专题09用一元一次方程解决问题精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本讲义聚焦用一元一次方程解决实际问题，系统梳理从审题、设元、列方程到检验作答的六步标准流程，结合线段示意图、表格等工具分析数量关系，涵盖和差倍分、行程、工程等15类常考模型，构建完整学习支架。 资料以结构化流程规范解题步骤，通过行程问题线段图、销售问题表格等可视化工具培养几何直观与抽象能力，分层题型（如★基础到★★★较难）适配不同水平，结合古代问题、方案选择等情境发展模型意识与推理能力，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

专题09用一元一次方程解决问题精讲学案 核心立意 掌握列一元一次方程解应用题的标准步骤，会借助线段示意图、表格梳理数量关系，熟记常见应用题模型，建立方程建模思想，规范书写答题格式，规避应用题高频扣分陷阱。 列一元一次方程解应用题六步流程： ①审题：读懂题意，区分已知量、未知量，找准等量关系； ②设元：优先直接设未知数，复杂题选用间接设元，设未知数标注单位；③列方程：依托等量关系列一元一次方程，保证等式两边单位统一； ④解方程：按规范步骤求出未知数的值； ⑤检验：既要检验数值是方程的解，还要验证结果符合实际意义 ⑥作答：写完整答句，带上对应单位。 数量关系分析工具： ①线段示意图：适合行程、分配盈亏问题，直观呈现和差等量关系； ②列表分析法：适合销售、工程、配比、两类量对比题型，清晰整理多组数量。 常考应用题基础模型： ①和差倍分问题：利用总量=各部分量之和、数量差值建立等量； ②行程问题：核心公式：路程=速度时间， 相遇：路程和=总路程，追及：路程差=初始间距； ③工程问题：总工作量常设为1， 工作总量=工作效率工作时间，合作工作量相加等于总工作量； ④销售利润问题：利润=售价−进价， 利润率=100\%}，售价=标价×折扣； ⑤配套比例问题：依据配套固定倍数关系，列出等量方程。 解题核心关键： 列方程解实际问题的核心是找准等量关系；等量关系不直观时，借助画图、列表梳理数量。 1.设未知数、写答句遗漏单位，格式不规范丢步骤分； 2.列式前不统一单位，时间、长度、货币单位混用； 3.只检验方程，不检验实际意义，保留人数、件数等不合理负值、小数解； 4.采用间接设元时，最后忘记换算，没有求出题目真正所求量； 5.读题抓不住隐藏等量关系，盲目列式。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏问题 ★★ 题型四 比赛积分问题 ★★ 题型五 方案选择问题 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★较难；★★★★拔高压轴 题型一：配套问题 解题思路：①抓住部件配套倍数，②利用A部件数量∶B部件数量=配套比值列方程。 1．某车间有15名工人，每人每天可生产80个甲种零件或者120个乙种零件，1个甲种零件需配套3个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排_____人生产甲种零件． 2．小王在某电商平台出售工艺品，将2张鱼形剪纸和3张“福”字剪纸配成一套销售，一张红纸能制作2张鱼形剪纸或6张“福”字剪纸，共有红纸120张，应该怎样分配红纸才能使制作的鱼形剪纸和“福”字剪纸刚好配套？若设分配张红纸制作鱼形剪纸，则依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 4．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 题型二：工程问题 解题思路：①总工作量常设为1，②核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，③合作时各工作量之和=总工作量。 5．一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 6．陕西文物资源极为丰富，被誉为“天然的历史博物馆”．某文物修复中心接到一项紧急任务，如果由一位资深修复师单独完成，需要天，现在计划由一位资深修复师带领若干名助手共同工作，已知助手的工作效率是资深修复师的一半．则需要安排________名助手，才能恰好用时天完成这项任务．（假设每位助手工作效率相同，且所有人同时工作） 7．某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 8．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 题型三：销售盈亏 解题思路：①熟记公式：利润=售价−进价、售价=标价×折扣、利润率=利润÷进价×100%，②对比进价与售价判断盈亏。 9．一件风衣按成本价提高后标价，再打七五折销售，仍可获利20元，设成本价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 10．乐业镇在开展绿道建设中，需购买修路材料，如图，根据负责人与供货商的聊天记录，可知此次购买修路材料的预算为 __________ 元． 11．公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？ 12．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 题型四：比赛积分 解题思路：①分清胜、负、平的分值，②等量关系：总积分=胜场积分+平场积分−负场扣分，③据此列方程。 13．2025年秋四川省城市足球联赛（“川超”）2025—2026赛季正式开始，第一阶段为分区赛，采用积分制，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，截至11月9日，川北赛区绵阳九州长虹队在7场比赛以不败战绩获积分15分，则绵阳九州长虹队在前7场比赛中共获胜了______场． 14．2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 15．我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 16．2025年9月至12月，轰轰烈烈的湖南足球超级联赛（简称“湘超”联赛）从酷热时节打到寒冬，其火爆程度远超预想．它不仅仅点燃了三湘大地的足球热情，更是带来经济的活跃，乡土情感的联结，其意义远远超越了一场体育赛事的胜负，是湖南本土难得一见的现象级文化盛事．请用方程解决下列关于“湘超”联赛的问题． (1)在“湘超”联赛中，比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某支球队表现出色，截至目前没有输过一场比赛，13场比赛总积分为35分．这支球队胜、平的场数各是多少？ (2)“湘超”联赛的火爆带动了主题文创的销售，某商店销售一款热门球队的纪念钥匙扣，每个进价为12元．店长按进价加价作为标价，又在促销期间按标价打八折出售．在最近一周，该店通过销售此钥匙扣共获利240元．问这一周共售出了多少个钥匙扣？ 题型五：方案选择 解题思路：①设未知数，写出各方案费用代数式，②先求费用相等的临界点，③再分类讨论选出最优方案。 17．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 18．某商场十一黄金周期间对顾客实行如下优惠： （1）一次性购物金额不超过200元，不予以优惠； （2）一次性购物金额超过200元但不超过500元，按全部金额九折优惠； （3）一次性购物金额超过500元，其中500元的部分按九折优惠，超过500元的部分按八折优惠． 顾客甲第一次在该商场购物原价为m元，第二次购物原价为700元，这样分两次购买比一次性购买同样数量的商品多付款36元，则m的值为___________． 19．学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 20．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 题型六：数字问题 解题思路：①设数位上数字为未知数，②多位数按数位权重表示（如十位a、个位b，两位数=10a+b），③依题意找等量列方程。 21．如图，将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上下左右移动，可框住另外5个数，这五个数的和不可能是（   ） A．235 B．205 C．85 D．65 22．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 23．如图，在的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行、同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等．下图是小兰同学要填的幻方，其中有三格被涂黑了，请你根据幻方的填数规则，求出的值． 24．探索与表达规律 (1)【回顾教材】教材3.5探索与表达规律的课后习题中有这样一个题目：将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系：______； (2)【变式探究】如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3所示的数表，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17． ①______； ②在数表中的T字形框上下左右移动，T字形框中的四个数之和能否等于296．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 题型七：几何问题 解题思路：①常用等积变换（形变，面积/体积不变），②套用周长、面积、体积公式，③统一单位后列式。 25．如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 26．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 27．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          28．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 题型八：动点问题 解题思路：①设运动时间t，用路程=速度×t表示动点距离，②结合线段长找等量，③按位置分类讨论，④检验解的合理性。 29．如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 30．如图，中，，，，．点为边上的动点，沿的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，设点运动时间为秒． （1）当点在上运动时，若，则___________； （2）若点与某一顶点的连线平分的周长时的值为___________． 31．如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 32．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 题型九：和差倍分问题 解题思路：①抓取和、差、倍、分、多、少等关键词，②理清大小量关系，③利用总量与部分量关系列式。 33．小军读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读6页，这时已读的页数是剩下页数的，这本书小军读了( )页． 34．七年级二班有学生人，会下象棋的人数是会下围棋人数的倍，两种棋都会或都不会的人数都是人，设会下围棋的人数是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 35．我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 36．北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 题型十：电费和水费问题 解题思路：①看懂阶梯分段标准，先判断用量所属档位，②总费用=基础费用+超额部分费用，③建立方程。 37．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个月实际用水为______立方米． 38．水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 39．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．其自来水收费的价目表如下：（注：水费按每户家庭每月份结算）； 类别 每月用水量 单价 第一阶梯 立方米（包括20立方米） 元/立方米 第二阶梯 立方米（包括30立方米） 元/立方米 第三阶梯 30立方米以上 元/立方米 (1)小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费_____元； (2)小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？ (3)小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？ 40．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 题型十一：行程问题 解题思路：①核心公式：路程=速度×时间，②相遇：路程和=总路程，③追及：路程差=初始间距，④注意单位统一。 41．一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 42．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 43．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 44．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 题型十二：比例分配 解题思路：①按比例设未知数（如2∶3∶4，设2x、3x、4x），②各分量相加等于总量，③求解后再求各分量。 45．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得______枚银牌． 46．一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 47．2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 48．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 题型十三：日历问题 解题思路：①日历左右相邻数差1、上下差7，②优先设中间数为x，用代数式表示其余数，③结合条件列方程。 49．2024年9月的月历如图所示，小杰用长方形按图中所示的方法从月历中任意框出3个数．若长方形框住的3个数的和为72，则框住的这3个数中最大的数是_________． 50．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 51．下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 题型十四：古代问题 解题思路：①翻译古文，剥离文字背景，提取已知量、未知量，②转化为常规等量模型，③按审设列解验答规范解题。 53．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 54．三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶．它是由个数组成的一个的方格，且每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，这是一个残缺的幻方，根据图中已知的个数，可得______． 55．在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？ 56．《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价． 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题． 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六． 问：人数，鸡价各几何？ 题型十五：其他问题 解题思路：①读题圈画不变量、相等关系，②复杂数量可用表格、线段图梳理，③解完检验结果是否符合现实意义。 57．丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 58．某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 59．某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航；快充每15分钟可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 60．凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． (1)中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； (2)将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09用一元一次方程解决问题精讲学案 核心立意 掌握列一元一次方程解应用题的标准步骤，会借助线段示意图、表格梳理数量关系，熟记常见应用题模型，建立方程建模思想，规范书写答题格式，规避应用题高频扣分陷阱。 列一元一次方程解应用题六步流程： ①审题：读懂题意，区分已知量、未知量，找准等量关系； ②设元：优先直接设未知数，复杂题选用间接设元，设未知数标注单位；③列方程：依托等量关系列一元一次方程，保证等式两边单位统一； ④解方程：按规范步骤求出未知数的值； ⑤检验：既要检验数值是方程的解，还要验证结果符合实际意义 ⑥作答：写完整答句，带上对应单位。 数量关系分析工具： ①线段示意图：适合行程、分配盈亏问题，直观呈现和差等量关系； ②列表分析法：适合销售、工程、配比、两类量对比题型，清晰整理多组数量。 常考应用题基础模型： ①和差倍分问题：利用总量=各部分量之和、数量差值建立等量； ②行程问题：核心公式：路程=速度时间， 相遇：路程和=总路程，追及：路程差=初始间距； ③工程问题：总工作量常设为1， 工作总量=工作效率工作时间，合作工作量相加等于总工作量； ④销售利润问题：利润=售价−进价， 利润率=100\%}，售价=标价×折扣； ⑤配套比例问题：依据配套固定倍数关系，列出等量方程。 解题核心关键： 列方程解实际问题的核心是找准等量关系；等量关系不直观时，借助画图、列表梳理数量。 1.设未知数、写答句遗漏单位，格式不规范丢步骤分； 2.列式前不统一单位，时间、长度、货币单位混用； 3.只检验方程，不检验实际意义，保留人数、件数等不合理负值、小数解； 4.采用间接设元时，最后忘记换算，没有求出题目真正所求量； 5.读题抓不住隐藏等量关系，盲目列式。 题型 考察方向 难度 题型一 配套问题 ★★ 题型二 工程问题 ★★ 题型三 销售盈亏问题 ★★ 题型四 比赛积分问题 ★★ 题型五 方案选择问题 ★★★ 题型六 数字问题 ★★ 题型七 几何问题 ★★ 题型八 动点问题 ★★★ 题型九 和差倍分问题 ★ 题型十 电费和水费问题 ★★ 题型十一 行程问题 ★★ 题型十二 比例分配 ★★ 题型十三 日历问题 ★ 题型十四 古代问题 ★★ 题型十五 其他问题 ★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★较难；★★★★拔高压轴 题型一：配套问题 解题思路：①抓住部件配套倍数，②利用A部件数量∶B部件数量=配套比值列方程。 1．某车间有15名工人，每人每天可生产80个甲种零件或者120个乙种零件，1个甲种零件需配套3个乙种零件，为使每天生产的两种零件刚好配套，应安排_____人生产甲种零件． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程．设安排人生产甲种零件，则生产乙种零件的人数为人，根据配套比例列出方程求解即可． 【详解】解：设应安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， 根据题意得：， 解得， 故答案为：． 2．小王在某电商平台出售工艺品，将2张鱼形剪纸和3张“福”字剪纸配成一套销售，一张红纸能制作2张鱼形剪纸或6张“福”字剪纸，共有红纸120张，应该怎样分配红纸才能使制作的鱼形剪纸和“福”字剪纸刚好配套？若设分配张红纸制作鱼形剪纸，则依题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设分配张红纸制作鱼形剪纸，根据设出的未知数，表示出两种剪纸的总数量，再根据刚好配套时总套数相等的关系，整理得到对应方程． 【详解】解：设分配张红纸制作鱼形剪纸，则剩下张红纸用于制作“福”字剪纸， ∵一张红纸可制作张鱼形剪纸， ∴鱼形剪纸总数量为张， ∵一张红纸可制作张“福”字剪纸， ∴“福”字剪纸总数量为张． ∵刚好配套时，每套需要张鱼形剪纸和张“福”字剪纸，总套数相等， 可得：． 3．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用钢材可以做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应该用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器？最多能制作多少台仪器？ 【答案】用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 【分析】要制作尽可能多的仪器，需根据A、B部件的配套关系（1个A部件和3个B部件构成一台仪器 ），设用钢材做A部件，钢材做B部件，通过部件数量的配套比例列方程求解． 【详解】解：设用钢材做A部件，则用钢材做B部件． 则 解得， ∴做B部件的钢材为，做A部件的数量：（个），做B部件的数量：（个）， 可制作仪器数量： 台（此时A部件和B部件的数量恰好配套 ）， 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，才能制作尽可能多的仪器，最多能制成160台仪器． 4．完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 惠州某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决 任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：惠州某店家以每副80元的价格购进镜架后提高后标价．在元旦假期期间，店家打七折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ 任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】任务一：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套；任务二：；任务三：九折 【分析】任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； 任务二：根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】解：任务一：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； 任务二：根据题意得： ， 答：售出的每一副镜架的利润率是； 任务三：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 题型二：工程问题 解题思路：①总工作量常设为1，②核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，③合作时各工作量之和=总工作量。 5．一项工作，甲单独做需完成，乙单独做需完成．现在由乙单独先做，剩下的再由甲、乙一起做，还需几小时完成？设剩下的部分还要完成，下面所列方程正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程应用，根据题意可得甲的工作效率为，乙的工作效率为，设剩下的部分还要完成，则甲的工作时间为，乙的工作时间为，根据甲、乙的工作量之和等于总工作量列方程即可． 【详解】解：设剩下的部分还要完成， 由题意得，， 故选：C． 6．陕西文物资源极为丰富，被誉为“天然的历史博物馆”．某文物修复中心接到一项紧急任务，如果由一位资深修复师单独完成，需要天，现在计划由一位资深修复师带领若干名助手共同工作，已知助手的工作效率是资深修复师的一半．则需要安排________名助手，才能恰好用时天完成这项任务．（假设每位助手工作效率相同，且所有人同时工作） 【答案】 【分析】将总工作量看作单位，先根据已知条件分别求出资深修复师和每名助手的工作效率，再设需要安排的助手人数为未知数，根据总工作量等于工作时间乘以总工作效率列一元一次方程求解即可. 【详解】解：设总工作量为，需要安排名助手， 列方程得：， 解得：. 7．某市今年进行煤气工程改造，甲、乙两个工程队共同承包这个工程．这个工程如果甲、乙队单独做分别需要10天和15天完成．煤气工程在改造过程中，甲、乙两队同时施工4天，余下的工程由乙队完成． (1)求乙队还需要完成任务的天数． (2)若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程改造的总报酬为10万元，求甲队和乙队各得报酬的钱数． 【答案】(1)5天 (2)甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意列方程，再解方程即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：设乙队还需要完成任务的天数为天， 根据题意得，， 解得． 答：乙队还需要完成任务的天数为5天． （2）解：根据题意得，甲队所得报酬为（万元）， 乙队所得报酬为（万元）． 答：甲队所得报酬为4万元，乙队所得报酬为6万元． 8．一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作完成此项工程． (1)甲、乙两队合作还需多少天才能把该工程完成？ (提示：工程问题中可设总工作量为单位“1”，工作效率总工作量工作时间) (2)甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队单独完成、乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 【答案】(1)甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成 (2)甲、乙两队全程合作完成该工程省钱 【分析】（1） 设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成，按工程问题列方程求解即可； （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成，分两种情况：由甲队单独完成和甲、乙两队全程合作完成，分别求出费用，再比较大小即可得解． 【详解】（1）解：设甲、乙两队再合作x天才能把该工程完成， 根据题意列方程为， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：甲、乙两队再合作6天才能把该工程完成． （2）因为45天大于40天，所以不能由乙队单独完成， 若由甲队单独完成工程的费用：(万元) 设由甲、乙两队全程合作完成需要m天，则，解得， 甲、乙两队全程合作完成工程的费用：(万元)， 因为万元万元． 所以由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱． 题型三：销售盈亏 解题思路：①熟记公式：利润=售价−进价、售价=标价×折扣、利润率=利润÷进价×100%，②对比进价与售价判断盈亏。 9．一件风衣按成本价提高后标价，再打七五折销售，仍可获利20元，设成本价为x元，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用销售问题的基本等量关系，依次表示出标价、售价，根据利润的等量关系列出方程即可判断． 【详解】解：设成本价为元， ∵ 风衣按成本价提高后标价， ∴ 标价为， ∵ 标价再打七五折销售， ∴ 实际售价为， ∵ 获利等于实际售价减去成本价，已知获利20元， ∴ 可列方程为． 10．乐业镇在开展绿道建设中，需购买修路材料，如图，根据负责人与供货商的聊天记录，可知此次购买修路材料的预算为 __________ 元． 【答案】10000 【分析】设此次购买修路材料的预算为x元，根据原单价的九折等于现在的单价，列方程求解即可． 本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系式，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设此次购买修路材料的预算为x元， 根据题意得：， 解得：， ∴此次购买修路材料的预算为10000元． 故答案为：10000． 11．公园门票价格规定如表： 购票张数 张 张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）（2）两个班共104人去游园，其中（1）班有40多人，不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元．问： (1)两班各有多少学生？ (2)如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班有48人，七年级（2）班有56人 (2)可省304元 (3)购买51张票最省钱 【分析】（1）设七年级（1）班人数为x，根据人数范围确定两个班对应的门票单价，根据总购票费用列一元一次方程求解即可； （2）计算团体购票的总费用，用原总费用减去团体总费用得到节省的钱数； （3）分别计算七年级（1）班按实际人数购票和购买51张票的费用，比较后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设七年级（1）班有x名学生，则七年级（2）班有名学生． 由题意得， 因此， 根据总购票费用列方程得： ，解得， 所以． 答：七年级（1）班有48名学生，七年级（2）班有56名学生． （2）解：两班共104人，团体购票每张票9元，总费用为（元）； 节省的费用为（元）． 答：可省304元． （3）解：七年级（1）班共48人， 若按实际人数购票，总费用为（元）； 若购买51张票，总费用为（元）； ∵， ∴购买51张票更省钱． 答：购买51张票最省钱． 12．某电器商场计划用万元从生产厂家购进台电视机已知该厂家生产种不同型号的电视机，出厂价分别为种每台元，种每台元，种每台元． (1)若该商场只选购、两种电视机，各购买多少台？ (2)若商场销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，销售一台种电视机可获利元，除了（1）的方案，该商场还有一种方案，购进种电视机台，种电视机台在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，应选择哪种方案？ 【答案】(1)购进、两种电视机各台 (2)应选择购进种电视机台，种电视机台 【分析】（1）设购进A种电视机台，则B种为台，列方程求解即可； （2）求出两种方案的利润，再比较即可． 【详解】（1）解：设购进种电视机 台，则购进种电视机台， 由题意得，， 解得， 所以， 答：购进、两种电视机各台； （2）解：若购进、两种电视机各台，可获利（元） 若购进种电视机台，种电视机台，可获利（元） 因为， 所以为了获利最多，应选择方购进种电视机台，种电视机台． 题型四：比赛积分 解题思路：①分清胜、负、平的分值，②等量关系：总积分=胜场积分+平场积分−负场扣分，③据此列方程。 13．2025年秋四川省城市足球联赛（“川超”）2025—2026赛季正式开始，第一阶段为分区赛，采用积分制，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，截至11月9日，川北赛区绵阳九州长虹队在7场比赛以不败战绩获积分15分，则绵阳九州长虹队在前7场比赛中共获胜了______场． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设胜场，平局为场，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设胜场，平局为场，由题意得， 解得： 故答案为：． 14．2025年苏超联赛火爆全国，泰州队带着倔强精神，以史诗般的征程“一路突围”，从“不被看好”到“一飞冲天”，这支球队展现了顽强拼搏的精神风貌．最终力克南通队，将苏超首座冠军奖杯高高捧起．在常规赛中，江苏13个市进行单循环积分赛（每两队之间只比赛一场），比赛规则如下：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分．9月27日常规赛结束，部分球队的积分如表： 队伍 场次 胜 平 负 积分 南通队 12 10 2 0 32 泰州队 12 4 18 泰州队一共胜了（   ）场． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】设泰州队胜场数为未知数，根据总场次得到平场数，再结合积分规则列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设泰州队一共胜了场． ∵每队总场次为场，泰州队负场， ∴平的场数为． 根据题意列方程得：， 整理得：， 解得：， ∴泰州队一共胜了场． 15．我校开展“书香校园”文学阅读与知识竞赛活动．知识竞赛为百分制，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．，，三位参赛者得分情况如下表所示： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 58 (1)这次竞赛中答对一题得_____分，答错一题得_____分； (2)求参赛者答对的题数． 【答案】(1)5， (2)参赛者答对13题 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，比赛积分(一元一次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）由参赛者A可求得答对一题得分，由参赛者B可求得答错一题得分； （2）设参赛者答对题，根据题意列出一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由参赛者A可得，答对一题得分， 由参赛者B可得，答错一题得分， 故答案为：5，； （2）解：设参赛者答对题， 依题意得：． 解得：． 答：参赛者答对13题． 16．2025年9月至12月，轰轰烈烈的湖南足球超级联赛（简称“湘超”联赛）从酷热时节打到寒冬，其火爆程度远超预想．它不仅仅点燃了三湘大地的足球热情，更是带来经济的活跃，乡土情感的联结，其意义远远超越了一场体育赛事的胜负，是湖南本土难得一见的现象级文化盛事．请用方程解决下列关于“湘超”联赛的问题． (1)在“湘超”联赛中，比赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某支球队表现出色，截至目前没有输过一场比赛，13场比赛总积分为35分．这支球队胜、平的场数各是多少？ (2)“湘超”联赛的火爆带动了主题文创的销售，某商店销售一款热门球队的纪念钥匙扣，每个进价为12元．店长按进价加价作为标价，又在促销期间按标价打八折出售．在最近一周，该店通过销售此钥匙扣共获利240元．问这一周共售出了多少个钥匙扣？ 【答案】(1)胜了11场，平2场 (2)这一周共售出100个钥匙扣 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，准确理解题意列出方程为解题关键． （1）设这支球队胜了x场，则平场，根据比赛得分规则列出方程求解即可； （2）设这一周共售出y个钥匙扣，先求出标价以及打折后的价格，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设这支球队胜了x场，则平场． 由题意得：， 解得：． 则． 答：胜了11场，平2场； （2）设这一周共售出y个钥匙扣． 标价为：， 八折后售价为元， 由题意得：， 解得：． 答：这一周共售出100个钥匙扣． 题型五：方案选择 解题思路：①设未知数，写出各方案费用代数式，②先求费用相等的临界点，③再分类讨论选出最优方案。 17．某校组织师生研学，若租用49座客车若干辆，刚好坐满；若租用54座客车，可比49座客车少租两辆且空余17个座位．若设租用的49座客车有辆，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设租用的49座客车有辆，根据所有49座客车刚好坐满可得师生总人数为人，根据54座客车比49座客车少租两辆且空余17个座位可得师生总人数为人，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 18．某商场十一黄金周期间对顾客实行如下优惠： （1）一次性购物金额不超过200元，不予以优惠； （2）一次性购物金额超过200元但不超过500元，按全部金额九折优惠； （3）一次性购物金额超过500元，其中500元的部分按九折优惠，超过500元的部分按八折优惠． 顾客甲第一次在该商场购物原价为m元，第二次购物原价为700元，这样分两次购买比一次性购买同样数量的商品多付款36元，则m的值为___________． 【答案】180或360 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．先求出第二次实付款，然后分三种情况：当时，当时，当时，列出方程，即可求解． 【详解】解：第二次实付款为元， 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 当时， ， 整理得：，不成立． 综上所述，或360． 故答案为：180或360． 19．学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名. (2)能节省票款600元. 【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数； （2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款． 【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有名， 根据题意列方程得： 解得：， （名） 答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名； （2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为 （元）， 节省票款为（元）， 答：能节省票款600元． 20．延庆区某中学七年级（1）（2）两个班共104人，要去延庆地质博物馆进行社会大课堂活动，老师指派小明到网上查阅票价信息，小明查得票价如图： 购票张数1~50张 每张票的价格为13元 购票张数51∼100张 每张票的价格为11元 购票张数100张以上 每张票的价格为9元 其中（1）班不足50人，经估算，如果两个班都以班为单位购票，一共应付1240元． (1)两个班各有多少学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省多少钱？ (3)如果七年级（1）班单独组织去博物馆参观，你认为如何购票最省钱？ 【答案】(1)七年级（1）班48人，七年级（2）班56人 (2)304元 (3)购买51张票划算些 【分析】（1）设七年级（1）班人，则七年级（2）班人，  根据两个班共付费1240元建立方程求出其解就可以； （2）先求出购团体票的费用，再用1240 元团体票的费用就是节约的钱； （3）先可以计算按照实际人数购票的费用，再计算购买51个人的票的费用， 比较两个费用的大小就可以得出结论． 【详解】（1）解：设七年级（1）班人，则七年级（2）班人， 由题意可得： ， 解得， 则 ． 答：七年级（1）班48人，七年级（2）班56人． （2）解：（元）． （3）解：七年级（1）班按照实际人数购票的费用为： 元， 购51张票的费用为：元． ， ∴购买51张票划算些． 题型六：数字问题 解题思路：①设数位上数字为未知数，②多位数按数位权重表示（如十位a、个位b，两位数=10a+b），③依题意找等量列方程。 21．如图，将连续奇数1，3，5，7，9，…排成如图所示的数表，若将十字形框上下左右移动，可框住另外5个数，这五个数的和不可能是（   ） A．235 B．205 C．85 D．65 【答案】B 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，读懂表格理解五个数字的关系是解题的关键． 设十字框中最小的数为x，则其他四个数分别为，列方程得到五个数字的和， 再分别令等于各选项中的数，计算得出x的值，结合表格分析即可得到答案． 【详解】解：设十字框中最小的数为x，则其他四个数分别为， 则五个数字的和为， 当时，解得，符合题意； 当时，解得，在最左边，框不住完整的5个数，故不合题意，； 当时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 故选：B． 22．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 【答案】 【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解． 【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为，，，可得任意行、列、对角线的和为：， 设第一行第一列的数为， ∵第一列三个数的和为， ∴， 解得， 左上到右下的对角线三个数为，，，和为， ∴， 解得． 23．如图，在的幻方的九个空格中，填入9个数字，使得处于同一横行、同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等．下图是小兰同学要填的幻方，其中有三格被涂黑了，请你根据幻方的填数规则，求出的值． 【答案】的值是5 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．根据同一竖行、同一斜对角线上的三个数之和都相等建立方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 答：的值是5． 24．探索与表达规律 (1)【回顾教材】教材3.5探索与表达规律的课后习题中有这样一个题目：将连续奇数1，3，5，7，9，…，排成如图1所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间总保持何种关系：______； (2)【变式探究】如图2所示的数表，十字形框上下左右移动，十字形框中的五个数之和与中间数之间是否还有图1中的关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图3所示的数表，记表示第m行第n个数，如表示第2行第3个数是17． ①______； ②在数表中的T字形框上下左右移动，T字形框中的四个数之和能否等于296．若能，求出四个数中的最大数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)十字形框中的五个数之和是中间数的5倍 (2)是，理由见解析 (3)①55；②不能，见解析 【分析】（1）设中间数为a,则十字形框中的其余四个数分别是，将五个数相加即可解答； （2）设中间数为b,则十字形框中的其余四个数分别是将五个数相加即可解答； （3）①观察图3，可得，将其再加上12，即可求出的值； ②假设T字形框中的四个数之和能等于296，设T字形框中的上行中间数为c,则其余三个数分别是，根据四个数之和等于296，可列出关于c的一元一次方程，解之可得出c的值，再结合71是第六行最后一个数进行判断即可解答． 【详解】（1）解：设中间数为a，则十字形框中的其余四个数分别是， ∴十字形框中的五个数之和为, ∴十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； （2）解：是，十字形框中的五个数之和是中间数的5倍，理由如下： 设中间数为，则十字形框中的其余四个数分别是，，，， ， 因此，十字形框中的五个数之和是中间数的5倍； （3）①∵， ∴； ②T字形框中的四个数之和不能等于296，理由如下： 假设T字形框中的四个数之和能等于296，设T字形框中的上行中间数为c，则其余三个数分别是， 根据题意得：，解得：， ∵71是第六行最后一个数， ∴假设不成立，即T字形框中的四个数之和不能等于296． 题型七：几何问题 解题思路：①常用等积变换（形变，面积/体积不变），②套用周长、面积、体积公式，③统一单位后列式。 25．如图，根据图中的信息，可列方程为______________________________． 【答案】 【分析】根据体积相等，结合圆柱体积公式列出方程． 【详解】解：根据圆柱体积公式，容器内原来有水，加入小球后总体积为， 由体积相等，可列方程：． 26．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形地面，则每块长方形地砖的长和宽分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】可分别设长方形地砖的长和宽，根据图中信息列出方程即可解答． 【详解】解：设长方形地砖的长为，宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得，即长方形地砖的宽为， 由图中矩形的宽为，得，解得． ∴长方形地砖的长为，宽为． 27．竹节人是中国传统民间玩具，它由竹节与线绳组装而成．如图，制作一个竹节人，需将一根粗细均匀的竹子截成九段：一段长竹节为头和上身，另八段等长短竹节为四肢．如图，竹节人的头长与上身长的比为，长竹节长是短竹节长的倍，头宽比头长少，竹节人完全张开手臂的臂展长为，求这个竹节人的总高度．          【答案】 【分析】设竹节人的头长为，根据线段之间的数量关系，表示出相关线段的长度，列方程求解即可． 【详解】解：设竹节人的头长为，则它的上身长为，头宽为，即长竹节为，短竹节为． 依题意，得． 解得． 所以． 答：这个竹节人的总高度为． 28．一个长方形可被不重叠且不留空隙地分割为个正方形，称该长方形为“阶完美长方形”． (1)图是一个一边被三等分的阶完美长方形．请再画出一个与图不同分割方式的阶完美长方形，若该长方形的周长为，求它的边长； (2)图是一个阶完美长方形．中间最小的正方形⑥边长为，求正方形①的边长． 【答案】(1)如图，长方形即为所求．，长为6，宽为4； (2)14 【分析】（1）先画出和原图分割形式不同的3阶完美长方形，设小正方形边长为未知数，用未知数表示长方形的长、宽，结合周长20列出一元一次方程，求解得到长方形的边长． （2）设正方形④边长为未知数，根据最小正方形边长2，依次用含x的式子表示全部正方形边长，利用长方形上下对边等长建立方程，解出未知数后算出正方形①边长． 【详解】（1）解：作图：略 设， ∵四边形与四边形均为正方形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． ∴该3阶完美长方形长为6，宽为4； （2）设正方形④边长为x，正方形⑥边长为2． 正方形⑤边长， 正方形③边长， 正方形②边长， 正方形①边长． 长方形上下两条水平对边长度相等，因此 ， ， 正方形①边长． 答：正方形①的边长为14． 题型八：动点问题 解题思路：①设运动时间t，用路程=速度×t表示动点距离，②结合线段长找等量，③按位置分类讨论，④检验解的合理性。 29．如图所示的数轴上，点表示的数为，点表示的数为10．若一动点从点以每秒1个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒4个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为秒，当两点之间的距离为5个单位长度时，的值为（    ） A．1 B．3或5 C．3 D．1或5 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的运动规律，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． 根据数轴上点的运动规律及数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【详解】解：设运动的时间为 秒， ∵点表示的数为，点表示的数为10， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为5个单位长度， ∴， ∴或． 故选B． 30．如图，中，，，，．点为边上的动点，沿的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，设点运动时间为秒． （1）当点在上运动时，若，则___________； （2）若点与某一顶点的连线平分的周长时的值为___________． 【答案】 3 3或6或10 【分析】（1）根据得到求解即可； （2）分类讨论：当点D与顶点A连线平分、当点D与顶点B连线平分、当点D与顶点C连线平分的周长时分别求解． 【详解】解：（1）当点在上运动时， 若，则 解得； （2）∵，，， ∴的周长， 如图，当点D与顶点B连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴； 如图，当点D与顶点C连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴； 如图，当点D与顶点A连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，秒或者6秒或者10秒． 31．如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 【分析】本题考查数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）①利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； ②根据速度乘以时间等于路程，利用左减右加，用含的代数式表示点所表示的数即可 （2）根据（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①， 到点和点距离相等的点是的中点 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； ②∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为：， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：依题意，， 解得， ∴当时，，两点相遇， 此时 相遇点所表示的数为4． 32．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】（1）先得到点B表示的数，再列式计算即可得到答案； （2）①根据问题中的等量关系，正确列出方程，解方程即可； ②根据点P与点Q间的距离为6个单位长度，分三种情况列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 题型九：和差倍分问题 解题思路：①抓取和、差、倍、分、多、少等关键词，②理清大小量关系，③利用总量与部分量关系列式。 33．小军读一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读6页，这时已读的页数是剩下页数的，这本书小军读了( )页． 【答案】 【分析】设全书总页数为页，进而表示出已读页数和剩下页数，再列方程求解即可． 【详解】解：设全书总页数为页，则第一天读了页，第二天读了页， 所以已读页数为页，剩下页数为页， 所以， 解得：， 所以已读页数为（页）． 34．七年级二班有学生人，会下象棋的人数是会下围棋人数的倍，两种棋都会或都不会的人数都是人，设会下围棋的人数是，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，从实际问题中抽象出数量关系是解题关键 ． 先表示出会下象棋的人数，再根据“会至少一种棋的人数=总人数-都不会的人数”列方程计算． 【详解】解：设会下围棋的人数是，则会下象棋的人数是， ∵两种棋都会的人数是5人， ∴会至少一种棋的人数为， ∵总人数为人，都不会的人数是人， ∴会至少一种棋的人数为， ∴可列方程：． 故选：． 35．我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积万亩，比第一代治沙人治沙面积的倍还多万亩，求第一代治沙人的治沙面积． 【答案】第一代治沙人的治沙面积为万亩 【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3倍还多5万亩”，列方程求解即可． 【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x万亩， 根据题意得 ， 解得， 答：第一代治沙人的治沙面积为8万亩． 36．北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 【答案】这款宫灯骨架的总高度为 【分析】设底座高度为，根据比例关系可得头部高度为，灯身高度为，进而表示出单根横向辐条长度为，再根据主支撑杆的长度构造方程，解出的值后，求出宫灯骨架的总高度． 【详解】解：设底座高度为， ∵头部高度、灯身高度、底座高度之比为， ∴头部高度为，灯身高度为， ∵单根横向辐条长度是灯身高度的， ∴单根横向辐条长度为， ∵一根主支撑杆比单根横向辐条长； ∴主支撑杆的长度为， 根据主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和，可列方程： ， 解得， 这款宫灯骨架的总高度为． 答：这款宫灯骨架的总高度为． 题型十：电费和水费问题 解题思路：①看懂阶梯分段标准，先判断用量所属档位，②总费用=基础费用+超额部分费用，③建立方程。 37．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米2元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米4元收费．某职工某月缴水费36元，则该职工这个月实际用水为______立方米． 【答案】14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据水费分段收费规则建立方程求解即可． 【详解】解：设该职工这个月实际用水x立方米，根据题意，得 ， 化简得， 即， 解得． 故答案为：14． 38．水是生命之源．为鼓励居民节约用水，2020年昆明市自来水公司试行阶梯水费，每两个月结算一次，具体执行方案如下： 用水量（吨） 水费（元/吨） 不超过10吨的部分 超过10吨且不超过15吨的部分 超出15吨的部分 另：每吨用水加收1元的城市污水处理费 小明家2020年7、8两月共缴纳水费元，则7、8两月小明家共用水（   ） A．12吨 B．18吨 C．23吨 D．25吨 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出一元一次方程成为解题的关键． 设7、8两月小明家共用水吨，然后根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设7、8两月小明家共用水吨， ，解得：， 经检验，是原方程的解， 答：7、8两月小明家共用水23吨． 故答案为：C． 39．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的．其自来水收费的价目表如下：（注：水费按每户家庭每月份结算）； 类别 每月用水量 单价 第一阶梯 立方米（包括20立方米） 元/立方米 第二阶梯 立方米（包括30立方米） 元/立方米 第三阶梯 30立方米以上 元/立方米 (1)小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费_____元； (2)小明家12月份用水25立方米，请帮小明计算他家应缴水费多少元？ (3)小颖家12月份缴水费138元，请问小颖家用了多少水？ 【答案】(1)25 (2)70元 (3)38立方米 【分析】此题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．注意水费分段计算． （1）根据表格数据直接列式计算即可． （2）根据表格数据直接列式计算即可． （3）先确定小颖家12月份用水量超过30立方米，设小颖家12月份用水量立方米，依题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，小丽家12月份用水10立方米，则应缴水费元； 故答案为：25． （2）解： 元， 答：小明家应缴水费70元． （3）解：（元）， ， 小颖家12月份用水量超过30立方米， 设小颖家12月份用水量立方米， 依题意得，， 解得：， 答：小颖家12月份用水量38立方米． 40．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费） 月份 1 2 3 4 5 6 7 月初水表读数为（吨） 185 190 196 203 210 219 233 (1)二月份小晶家用水多少吨？ (2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量． (3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？ 【答案】(1) 6吨 (2) 6吨 (3) 77.4吨 【分析】（1）由2月底读数196减去1月底读数190，得二月份用水量； （2）由一月份用水量及"一月份比六月份少 ​"先求出六月份用水量为14吨，再设标准量为 吨，由六月份水费54元列方程求解； （3）先逐月计算上半年水费，再由"上半年比下半年少 "求出下半年水费，设下半年用水量 吨，标准内部分按3元/吨，超标部分按元/吨列方程求解． 【详解】（1）解：（吨）， 二月份小晶家用水6吨； （2）解：一月份用水 （吨）， 设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​， ， （吨）， 若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨， 设标准量为 吨， ， 解得，； 答：每月用水量的最高标准为6吨； （3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨）， 标准量为6吨， 1月水费：（元）， 2月水费：（元）， 3月水费：（元）， 4月水费：（元）， 5月水费：（元）， 6月水费：（元）， 上半年总水费 （元）， 设下半年总水费为 元， ， 解得，（元）， 设下半年用水量为 吨，标准内 吨， ， 解得，（吨）． 答：小晶家下半年用水量为吨． 题型十一：行程问题 解题思路：①核心公式：路程=速度×时间，②相遇：路程和=总路程，③追及：路程差=初始间距，④注意单位统一。 41．一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米． 【答案】 【分析】设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米，而后一半路程需要的时间为小时，据此根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【详解】解：设原来的速度为v千米/时，则后一半路程为千米， 由题意得，， 所以， 所以， 所以，即， 所以 千米， 所以A、B两城相距千米． 42．小明如果以的速度从家去学校，则迟到2分钟，如果以的速度从家去学校，则会提前2分钟到校，设小明家到学校距离为，那么可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小明家到学校距离为，规定到校时间固定，由于速度为时迟到2分钟，说明走完全程的时间比规定时间多小时，故规定到校时间为；由于速度为时提前2分钟，说明走完全程的时间比规定时间少小时，故规定到校时间为，再根据规定到校时间相等建立方程即可． 【详解】解：分钟小时， 设小明家到学校距离为， 由题意得， ． 43．小新周末去爬山，路程由一段坡路和一段平路组成．去时，上坡路段用了0.8小时，平路用了0.3小时；原路返回时，平路速度保持不变，下坡速度比上坡速度快1.5千米/小时，下坡路段用了0.5小时．已知往返的总路程为6.4千米． (1)求小新上坡时的平均速度； (2)小新在平路路段的平均速度是多少？ 【答案】(1) 小新上坡时的平均速度为2.5千米/小时 (2) 小新在平路路段的平均速度为4千米/小时 【分析】（1）设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时，根据上坡和下坡的路程相等建立方程求解即可； （2）求出坡路的长度，进而求出平路的长度，再根据速度等于路程除以时间可得答案． 【详解】（1）解：设小新上坡时的平均速度为千米/小时，则下坡速度为千米/小时， 由题意得， 解得， 答：小新上坡时的平均速度为千米/小时； （2）解：千米， 千米， 千米/小时， 答：小新在平路路段的平均速度是4千米/小时． 44．【实际情境】 叶老师骑摩托车想尽快将甲、乙两位学生从学校送到同一个离学校的车站．由于摩托车后座只能坐1人，为了节约时间，叶老师骑摩托车先带着乙出发，同时，甲步行出发．已知甲、乙的步行速度都是，摩托车的速度是． (1)预设方案1：叶老师将乙送到车站后，叶老师回去接甲并将甲送到车站．求方案1中叶老师将甲、乙两位学生送到车站所需时间． (2)预设方案2：叶老师骑摩托车行驶小时，送学生乙到路上某一处，将乙放下，让乙步行去车站，然后，叶老师回去接甲并将甲送到车站，叶老师骑摩托车一共行驶．求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先送乙到车站，再原路返回接同时出发正在步行的甲，最后送甲到车站，三段行程时间相加即可； （2）先送乙后将其放下，再返程与步行的甲相遇，最后载甲到车站，根据摩托车总行驶时间列方程求解． 【详解】（1）解：叶老师送乙到车站的时间为，此时甲步行的路程为， 叶老师和甲的距离为 ， 叶老师返回接甲，相向而行，相遇时间为， 相遇后叶老师送甲到车站的时间与相等，即， 总时间． （2）解：叶老师送乙小时，行驶路程为，此时甲步行路程为， 叶老师与甲的距离为， 叶老师返回与甲相遇的时间为，相遇时甲一共步行的路程为 ，剩余到车站的路程为， 叶老师送甲到车站的时间为， 根据摩托车总行驶时间列方程得，解得． 题型十二：比例分配 解题思路：①按比例设未知数（如2∶3∶4，设2x、3x、4x），②各分量相加等于总量，③求解后再求各分量。 45．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得______枚银牌． 【答案】27 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌，然后根据三种奖牌的总和为91枚列方程求解即可． 【详解】解：设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌， 由题意可得：，解得：． 所以中国体育代表团在本届奥运会获得27枚银牌． 故答案为：27． 46．一位画家想将2升蓝色颜料与3升黄色颜料混合，制成5升绿色颜料．然而，他错误地使用了3升蓝色颜料和2升黄色颜料，这样他做出的绿色颜料的色调是错误的．问他必须最少扔掉多少升这种绿色颜料，以便使用剩余的绿色颜料和一些额外的蓝色和/或黄色颜料，制作出5升具有正确绿色色调的颜料？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】E 【分析】设最少扔掉升这种绿色颜料，由题意可知，错误的调色中黄色颜料比例降低，则额外添加升黄色颜料，此时颜料总量不变，根据黄色颜料的正确比例列方程求解即可 【详解】解：设最少扔掉升这种绿色颜料，则额外添加升黄色颜料， 则， 解得：， 即最少扔掉升这种绿色颜料． 47．2026年春节联欢晚会的吉祥物形象分别是“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马．某厂家准备制造个小马玩偶，现需从有人的甲团队和有人的乙团队里各抽调一些人去制造小马玩偶．如果从乙团队抽调的人数比从甲团队抽调的人数少4人，那么乙团队剩余人数正好是甲团队剩余人数的．则从甲团队和乙团队各抽调了多少人去制造小马玩偶？ 【答案】从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，关键是根据题目中的数量关系，设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，列出方程求解． 【详解】解：设从甲团队抽调了人，则从乙团队抽调了人，由题意得 ， 解得． 则乙团队抽调的人数为(人)． 答：从甲团队抽调了人，从乙团队抽调了人去制造小马玩偶． 48．风华中学举办英语节活动，包括三大组别的节目：歌曲组、短剧组、演讲组，每位学生只能参加一个组别的节目．六年级有部分同学参加活动，其中的同学加入歌曲组，的同学加入演讲组，剩下20名同学加入短剧组，参加英语节的男生比女生少． (1)六年级参加英语节的学生有多少人； (2)参加演讲组的男生是参加短剧组男生的，且比参加歌曲组的男生多，求参加歌曲组的男生有多少人； (3)在（2）的条件下，由于英语节活动调整，一些学生从演讲组调整到歌曲组和短剧组，从演讲组调出学生中，3名男生全部调入歌曲组，调入歌曲组和短剧组的女生人数比为，此时歌曲组人数是短剧组人数的，求调入歌曲组的女生有多少人． 【答案】(1)60 (2)5 (3)6 【分析】本题考查分数的应用，一元一次方程的应用： （1）求出短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的比例，用20除以该比例即可得到总人数； （2）求出参加英语节的男生人数，设歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人，根据题意用a表示b、c，根据男生总人数即可求解； （3）设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人，根据歌曲组人数是短剧组人数的列方程求出k即可． 【详解】（1）解：短剧组的20名同学占六年级参加英语节总人数的， ∴六年级参加英语节总人数为（人）； （2）解：∵参加英语节的男生比女生少， ∴男生占总人数的， ∴男生人数为（人）， 设：歌曲组男生为人，演讲组男生为人，短剧组男生为人 已知：，（演讲组男生比歌曲组男生多，即是的倍）， 由和得：，故， 男生总数：， ， 解得， ∴歌曲组男生为5人． （3）解：由（2）知各组人数： 歌曲组：15人（男生5人，女生10人） 演讲组：25人（男生8人，女生17人） 短剧组：20人（男生12人，女生8人） 调整过程： 从演讲组调出学生，其中3名男生全部调入歌曲组． 调出的女生中，调入歌曲组和短剧组的人数比为． 设调入歌曲组的女生为人，调入短剧组的女生为人． 总调出女生：（人） 总调出人数：人 调整后各组人数： 歌曲组：原15人调入男生3人调入女生人人 短剧组：原20人调入女生人人 调整后歌曲组人数是短剧组人数的：， 解得， ∴调入歌曲组的女生：（人）． 题型十三：日历问题 解题思路：①日历左右相邻数差1、上下差7，②优先设中间数为x，用代数式表示其余数，③结合条件列方程。 49．2024年9月的月历如图所示，小杰用长方形按图中所示的方法从月历中任意框出3个数．若长方形框住的3个数的和为72，则框住的这3个数中最大的数是_________． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索，一元一次方程的应用．发现月历中数字规律是解题的关键． 设中间数为x，则三个数为、x、，则根据题意得到方程，再解方程即可． 【详解】解：设中间数为x，则三个数为、x、 则 解得 故最大数， 故答案为：． 50．如图是2025年10月份的日历表，用形如的框架框住日历表中的五个数（例如图中框住的五个数分别为5、7、13、19、21），对于框架框住的五个数字之和，计算结果不可能是（     ） A．75 B．100 C．115 D．120 【答案】D 【分析】设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，求出5个数的和为，然后根据4个选项中5个数的和，分别列出方程，求出5个数，进行判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则其余四个数分别为：，，，，则5个数的和为：， 当五个数字之和为75时，， 解得：， 即中间一个数为15，其余四个数为：7，9，21，23， ∴五个数字之和能为75，故A不符合题意； 当五个数字之和为100时，， 解得：， 即中间一个数为20，其余四个数为：12，14，26，28， ∴五个数字之和能为100，故B不符合题意； 当五个数字之和为115时，， 解得：， 即中间一个数为23，其余四个数为：15，17，29，31， ∴五个数字之和能为23，故C不符合题意； 当五个数字之和为120时，， 解得：， 即中间一个数为24，其余四个数为：16，18，30，32， ∵日历中不存在32， ∴五个数字之和不可能为120，故D符合题意． 51．下图是2026年1月的月历表．在月历表上，可以用一个正方形框任意圈出相邻的4个数（例如：2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为_____．（用含的代数式表示） (2)小丽计算得到圈出的4个数之和为45．小丽算对了吗？说明理由． (3)对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是_____． 【答案】(1) (2) 小丽算错了，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∵圈出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：x为整数， ∴不符合题意， ∴小丽算错了； (3)4 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可． （2）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案． （3）设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为，进一步求和，结合分配律即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为． （2）略 （3）解：设圈出的4个数中最小的数为x，则其他三个数分别为， ∴， ∴对于任意一组这样圈出的四个数，一定能整除它们之和的最大整数是． 52．幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空． 【主题】探究月历与幻方的奥秘 【活动一】 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数． (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则b是______； (2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则d是______；（用含n的式子表示d．） 【活动二】移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等． (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______； (4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的式子表示g）． 【活动三】对于三阶幻方，我们可以做进一步探索研究． (5)如图7，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． (6)如图8，是一个未完成的“三阶幻方”，则______． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （2）根据月历中同一列相邻两数相差7求解； （3）根据图5第二列求出幻和，利用幻和列方程求解； （4）表示出9个数的和，求出幻和，利用第二行和等于幻和列方程求解； （5）利用三阶幻方的性质求解； （6）设中心数为，利用第三行和等于第三列和求出右上角的数，再利用副对角线和等于幻和求出中心数，进而求出和； 【详解】（1）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （2）解：由图1可知，月历中同一列相邻两个数相差7， ； （3）解：图5中第二列三个数之和为， 幻方中每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都等于30， 由图5可知，第一行， 解得， 主对角线， 解得； （4）解：这9个数分别为， 它们的和为， 幻和为， 由图6可知，第二行， 解得； （5）解：设中心数为， ， ， ； （6）解：设中心数为，则幻和为，设右上角的数为， 第三行的和等于第三列的和， ， 解得， 副对角线上的三个数之和等于幻和， ， 解得， 幻和为， ，解得， 主对角线上的三个数之和等于幻和， ，解得， ． 题型十四：古代问题 解题思路：①翻译古文，剥离文字背景，提取已知量、未知量，②转化为常规等量模型，③按审设列解验答规范解题。 53．《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3个人坐一辆车，有2辆车是空的；2个人坐一辆车，有9个人需要步行．问共有多少人？设共有人，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】核心思路是抓住车的总数不变，用含的式子分别表示两种情况下的总车数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有人，车的总数固定不变， 第一种情况：3人共车，2辆车空，载人的车辆数为，因此总车数为， 第二种情况：2人共车，9人步行，坐车的总人数为，因此总车数为 ， ∴可列方程为． 54．三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶．它是由个数组成的一个的方格，且每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，这是一个残缺的幻方，根据图中已知的个数，可得______． 【答案】 【分析】设表格中第一行第一列的数为，第二行第一列的数为，第二行第二列的数为，由和相等可得，进而计算出，进一步计算出． 【详解】解：如图，设表格中第一行第一列的数为，第二行第一列的数为，第二行第二列的数为， 11 4 10 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 55．在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，买鸡的价格为70文钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设买鸡的人数为x人，根据“每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱”列方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为x人， 由题意列方程，得． 解得，， 鸡的价钱为（文钱）． 答：买鸡的人数为9人，则买鸡的价格为70文钱． 56．《九章算术》中给出“盈不足术”：把盈余数与不足数相加，和为被除数，把两次每人出的钱数之差作为除数，所得的商即为人数；将人数乘每人出的钱数，然后减对应的盈余数或加对应的不足数即为物价． 请分别用“盈不足术”及方程的方法求解下面的问题． 今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六． 问：人数，鸡价各几何？ 【答案】共有9人，鸡价70钱 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程． 盈不足术：根据题意可知人数=盈余数与不足数的和÷两次每人出的钱数的差，进而计算鸡价即可； 方程的方法：设有x人，根据鸡价不变列方程求解即可． 【详解】解：盈不足术：人数=盈余数与不足数的和÷两次每人出的钱数的差， 鸡价； 方程的方法：设有x人，根据题意，得， 解得， ， 答：共有9人，鸡价70钱． 题型十五：其他问题 解题思路：①读题圈画不变量、相等关系，②复杂数量可用表格、线段图梳理，③解完检验结果是否符合现实意义。 57．丢番图（三世纪时希腊数学家）的墓碑上的墓志铭记载：“哲人丢番图，在此处埋葬，寿命相当长，六分之一是童年，十二分之一是少年，又过了生命的七分之一，娶了新娘，五年后生了个儿郎，不幸儿子只活了父亲寿命的一半，四年后他亦亡，丢番图到底寿多长？”丢番图的寿命是________岁． 【答案】84 【分析】设丢番图寿命为岁，根据各阶段年龄和等于总寿命列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设丢番图的寿命为岁，根据题意列方程得： ， 方程两边同乘去分母，得： ， 合并同类项得： ， 移项得：， 解得：， 即丢番图的寿命是84岁． 58．某区今年暑假选派了180名教师担任交通引导志愿者、80名教师担任安全维护志愿者，现要把一部分安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，使安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，设把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中，则可列方程(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题关键是梳理调动人员后两个队伍的人数，再根据题目给出的等量关系列方程． 【详解】解：∵把名安全维护志愿者调到交通引导志愿者队伍中 ∴调动后，安全维护志愿者剩余人数为，交通引导志愿者人数变为． 根据题意，调动后安全维护志愿者人数占交通引导志愿者人数的，可得方程 ． 59．某款纯电动汽车的充电数据为：家用慢充每小时可补充续航；快充每15分钟可补充续航．若该车需要用慢充和快充配合（两种充电方式不可同时进行），总共充电小时，恰好使总续航增加，且充电方式切换的时间忽略不计，求慢充的时间． 【答案】慢充的时间为4小时 【分析】设慢充小时，再根据“总共充电小时，恰好使总续航增加”列出方程组并求解即可． 【详解】解：设慢充小时， 根据题意得， 解得， 答：需要慢充小时． 60．凭借太行山区得天独厚的地理条件与丰富的自然资源，石家庄市赞皇县蓬勃发展的蜜蜂养殖业，成为当地特色产业． (1)中华蜜蜂是中国本土最常见的蜂种，一只中华蜜蜂的质量是，一个鸡蛋的质量是，相当于多少只中华蜜蜂的质量和（结果用科学记数法表示）； (2)将蜂蜜全部放入如图所示的甲、乙两个杯子中，甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同，求两个杯子中应分别放入蜂蜜多少． 【答案】(1)相当于只中华蜜蜂的质量和 (2)甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜 【分析】（1）先换算单位，再用一个鸡蛋的质量除以一只中华蜜蜂的质量即可； （2）设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜，根据“甲、乙两个杯子分别装有和水，要使两杯溶液中蜂蜜与水的体积比相同”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， （只）， ∴相当于只中华蜜蜂的质量和； （2）解：设甲杯子中应放入蜂蜜，则乙杯子中应放入蜂蜜， 依题意，得， 解得， ． 答：甲杯子中应放入蜂蜜，乙杯子中应放入蜂蜜． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $