精品解析：重庆市江津中学校2025-2026学年上学期九年级数学期中考试

江津中学初2026届初三（上）半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 4．作答时，请你认真审题，做到先易后难；作答后，要注意检查．祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 《哪吒2》作为国漫佳作，在服饰、场景和道具等细节上，深度融入中国传统纹样，将丰富的文化内涵展现得淋漓尽致．下面纹样中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的区别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下面事件中必然事件是（ ） A. 今天下午刮风，则明天下雨 B. 两条直线被第三条直线所截，则内错角相等 C. 抛掷一枚均匀的正六面体骰子，则点数不大于6 D. 两个有理数的积为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查必然事件的概念，熟练掌握必然事件就是一定发生的事件，是解题的关键．通过分析每个选项是否必然发生来判断即可． 【详解】解：A．今天下午刮风与明天下雨无必然因果关系，是不确定事件，故A不符合题意； B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等仅当两直线平行，否则不一定，是不确定事件，故B不符合题意； C．正六面体骰子的点数范围为1至6，因此点数不大于6一定发生，是必然事件，故C符合题意； D．两个有理数的积为正数时，两数可能同为正或同为负，不一定都是正数，是不确定事件，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下列方程无实数根的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分别求出各选项对应的一元二次方程判别式，根据结果判断即可．解题的关键是掌握一元二次方程有实数根需满足． 【详解】解：A．∵， ∴，，， ∵， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； B．∵ ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； C．∵， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意； D．∵， 整理得：， ∴，，， ∵， ∴方程有两个实数根，故此选项不符合题意． 故选：A． 4. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键；根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 5. 北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设共有x个火车停靠站，根据“针对此动车有20种不同行程的火车票”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设共有x个火车停靠站， 由题意可得：， 故选：B． 6. 若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的对称轴和开口方向，比较各点与对称轴的距离，从而确定函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且开口向上， ∴点离对称轴越远，函数值越大． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴距离关系为， 故函数值关系为． 故选B． 7. 如图，用字母“C”“H”按一定规律拼成图案，其中第1个图案中有4个H，第2个图案中有6个H，第3个图案中有8个H，…，按此规律排列下去，第2025个图案中字母H的个数为（ ） A. 4048 B. 4050 C. 4052 D. 4054 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索．观察可知，后面一个图形比其前面（相邻）的那个图形多2个H，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案中有4个H， 第2个图案中有6个H， 第3个图案中有8个H， ……， 以此类推，可知第n个图案有个H， ∴第2025个图案中字母H的个数为， 故选：C． 8. 如图，抛物线过点和点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据图像进行推理，进而对所得结论进行判断. 【详解】解：由题意可得：开口向上， 对称轴为直线, 故选项C正确； 即 图像与y轴的交点为负半轴， 故选项A错误； 由图像可得，当时，图像在y轴的下方，所以故选项B错误； 当时，. 将代入上式可得：, 整理得：故选项D错误. 故选：C. 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，解决问题的关键是熟练掌握二次函数系数之间额关系.. 9. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交于点G，连接，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理的运用，三角形全等的证明等知识，解题的关键是根据折叠的性质得到然后继续求解． 连接，作于点H，可证，得到，设，在中，利用勾股定理求出，再根据求出的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】如图所示，连接，作于点H， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∵沿对折至， ∴，, ∴在和中， ∴， ∴， ∴设，则， ∴在中，， 代入可得：， 解得：， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴可得， ∴， 代入得：， 解得：， ∴． 故选：B． 10. 已知关于x的多项式：，其中n为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查多项式的定义和表示，“兄弟多项式”的定义，多项式系数的性质，理解“兄弟多项式”的概念，计算多项式的系数之和是解题的关键． ①通过组合数计算交换系数的方式数； ②代入求系数和； ③利用和的值联立求解奇次项系数和． 【详解】解：①∵有4个系数，交换任意两项系数，有6种方式，即：， ∴有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确； ②∵，令，则系数和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③∵，令，得， 令，得， 两式相减：， ∴，故③正确． 综上，正确的个数为3． 故选：A． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点中心对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点中心对称的点的坐标特征，掌握关于原点对称的点，横坐标和纵坐标均互为相反数是解题的关键． 根据点关于原点中心对称的特点求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点中心对称， ∴点B的横坐标应为点A横坐标的相反数，即，解得； 点B的纵坐标应为点A纵坐标的相反数，即， ∴． 故答案为：． 12. 在一次试验中，每个电子元件有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，若每个电子元件都处于通电状态，则A、B之间电流能够正常通过．在一定时间段内，A、B之间电流能够正常通过的概率是______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果， 其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程的一个解是，则的值为______． 【答案】4011 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，将代入方程得到，再代入计算． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴代入得 ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：4011． 14. 疫情期间，某种一次性医用外科口罩的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式为，且售价x的取值范围是，则最大利润是______元． 【答案】35 【解析】 【分析】该题考查了二次函数的应用，利润函数为二次函数，且二次项系数为负，抛物线开口向下，在对称轴左边，结合函数在内的增减性得出，最大值在处取得即可求解． 【详解】解：函数， 顶点横坐标为， ∴在对称轴左边， 由于抛物线开口向下，且， ∴在上，二次函数的值的增大而增大， 因此最大值在处取得， 当时，． 则最大利润是35元． 故答案为：35． 15. 如图，是的外接圆，弦交于点E，，，过点O作于点F，延长交于点G，若，，则的长为______，的长为______． 【答案】 ①. 2 ②. 14 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、圆周角定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识点． 先证明可得，可得到是等边三角形，再根据根据含30度角的直角三角形性质可得长；结合已知即可得出，再由垂径定理即可求得，作于点M，再根据含30度角的直角三角形性质可得，然后利用勾股定理即可求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形， ， ∵， ，， ∵， ∴． 故答案为：2； 又∵， ∴， ∴， 作于点M， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：14． 16. 若存在一个各数位上数字均不为0的三位正整数，且三个数字相加的和为9，则称这个三位正整数为“弗玖数”，对于一个“弗玖数”P，将它的个位数字和十位数字交换以后得到新数Q，记，则______；对于一个“弗玖数”P，若能被5整除，则满足条件的“弗玖数”P的最大值是______． 【答案】 ①. 53 ②. 441 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算． 对于，直接计算和交换后，代入公式求值；对于能被5整除，推导出，由整除条件，结合a的取值范围确定，再求P的最大值． 【详解】解：由题，，交换个位和十位数字得， 则； 设，其中均为1至9的整数，且， 则， ， 由，得， 则， 能被5整除，即能被5整除， 又为“弗玖数”的百位数字，其取值范围为， 所以， 时，，且均为1至9的整数， 要使“弗玖数”P的值最大，则， 所以满足条件的“弗玖数”P的最大值为441． 故答案为：53，441． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）, （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解本题的关键． （1）根据因式分解求解方程即可； （2）先移项，再提取公因式化简求解即可． 【小问1详解】 ， 解得, ； 【小问2详解】 移项得， ， ， ， 解得，． 18. 如图，在矩形中，是上一点，连接． （1）用尺规完成以下基本作图：在矩形内部作交于点（不写作法和证明，保留作图痕迹）． （2）在（1）所作的图形中，求证：四边形是平行四边形（请补全下面的证明过程，除题目给的字母外，不添加其它字母或者符号）． （2）证明： ∵四边形为矩形 ∴，， ① ∵ ∴ ② ∴， ∴ ③ 即 ④ 又∵ ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1） 作图如下： （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法完成即可； （2）理解证明思路，读懂每步推理，即可完成． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵四边形为矩形 ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴ 即 又∵ ∴四边形是平行四边形． 故答案为：，，， 【点睛】本题考查了作图：作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定等知识，作角等于已知角，读懂每步推理是完成本题的关键． 19. 近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩在90以上（含90分）为优秀． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2： 信息3：七年级B、C两组同学的成绩分别为：94，94，93，92，92，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 a 95 m% 八年级 88 88 b 35% （1）填空：______，______，______； （2）根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校七年级学生有520人，八年级学生有500人，请估计该校七、八年级成绩为A级的学生共有多少人． 【答案】（1）88.5，88， （2） 解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好， 理由：由表格可知，在平均分相同时，七年学生的竞赛成绩中的中位数、众数、优秀率均高于八年级学生； （3）178 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【小问1详解】 解：∵A，B两组人数共有人， ∴七年级抽取20名学生的竞赛成绩中位数为C组按从大到小的倒数第2和第3个数据(即88与89)的平均数， 由条形统计图可得：， 由八年级C组同学的分数可知：88出现的次数最多，出现5次，所占的百分比为， ∴， ， 故答案为：88.5，88，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意可得， (人)， 答：七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生成绩为A级的共有178人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把值代入原式进行计算即可． 【详解】原式 ； ， ． 所以化简为，值为． 21. 如图，在中，，是的平分线，O是上一点，以为半径的经过点D，与分别交于点E，F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定以及利用勾股定理求圆的半径，解题的关键是通过角的关系证明直线与圆相切，借助矩形性质和勾股定理构建方程求解半径． （1）连接，利用角平分线性质和等腰三角形性质推出，进而得到，根据切线判定定理证明是的切线． （2）过作，证明四边形是矩形得，再由垂径定理得的长度，最后在中用勾股定理求出半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，垂足为点 ，， 四边形是矩形 ， ， 在中， 的半径为． 22. 某商场将进货价为25元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到484个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在30元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加4个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利5240元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）35元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 整理得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 23. 如图，在平行四边形中，，点从出发，沿射线方向运动，过点作交折线于点，当点与点重合时，点停止运动．运动过程中，设，． （1）请直接写出与的函数表达式以及对应的的取值范围； （2）在直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）已知函数的图象如图所示，当时，请直接写出自变量的取值范围； 【答案】（1） （2） 解：根据（1）的函数关系式描点如下， 0 1 2 3 4 5 …… 4 2 0 - - - - - 0 1 2 3 作图如下， 性质，当0≤ x<2时，y随x的增大而减小；当2＜x≤8时，y随x的增大而增大； （3）自变量的取值范围为： 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，作图的方法，根据一次函数图象求不等式解集，掌握以上方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解； （2）运用描点，连线的方法即可求解； （3）根据图示即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴是直角三角形，且， 设，， ①当点在线段上时，即， ∵， ∴， ∴； ②当点与点重合时，即，如图所示， ∴，即； ③当点在线段上时，即，如图所示， ∵，， ∴，且， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 综上所述，与的函数表达式以及对应的的取值范围为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示， 根据图示，交点坐标为，， ∴当时，， ∴自变量的取值范围为：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点，与y轴交于点C，连接，若． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过P作于点N，E、F是对称轴上两个动点，点E在点F的上方，且．当取得最大值时，求最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点，当时，请求出所有符合条件点Q的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的横坐标为， 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，把点向上平移3个单位得到点，则利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，抛物线平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位，得到，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴左边时和当点在轴右边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 ∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时， 关于对称， ，， 又点E在点F的上方，且， 所以把点向上平移3个单位得到点， 如图： ，即， ， ∴最小值为； 【小问3详解】 ∵直线为， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线， 且, ∴点平移到的中点， 即平移方式为向左平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， 当点Q在y轴左边时，, 此时直线的方程为， 联立得， 解得或（舍去）， 点Q的横坐标为； ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得，， 解得或（舍去）； 综上所述，点的横坐标为，． 25. 在等边中，点D为线段上一动点，连接，F为直线上一动点． （1）如图1，当点D为中点时，于点M，若，，求的长； （2）如图2，若点F为延长线上一点，点E为延长线上一点，且，．求证：； （3）如图3，在（1）的条件下，G为线段上一点，连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，连接．当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1）的长为 （2） 证明：在上截取，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）的面积为 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质以及勾股定理先求解，，再利用勾股定理可得答案； （2）在上截取，连接，证明，可得，，再证明，再结合全等三角形的性质可得答案； （3）如图，在截取，连接，证明，可得，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小，过点作于，则四边形是矩形，可得，连接，同理可得：四边形为矩形，证明，，再根据含的直角三角形的性质可得，则，从而可得答案． 【小问1详解】 解：， ， 为等边三角形，， ，， 点为中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， 如图，在截取，连接， ， 为等边三角形， ，， 又，， ， ， ，， 由（1）知， ， ，点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时的值最小， 于，， ， 过点作于，则四边形是矩形， ， ， 即， 连接，同理可得：四边形为矩形， ，， ， ，为等边三角形， ，， ∴在含的中，， ， ． 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $