∴或； （3）∵，，与是“准同类项”， ∴， ∴ ∴，； ∵， ①若，如图所示    ∴， 当取得最大值时，也取的最大值，， ∴ ∴当取得最小值时，取得最大值， 此时， ∴ 解得：，即的最大值为； ②若，如图所示    ∴， ∵． ∴此情形不存在 ③若时，如图所示，    ∴， ∵ ∴当取得最小值时，也取得最小值为，则取得最大值为， ∴ 解得：， 综上所述，最小值为，最大值为 故答案为：；． 【点睛】本题考查了新定义，整式的加减，绝对值的意义，解一元一次方程，熟练掌握新定 义是解题的关键． 题型07 一元一次方程应用之几何问题 .一.核心公式（初中基础必备） 1.平面图形 长方形：周长C=2(a+b)，面积S=ab（a为长，b为宽）； 正方形：周长C=4a，面积S=a2（a为边长）； 三角形：周长C=a+b+c，面积S=ah（a为底，h为高）； 圆：周长C=2πr，面积S=πr2（r为半径）。 立体图形（基础） 长方体体积V=abc，正方体体积V=a3（a,b,c为棱长）。 二、易错点警示 1.公式混淆错误：误用几何公式（如将三角形面积公式写成S=ah，遗漏系数21​）； 2.单位不统一：忽略题目中长度、面积单位差异（如厘米与米混用），未统一就列式； 3.形变条件遗漏：剪拼、折叠等问题中，误判不变量（如折叠后对应边相等、剪拼后面积不变）。 【基础题1】．如图，一个长方形养鸡场的一条长边靠墙，墙长，其他三边用竹篱笆围成，现有长的竹篱笆，小林的设计方案是长比宽多，你认为他设计的长边是否符合实际情况？通过计算说明理由． 【答案】不符合实际情况，理由见解析 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，建立方程解题是关键；设篱笆的长为米，宽为米，再利用篱笆总长为35米建立方程求解，再检验即可． 【详解】解：设篱笆的长为米，宽为米 ∴， 解得：， ∵米米，不符合实际情况． 【提升题2】．对于数轴上不同的三个点，，，若满足，则称点是点关于点的“倍分点”．例如，如图，在数轴上，点，表示的数分别是，，可知原点是点关于点的“倍分点”，原点也是点关于点的“倍分点”．在数轴上，已知点表示的数是，点表示的数是． (1)若点在线段上，且点是点关于点的“倍分点”，则点表示的数是 ； (2)若点在数轴上，，且点是点关于点的“倍分点”，求的值； 【答案】(1)1 (2)的值为或； 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，理解“倍分点”的定义，根据题意分情况讨论并列出方程是解此题的关键． （1）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，设点表示的数是，得出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； （2）根据点是点关于点的“倍分点”，得到，分两种情况讨论：①点在点左侧，②点在点右侧，分别列出关于的一元一次方程，求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， 设点表示的数是， ∵点表示的数是，点表示的数是，点在线段上， ∴，， ∴， 解得： ∴点表示的数是． （2）∵点是点关于点的“倍分点”， ∴， ∵点表示的数是，点表示的数是，， 点在点左侧时，点表示的数是， 此时，， ∴ 解得： 点在点右侧时，点表示的数是6， 此时，， 由题意得： 解得： 所以的值为或； 【拓展题3】．射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同时，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2，，射线是射线的伴随线，则 ，若的度数是，射线是射线的伴随线，射线是的平分线，则的度数是 ；（用含的代数式表示） (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，当射线与射线重合时，运动停止． ①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； ②当的值为多少时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线？ 【答案】(1)40， (2)①秒或25，理由见解析；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则， ∵的度数是，射线是射线的伴随线， ∴， ∵射线是的平分线， ∴， 则的度数是． 故答案为：； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或25时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 题型08 一元一次方程应用之动点问题. 一、核心关系与公式 1.基础运动关系：路程 = 速度 × 时间（s=vt），时间 = 路程 ÷ 速度，速度 = 路程 ÷ 时间； 2.图形中关键关系： 线段上动点：运动后线段长度 = 总长度 - 已运动路程（或分段叠加路程）； *相遇问题：路程和 = 初始距离； *追及问题：路程差 = 初始距离。 二、易错点警示 1.运动方向忽略：未明确动点是向左 / 右、上 / 下运动，导致线段长度表达式列错； 2.单位不统一：速度与时间单位不一致（如速度为 cm/s，时间却设为分钟），未统一就计算； 3.端点边界遗漏：未考虑动点运动到线段端点后停止，导致解超出实际运动范围； 4.路程关系混淆：相遇问题与追及问题的路程关系颠倒，误将路程和当作路程差列方程。 【基础题1】．如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒 【分析】（1）求出点Q运动到原点O时所用时间，再求出点P所走的距离，求出点P表示的数即可； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度，分两种情况列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）当点Q运动到原点O时，点Q运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P所走的距离为：3×10=30，点P表示的数为-40+30=-10； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度， 当点P在点Q左侧时， [20-（-40）]-3x-2x=30， 解得，x=6， 当点P在点Q右侧时， 3x+2x -[20-（-40）] =30， 解得，x=18， 答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P、Q两点间的距离为30个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程，注意分类讨论． 【提升题2】．如图1，在数轴上A点表示数，B点表示数b，表示A点和B点之间的距离，且满足．动点P从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从B点出发，以1个单位/秒的速度向右运动． (1)A、B两点之间的距离= ； (2)求出发多少秒后，Q点到O点的距离是P点到O点的距离的4倍； (3)如图2，若C点表示的数是12，P，Q两点各自到达C点后，立即向相反方向运动，速度均变为原来的2倍． ①用含的式子表示的大小； ②直接写出的最小值， 【答案】(1) (2)出发秒或者秒后，Q点到O点的距离是P点到O点的距离的4倍； (3)①②的最小值为1 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上的两点之间距离，含绝对值的方程，一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用绝对值的非负性进行作答即可； （2）先分别表示动点P和动点Q在数轴上表示的数分别为：，，由，得，再进行分类讨论，即可作答． （3）①理解题意，进行分类讨论：，，，，再分别表示出的代数式，然后表达，即可作答． ②结合①，把代入得，当时，此时；当时，此时；当时，此时，把代入求出最小值，得时，当时，此时，当时，此时，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， 解得． ∴A、B两点之间的距离， 故答案为：； （2）解：由（1）得出A、B两点在数轴上表示的数分别是， 设运动时间为秒， ∵动点P从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从B点出发，以1个单位/秒的速度向右运动 ∴动点P和动点Q在数轴上表示的数分别为：，， 依题意，得， ∴ 当时，则，解得； 当时，则，解得； 综上：出发秒或者秒后，Q点到O点的距离是P点到O点的距离的4倍； （3）解：由（1）得A、B两点之间的距离， 则（秒） 由（2）得动点P和动点Q在数轴上表示的数分别为：，， ①当时，则； 此时； ∵C点表示的数是12， ∴（秒）， 当时，此时点Q未到点C 则； 此时； ∴， 当时，此时点Q到点C后返回，点P未到点C 则；， 此时； 当时，此时点P到点C后返回，， 则， 当时，此时， ； 当时，此时， 当时，此时， ， ∴； ②由①得：当时，， 则把代入得； 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时； 当时，此时， 把代入，得时， 当时，此时， 则； 当时，此时， 则． 综上：的最小值为 【拓展题3】．如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4， (2)存在，或 (3)存在，时，定值为28 【分析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题，两点间的距离等知识点，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． （1）由非负数的性质求出，得出点A表示的数为，点B表示的数为，进而即可得解； （2）设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，分相遇前和相遇后两种情况讨论即可得解； （3）设运动时间为t，则点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时， ∴， 解得， ∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时， ∴，解得， ∴此时点Q表示的数为； ∵， ∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在， 当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴ ， 当，即时，为定值28 题型09一元一次方程应用之和差倍分问题 一、核心关系与关键词 1.和差关系：关键词 “和”“共”“比…… 多”“比…… 少”“相差”核心等式：大数 - 小数 = 差；大数 = 小数 + 差；两数和 = 大数 + 小数 2.倍分关系：关键词 “是…… 的几倍”“的几分之几”“占…… 比例”核心等式：倍数量 = 标准量 × 倍数；分率量 = 标准量 × 分率（标准量通常设为未知数） 二、易错点警示 1.标准量混淆：倍分关系中误将非标准量当作基准（如 “甲是乙的 3 倍”，错设甲为x，增加计算难度）； 2.关键词理解错误：混淆 “比…… 多几倍” 与 “是…… 的几倍”（如 “甲比乙多 2 倍” 等价于 “甲是乙的 3 倍”）； 3.分率计算失误：分数或百分数与整数混合运算时，未统一形式（如未将百分数化为小数 / 分数）导致计算错误。 【基础题1】．金湖水域面积420.08平方千米，陆地面积是水域面积的2.3倍，陆地面积比水域面积多多少平方千米？ 【答案】约平方千米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设水域面积为平方米，则陆地面积是平方米，则利用金湖水域面积列方程得，然后解方程，最后计算即可． 【详解】设水域面积为平方米，则陆地面积是平方米， 根据题意得， 解得， 所以， 即陆地面积比水域面积多约平方千米． 【提升题2】．把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张． 【答案】绘画爱好者有人，这批宣纸有张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设绘画爱好者有x人，根据题意分别这批宣纸的张数，根据这批宣纸的张数不变列方程，求解即可． 【详解】解：设绘画爱好者有x人， ， 解得， 即绘画爱好者有人， 则， 即这批宣纸有张， 答：绘画爱好者有人，这批宣纸有张． 【拓展题3】．已知∠AOB，过顶点O作射线OP，若∠BOP＝∠AOP，则称射线OP为∠AOB的“好线”，因此∠AOB的“好线”有两条，如图1，射线OP1，OP2都是∠AOB的“好线”． （1）已知射线OP是∠AOB的“好线”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度数． （2）如图2，O是直线MN上的一点，OB，OA分别是∠MOP和∠PON的平分线，已知∠MOB＝30°，请通过计算说明射线OP是∠AOB的一条“好线”． （3）如图3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射线OP和OA分别从OM和OB同时出发，绕点O按顺时针方向旋转，OP的速度为每秒12°，OA的速度为每秒4°，当射线OP旋转到ON上时，两条射线同时停止．在旋转过程中，射线OP能否成为∠AOB的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间． 【答案】（1）∠AOB =90°或30°；（2）证明见解析；（3）运动时间为5秒或秒. 【分析】（1）根据好线的定义，可得∠AOP=60°，再分OP在∠AOB内部时，在∠AOB外部时，两种情况分别求值即可； （2）根据OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线，可得∠AOB=90°，∠BOP=30°，进而即可得到结论； （3）设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ，分两种情况：当OP在OB上方时，当OP在OB下方时，分别列出方程即可求解. 【详解】解：（1）∵射线OP是∠AOB的好线，且∠BOP=30° ∴∠AOP=2∠BOP=60° ∴当OP在∠AOB内部时， ∠AOB =∠BOP +∠AOP =90° , 当OP在∠AOB外部时，∠AOB = ∠AOP-∠BOP=30° ∴∠AOB =90°或30°； (2) ∵OB，OA别是∠MOP和∠PON的平分线 ∴∠AOB=∠BOP+∠AOP= (∠MOP+∠NOP)=，∠BOP=∠BOM=30°， ∴∠AOP=90°-30°=60° ∴∠BOP=∠AOP ∴OP是∠AOB的一条“好线” ； (3) 设运动时间为t ，则∠MOP=12t ，∠BOA=4t ， 当OP在OB上方时，∠BOP=80°-12t ，∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ， ∴ 解得：t=5； 当OP在OB下方时，∠BOP= 12t-80°， ∠AOP=80°+4t-12t=80°-8t ， ∴， 解得：t= 综上所述：运动时间为5秒或秒. 【点睛】本题主要考查了角的和差倍分运算以及一元一次方程的应用，根据题意，分类讨论是解题的关键. 题型10一元一次方程应用之电费水费问题 一、核心关系与公式 1.单一收费模式：总费用 = 单价 × 用量（无分段，单价固定） 2.阶梯收费模式（初中重点）：总费用 = 第一档费用 + 第二档费用 + …（超过不同用量区间，对应不同单价，超档部分按新单价计费） 3.常见附加关系：总用量 = 各部分用量之和；多人 / 多户共用时，总费用 = 各户费用之和 二、易错点警示 1.阶梯区间混淆：误将总用量全部按高档单价计算，忽略 “超档部分” 才按对应单价计费； 2.单位不统一：忽略用量单位（如吨与立方米）、费用单位的一致性，导致计算错误； 3.漏算固定费用：部分收费包含基础费（如月租费），列式时遗漏固定部分； 4.区间边界错误：混淆 “不超过”“超过” 的表述（如 “超过 10 度按 2 元 / 度”，10 度及以内按原价，超出部分加价） 【基础题1】．自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过吨，每吨按2元收费，超过吨的部分按每吨3元收费，王老师三月份平均水费为每吨元收费，则王老师家三月份用水多少吨？ 【答案】王老师家三月份用水吨 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解决问题的关键．设王老师家三月份用水x吨，根据题意即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设王老师家三月份用水x吨， 根据题意：， 解得：， 答：王老师家三月份用水吨． 【提升题2】．购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．根据相关行业标准，空调的安全使用年限是年．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是元，请回答下列问题． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量 1级 3级 (1)使用多少年时，1级能效和3级能效这两款空调的综合费用相等？（综合费用空调的售价电费） (2)某人打算选购一台空调使用年，请分析他购买、使用哪款空调更划算． 【答案】(1)6 (2)购买、使用1级能效空调更划算 【分析】本题主要考查了列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解决本题的关键是列一元一次方程求出使用多少年时，两款空调的综合费用相等． （1）设使用年时，两款空调的综合费用相等，列方程求解即可； （2）分别计算出两款空调使用年的综合费用，通过比较判断，然后即可求解． 【详解】（1）解：设使用年时，两款空调的综合费用相等，根据题意得： ， 解得：， 答：使用6年时，两款空调的综合费用相等； （2）解：当时， 1级能效空调的综合费用：（元）， 3级能效空调的综合费用：（元）， ∵， ∴所以购买、使用1级能效空调更划算． 【拓展题3】．某市居民使用自来水按月收费，标准如下： ①若每户月用水不超过10m3，按a元/m3收费； ②若超过10m3，但不超过20m3，则超过的部分按1.5a元/m3收费，未超过10m3部分按①标准收费； ③若超过20m3，超过的部分按2a元/m3收费，未超过20m3部分按②标准收费； （1）若用水20m3，应交水费　　元；（用含a的式子表示） （2）小明家上个月用水21m3，交水费81元，求a的值； （3）在（2）的条件下，小明家七、八两个月共交水费240元，七月份用水xm3超过10m3，但不足20m3，八月份用水ym3超过20m3，当x，y均为整数时，求y的值． 【答案】（1）25a；（2）a＝3；（3）y的值为41或38 【分析】（1）根据收费标准②计算； （2）根据收费标准②③计算； （3）根据x、y的取值范围列出方程并解答． 【详解】解：（1）由题意得：10a+10×1.5a＝25a（元） 故答案是：25a． （2）根据题意，25a+2a＝81 解得a＝3； （3）根据题意，30+4.5（x﹣10）+30+45+6（y﹣20）＝240． 4.5x+6y＝300 3x+4y＝200 4y＝200﹣3x 因为x取11至19的整数，且y为整数，所以x应为4的倍数． 当x＝12时，y＝41： 当x＝16时，y＝38. 综上所述，y的值为41或38． 题型11一元一次方程应用之行程问题 一、核心公式与关系 1.基础公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt），变形公式：速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度 2.分类核心关系 *相遇问题（相向而行）：总路程 = 甲路程 + 乙路程；相遇时间 = 总路程 ÷（甲速度 + 乙速度） *追及问题（同向而行）：路程差 = 快者路程 - 慢者路程；追及时间 = 路程差 ÷（快者速度 - 慢者速度） *往返问题：往返总路程 = 单程路程 ×2；往返平均速度需结合总路程与总时间计算 二、易错点警示 1.单位不统一：速度、时间、路程单位混乱（如速度 m/s 与时间 min 混用），未统一就列式计算； 2.运动方向混淆：相遇问题与追及问题的核心关系颠倒，误将速度和当作速度差列方程； 3.忽略隐含条件：遗漏题目中 “同时出发”“不同时出发”“中途停留” 等关键信息，导致路程关系错误； 4环形行程失误：未明确环形跑道中相遇、追及的路程本质（总路程或路程差为跑道周长）。 【基础题1】．甲、乙两车同时分别从A、B两地相向而行，甲车速度是，两地相距，后相遇，问乙车的速度是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 设乙的速度为x千米小时，根据“甲的路程乙的路程”列出方程求解可得． 【详解】设乙的速度为x千米小时，依题意得： ， ， 答：乙车的速度是． 【提升题2】．甲、乙两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是千米/时，水流速度是千米/时．（顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度） (1)用含的代数式表示甲船顺水速度和乙船逆水速度； (2)用含的代数式表示小时后甲船比乙船多航行的路程；（结果化为最简） (3)若小时后甲船比乙船多航行千米，求的值． 【答案】(1)甲船顺水速度：，乙船逆水速度： (2) (3) 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，整式的加减运算．正确列出代数式是解题的关键． （1）直接根据公式写出代数式，即可； （2）先计算小时后两船的路程，在求差，即可求解； （3）根据路程差为60千米列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲船顺水速度静水速度水流速度； 乙船逆水速度静水速度水流速度． （2）解：小时后甲船航行路程：，即使 小时后乙船航行路程：， 甲船比乙船多航行的路程：． （3）解：∵甲船比乙船多航行千米， 故， 解得． 【拓展题3】．已知点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B之间的距离记为，定义：或，请回答问题： (1)设点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y，若，则 ． (2)设数轴上点P对应的数为p，且，求p的值； (3)如图，点A，B，C是数轴上的三点，点A表示的数为4，点C表示的数为，点B表示的数是9． 现甲从点A出发，以每秒2个单位长度的速度一直向右运动，同时乙从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，当乙到达点C时休息3秒后立即折回，再以每秒3个单位长度的速度向右运动时，此时甲以每秒1个单位长度的速度继续向右运动． 问：当经过多少秒时，甲、乙相距2个单位长度？ 【答案】(1)7； (2)或； (3)或或或； 【分析】（1）本题考查绝对值的非负性应用及数轴上两点间的距离，根据非负式子和为0它们分别等于0，求出两点，结合数轴上两点的距离等于两数之差的绝对值求解即可得到答案； （2）本题考查数轴上两点间的距离，分点在的左边或3的右边两类求解即可得到答案； （3）本题考查数轴上的动点问题及一元一次方程应用问题，分相遇前相距和相遇后相距，追及相距讨论即可得到答案； 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∵点M在数轴上对应的数为x，点N在数轴上对应的数为y， ∴； （2）解：∵，， ∴在3，的两边， 当点在的左边时， ， 解得：， 当点在3的右边时， ， 解得：， 综上所述：或； （3）解：由题意可得，设经过秒时，甲、乙相距2个单位长度， ①当相遇前相距2个单位长度时，由题意可得， ， 解得：， ②当相遇后相距2个单位长度时，由题意可得， ， 解得：， 乙运动到C点时， ， 甲运动时间为：， 甲乙相距：， ③当追到前相距2个单位长度时， ， 解得：， 当追到后相距2个单位长度时， ， 解得：， 综上所述：或或或时甲、乙相距2个单位长度． 题型12一元一次方程应用之比例分配问题 一、核心关系与公式 1.设元核心：若分配比例为a:b:c，常设三部分量分别为ax、bx、cx（x为比例系数，且x>0）； 2.总量关系：各部分量之和 = 总总量，即ax+bx+cx=总总量； 3.衍生关系：某部分量占总量的比例 = 对应比例项 ÷ 比例总和（如ax占总量的比例为）。 二、易错点警示 1.设元错误：未按比例设系数，直接设某部分量为x，增加计算难度； 2.比例混淆：颠倒比例项的顺序，导致各部分量表达式错误； 3.总量遗漏：列方程时未用 “各部分之和等于总量” 的核心关系，或计算总量时出错； 4.比例系数非正：解得x为负数，未检验其实际意义（比例系数必须为正数）。 【基础题1】．刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程应用，找到等量关系是解答本题的关键．设这批零件一共有个，按照比例可用表示出已加工的个数和完成的个数，再根据已加工的再加上个零件就可以完成这批零件的这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这批零件一共有个， 由题意得， ， 解得，， 答：这批零件一共有个. 【提升题2】．某中学社团活动丰富多彩，其中体育社团有三个，分别是篮球社、足球社和羽毛球社．篮球社人数最多，有48人． (1)以下三个关于体育社团人数的信息只有一个是准确的，准确的信息是 ． A．篮球社、足球社和羽毛球社人数的比是． B．篮球社人数是足球社人数的． C．篮球社人数比三个体育社团总人数多10人． (2)根据以上信息算一算，该校三个体育社团的总人数． 【答案】(1)C (2)三个体育社团的总人数为95人 【分析】本题考查了一元一次方程解应用题，解题的关键是理解题意，找出数量之间的关系． （1）由题意可知：篮球社人数最多，进而可知篮球社人数所占比例最多、比足球社人数多，可得答案； （2）设三个体育社团总人数为x人，列方程，解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：篮球社人数最多， 所以篮球社人数所占比例最多，比足球社人数多， 所以选项A、B错误，选项C正确； （2）设三个体育社团总人数为x人，由题意可得： 解这个方程得：， 所以三个体育社团的总人数为95人． 【拓展题3】．某商场进了20台A、B、C三种型号的冰箱，根据下表提供的信息，解答以下问题： 冰箱类型 A B C 购进的台数（台） 8 6 每台冰箱的销售价（元） 2000 3000 (1)商场购进A型号冰箱______________台； (2)每台A型号冰箱的销售价比每台型号冰箱的销售价便宜． ①每台C型号冰箱的销售价是_______________元； ②如果每台A、B两种型号冰箱的成本价之比是，每台C型号冰箱的成本价比每台B型号冰箱的成本价少500元，且每台C型号冰箱的成本价比每台A型号冰箱的成本价多300元，则每台C型号冰箱的成本价是多少元？每台C型号冰箱的盈利率是多少？（百分号前保留一位小数） ③如果要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，那么需要销售A种型号冰箱______________台． 【答案】(1)6 (2)①2500；②1900元，；③3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，百分数应用题，比的应用，假设法解题，读懂题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）用总数减去B、C两种型号的冰箱的数量，即可得解； （2）①设C型冰箱销售价为元，根据每台A型号冰箱的销售价比每台C型号冰箱的销售价便宜，列方程求解即可；②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元，根据题意，列方程求解即可，再用C的售价减去成本再除以成本得到盈利率；③先由②得到每台A、B型号冰箱的成本价，分别假设A种型号冰箱售出1台，2台，3台，4台，5台，6台，得出答案． 【详解】（1）解：A型号冰箱购买了（台）； 故答案为：6． （2）解：①设C型冰箱销售价为元， 根据题意得， 解得， 故答案为：2500； ②设A、B两种型号冰箱的成本价分别为元、元，则C型号冷冻箱的成本价为元， 根据题意得，， 解得， （元）， 每台C型号冰箱的盈利率为：， 答：每台C型号冰箱的成本价是1900元，每台C型号冰箱的盈利率是． ③由②可知，A型号冰箱的成本价为（元）， 一台A型号冰箱的利润为（元）， B型号冰箱的成本价为（元）， 一台B型号冰箱的利润为（元）， 假设A种型号冰箱售出1台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出2台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出3台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 假设A种型号冰箱售出4台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱售出5台，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），不符合题意； 假设A种型号冰箱全部售出，那么A种型号的利润达到元， 那么需要销售种型号（台），符合题意； 综上，要使A、B两种型号冰箱的总利润达到6000元，需要销售A种型号冰箱3台或6台； 故答案为：3或6． 题型13一元一次方程应用之日历问题 一、核心关系与设元技巧 1.设元核心：若分配比例为m:n（或m:n:p），常设各部分量为mx、nx（或mx、nx、px），其中x为正比例系数； 2.总量等式：各部分量之和 = 总总量，即mx+nx+...=总量。 二、易错点警示 1.设元错误：未按比例设系数，直接设某部分为x，增加计算难度； 2.比例颠倒：混淆比例项顺序，导致各部分量表达式错误； 3.忽略x的取值：解得x为非正数，未检验其实际意义。 【基础题1】．数学活动−−探究日历中的数字规律．如图，这是2025年1月的月历表．在表中用对称的型框“”框住七个数． (1)若型框中其中最小的数字为2，求型框中的七个数字之和． (2)在表中移动型框的位置，若型框框住的七个数字之和为147，求这七个数字中最大的数． (3)在表中移动型框的位置，请判断型框框住的七个数字之和能否为168，若能，请直接写出七个数字中最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)70 (2)29 (3)不能，理由见解析 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，，然后得出一元一次方程求解即可； （3）设型框正中间的数字为．同（2）求解方程，结合日历表即可求解 【详解】（1）解：根据题意得． （2）设型框正中间的数字为，则另外6个数字分别为，，，，，； 所以这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 所以． 答：这七个数字中最大的数字是29． （3）不能． 理由：设型框正中间的数字为．由（2）可知，这7个数字的和是． 根据题意得，解得． 因为，32不在月历表中， 所以型框框住的七个数字之和不能为168． 【提升题2】．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别为、、、、． . (1)若，则________．用含的式子表示________； (2)在移动“凹”字型框过程中，小龙说被框住的5个数字之和可能为26，小翼说被框住的5个数字之和可能为101，他们的说法正确吗?请说明理由； (3)在另一个“凹”字型框框住的五个数分别为、、、、，且，则符合条件的的值为________． 【答案】(1)13， (2)小龙的说法不对，大翼的说法对，理由见解析； (3)25，28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由日历中5个数的位置关系，即可求出，理解题意，可用含a的式子表示； （2）由5个数之和分别为26和101，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出的值，结合b的值及，可确定b值，进行作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 依题意， 故答案为：13， （2）解：小龙的说法不对，大翼的说法对，理由如下： 依题意， 则 ∵被框住的5个数字之和为26， ∴， ∴ ∴， ∵，不符合题意， ∴小龙的说法不对， ∵被框住的5个数字之和为101， ∴ ∴ ∴， ∴小翼的说法对． （3）解：依题意，a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴的值可以为：25，28，31，40，43，46，49，52，61，64，67，70，73，82，85，88； 同理，b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∵， ∴b的值可以为：25，28． 【拓展题3】．如图是某年某月的月历，用如图所示的“凹”字型在月历中任意圈出5个数，设“凹”字型框中的五个数分别a1，a2，a，a3，a4． (1)若a1＝1，则＝______，若a＝x，则a4＝______（用含x的式子表示）； (2)在移动“凹字型框过程中，小胖说被框住的5个数字之和可能为106，大胖说被框住的5个数字之和可能为90，你同意他们的说法吗？请说明理由； (3)若另一个“凹”字型框框住的五个数分别为b1，b2，b，b3，b4，且b＝2a+1，则符合条件的b的值为______． 【答案】(1)10；； (2)小胖的说法对，大胖的说法不对，理由见解析； (3)21，23或29． 【分析】（1）由日历中5个数的位置关系，即可求出a3，同样可用含x的式子表示a4； （2）由5个数之和分别为106和90，解之可得出a值，进而可得结论； （3）找出a的可能值，进而可得出2a+1的值，结合b的值及b = 2a+ 1可确定b值． 【详解】（1）解：由题意得：a3=1+7+2=10，若a＝x，则a4=x+1-7=x-6， 故答案为：10；x-6； （2）解：小胖的说法对，大胖的说法不对， 理由：小胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =106，解得：a=24； 大胖：(a-8) + (a- 1) +a+ (a+1) + (a-6) =90，解得：a=20.8 (不符合题意，舍去)； ∴小胖的说法对，大胖的说法不对； （3）解：a的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30， ∴2a+1的值可以为：19，21，23，29，31，33，35，37，43，45，47，49，51，57，59，61； ∵b的值可以为：9，10，11，14，15，16，17，18，21，22，23，24，25，28，29，30，且b= 2a+1， ∴b的值可以为：21，23，29， 故答案为：21，23或29． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 题型14一元一次方程应用之古代问题 一、核心关系与设元 1.比例设元：比例为a:b（或a:b:c），设各部分为ax、bx（或ax、bx、cx），x为比例系数； 2.核心等式：各部分量之和 = 总量。 二、易错点警示 1.比例项颠倒或设元未用比例系数； 2.解得x为非正数，忽略实际意义。 【基础题1】．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 【答案】21人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中钱的总数列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程， 解得：， 即合伙人有21人． 【提升题2】．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 【拓展题3】．综合与实践 阅读材料，解答下列问题： 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，如图1．把图1的洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，如图2，它的每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等． (1)在图2中，每行、每列、每条对角线上三个数的和都是______； (2)设图3所示的三阶幻方中间的数为x（x为整数），请用含x的代数式将图3幻方补充完整； (3)如图4是一个三阶幻方，按方格中已给的信息，求x的值． 【答案】(1)15 (2)1，2，4 (3) 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，利用中间一行三个数字相加即可； （2）根据每行每列对角线上的三个式子的和相等的关系求解即可．利用对角线下面两个式子的和减去第一行中间的式子，即得第一行右边的式子；利用第一列上下两个式子的和减去第二行中间的式子，即得第二行右边的式子；利用第一列上面两个式子的和减去第三行右边的式子，即得第三行中间的式子； （3）根据三阶幻方每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，利用对角线下面两个式子的和等于第一行右边两个的式子的和，列出一元一次方程求解即可． 本题主要考查了一元一次方程的应用，抓住图形中数字的规律建立一元一次方程求解是解决问题的关键． 【详解】（1）∵每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等， ∴取中间一行三个数的和，为，， 故答案为：15； （2）∵， ， ， ∴补全图3如下： （3）由题意知，， 解得． 题型15一元一次方程应用之其他问题 一、常见题型分类及核心要点 1.年龄问题 *核心关系：年龄差始终不变（无论过去、现在、未来，两人年龄差固定）；年龄增长 / 减少的量相同。 *设元技巧：常设现在的年龄为x，用含x的式子表示过去或未来的年龄。 2.浓度问题（基础入门） *核心公式：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量。 *解题关键：稀释 / 加浓过程中，溶质质量不变（以此为等量关系列方程）。 3.配套购买问题 *核心关系：根据实际需求确定购买数量比例（如 1 个篮球配 2 个打气筒），结合总费用建立方程。 *常用等式：单价 × 数量 = 总价；各物品总价之和 = 总预算。 4.分段计费延伸问题 （非水电类，如话费、打车费、快递费等）核心：明确分段节点（如打车 3 公里内起步价，超 3 公里按里程计费），超段部分单独计算。 二、易错点警示 年龄问题：误将年龄倍数当作不变量（年龄倍数随时间变化，年龄差才固定）； 浓度问题：混淆 “溶液”“溶质”“溶剂” 概念，误将溶剂质量当作溶液质量； 分段计费问题：漏看 “不足 1 单位按 1 单位计费” 等隐含条件，导致计费区间判断错误。 【基础题1】．两桶同样重量的油，第一桶用去了它的，第二桶用去了吨，比较两桶中剩余的油量，发现一样重．问：原来两桶油各重多少吨？ 【答案】 1吨 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解数量关系，正确列式求解是关键． 设原来每桶油重吨，根据剩余油量相等列出方程，解方程即可． 【详解】解：设原来每桶油重吨， 第一桶用去吨，剩余 吨，第二桶用去吨，剩余吨， 由题意，剩余油量相等， ∴ ， 两边同乘3，得 ， 移项，得 ， 即 ， 解得 ， 故原来两桶油各重1吨． 【提升题2】．我们知道，分数都是有理数，而分数可以化为小数，结果是有限小数或者无限循环小数．例如我们常见的，．反之，无限循环小数都可以写成分数．观察下面将一个无限循环小数化为分数的过程，并解决问题． 是一个以34为循环节的无限循环小数．将它扩大到100倍，把第一个循环节移到小数点之前，得到发现小数点后依然是循环节为34的无限循环小数，即仍是原数（这是“无限”的奇妙特征——部分等于全部），即．由此可知，99个等于34，所以． 解决以下问题： (1)在横线上填上合适的符号______1（填写“＞”、“＝”、“＜”）； (2)将和化为分数； (3)直接写出的分数形式． 【答案】(1)= (2)， (3) 【分析】本题为阅读理解题，考查了循环小数和分数的互化，一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算等知识，认真读题，理解题意是解题关键． （1）根据纯循环小数化分数的方法运算即可； （2）根据纯循环小数化分数的方法运算即可； （3）将分别扩大10倍和扩大1000倍，再相减即可求解； 【详解】（1）解：∵，是一个以为循环节的无限循环小数，将它扩大到倍， 即， 由此可知，个等于，所以． 故答案为：． （2）解：∵，是一个以为循环节的无限循环小数，将它扩大到倍， 即， 由此可知，个等于，所以． ∵，是一个以为循环节的无限循环小数，将它扩大到倍， 即， 由此可知，个等于，所以． （3）解：设，先扩大倍得，再扩大倍得， 用， 即， 解得， ． 【拓展题3】．已知式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上A、B两点所对应的数分别是a和b． ①则 ， ． ②有一动点P从点A出发第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2015次时，求点P所对应的有理数． ③在②的条件下，点P会不会在某次运动时恰好到达某一位置，使点P到点B的距离是点P到点A的距离的3倍？若可能请求出此时点P的位置，并直接指出是第几次运动，若不可能请说明理由． 【答案】①；7；②；③可能，分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置 【分析】本题考查了数轴和一元一次方程的应用： ①根据二次多项式得到，由此求得a的值；然后根据多项式的系数的定义得到b的值； ②根据题意得到点P每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可； ③分三种情况进行解答，根据题目给出的条件，找到合适的等量关系列出方程； 读懂题目意思是解答本题的关键． 【详解】解：①∵式子是关于x的二次多项式，且二次项系数为b， ∴， 则， 故答案为：；7； ②依题意得： ＝ ＝， 答：点P所对应的有理数的值为； ③设点P对应的有理数的值为x， i）当点P在点A的左侧时：，， 依题意得：， 解得：； ii）当点P在点A和点B之间时：，， 依题意得：， 解得：； iii）当点P在点B的右侧时：，， 依题意得：， 解得：，这与点P在点B的右侧（即）矛盾，故舍去． 综上所述，点P所对应的有理数分别是和， 所以和分别是点P运动了第11次和第6次到达的位置． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $