精品解析：河南省新乡市河南师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

河南师大附中高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程. 【详解】根据题意，分2种情况讨论: ①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点， 所以，解得，此时直线的方程为，即； ②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点， 则有，解可得，此时直线的方程为， 故直线的方程为或. 故选：D. 2. 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由点在抛物线上，求得参数，焦点到其准线的距离即为. 【详解】由点在抛物线上，易知，，故焦点到其准线的距离为. 故选：B. 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件求出，再由平行线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行， 所以且，解得， 所以直线方程为与， 故， 故选：C 4. 直线被圆截得的弦长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为化为，可知圆的圆心为,半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得直线被圆截得的弦长为， 故选C. 5. 已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由的周长为，结合椭圆的定义，即可求解. 【详解】由题意，椭圆，可得，即， 如图所示，根据椭圆的定义，可得的周长为 故选：D. 6. 已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A. B. － C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设D(x，y，z)，根据求出D(，，0)，再根据CD⊥AB得·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，解方程即得λ的值. 【详解】设D(x，y，z)，则＝(x＋1，y－1，z－2)，＝(2，－1，－3)，＝(1－x，－y，－1－z)， ∵＝2，∴∴ ∴D(，，0)，＝(－λ，－λ，－1－λ)， ∵⊥，∴·＝2(－λ)＋λ－3(－1－λ)＝0，∴λ＝－． 故选：B 【点睛】(1)本题主要考查向量的线性运算和空间向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2). 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知确定已知圆的圆心和半径及其位置关系，进而得到，结合椭圆的定义确定轨迹方程. 【详解】由，标准形式为，圆心为，半径， 由，标准形式为，圆心为，半径， 其中，即已知的两个圆是内含关系， 由题意，若动圆圆心为，半径为，则， 所以， 即是以为焦点，长轴长为12的椭圆，则， 所以动圆的圆心轨迹为. 故选：A 8. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据式子，根据空间向量数量积的运算律即可求出的长. 【详解】由条件知，，， 又二面角的平面角为，则， 所以 ，所以. 故选：C 二、多选题（共3小题） 9. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意可得方程，联立曲线即可解出A，B两点坐标，结合两点间距离公式与向量数量积逐项计算即可得. 【详解】由题意可得，则， 联立可得，解得或， 即，， 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，，则， 故与不垂直，即不为，故C错误； 对D：，又，故，故D正确. 故选：AD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C； 利用椭圆定义求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误； 对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确； 对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点， 当为左顶点时，，C正确； 对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点， 而，则， 当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误. 故选：BC 11. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】以为基底，表示出相关向量，可直接判断A的真假，借助空间向量共面的判定方法可判断B的真假，利用空间向量数量积的有关运算可判断CD的真假. 【详解】以为基底，则，，,. 对A：因为. 所以，故A错误； 对B：当是靠近的三等分点，即时， ， 又，所以.故，，共面.故B正确； 对C：因为， 所以：， 所以，故，故C正确； 对D：设，. 因为：. 所以，. 当时，有最小值，为：，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】先求出双曲线的焦点,再设双曲线的标准方程,代入求解即可. 【详解】易得椭圆的焦点为,故设双曲线的方程为. 故 ,解得.故双曲线的方程. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程的求解,属于基础题. 13. 已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出，根据点到平面距离的向量公式进行求解即可. 【详解】， 故点A到平面的距离为. 故答案为： 14. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可表示出，根据向量数量积的定义和运算律可求得，利用向量数量积的定义和运算律可求得，由向量夹角运算求得，由此可得所求余弦值. 【详解】因为， 所以 ， 所以，又， 所以，所以， 所以 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题） 15. （1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义即可求解； （2）设所求双曲线方程为，代入点求解参数即可. 【详解】（1）因为到其焦点的距离为5， 根据定义，到准线距离也为5，如图： 抛物线的准线方程为，故，则抛物线方程为； （2）由题意设双曲线方程为， 因为双曲线经过点，如图： 所以，故， 所以双曲线标准方程为，即. 16. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C过点，. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l：与圆C相交于不同两点M、N，弦长，求实数a的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，由题意可得，求解即可； （2）设圆心到直线的距离为，由题意可求得，进而得，求解即可. 【小问1详解】 设圆心，因为圆C过点，，所以， 解得，所以圆心，又因为， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 由，所以，解得， 所以，所以，解得. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）法一：取中点，连接， 为的中点，， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. 法二：取中点，连接， 为的中点，， 平面平面，平面， 又，， 四边形为平行四边形，， 平面平面，平面 又，平面，平面平面， 又平面，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）法一：利用构造平行四边形，结合线面平行的判定定理即可得证；法二：利用面面平行的判定定理与性质定理即可得证； （2）依题意建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面平面，， 平面， 取中点，连接，则平面， 所以是直线与平面所成的角，即， 又，， 又， 又，则， 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图， ， ， 设平面的一个法向量，， 则，取，则， 易得平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成的夹角为， ， 故平面与平面所成的夹角的余弦为. 18. 已知点，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. （1）求双曲线的离心率； （2）设点在双曲线上，且，求点到轴的距离； （3）过且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）计算，由双曲线的一条渐近线与直线垂直，得到，即可求得离心率； （2）设，，在中，由勾股定理结合双曲线定义求得，再由，求出即得； （3）先求出直线方程，再与双曲线方程联立，结合韦达定理和弦长公式即可计算求解. 【小问1详解】 根据题意，双曲线的左顶点为，故， 则由双曲线的一条渐近线与直线AP垂直可知，则， 所以，即， 所以双曲线的离心率为； 【小问2详解】 由（1）得，又，所以， 设，，则在中，有， 又由双曲线的定义，可得，解得，则， 又，解得， M点到轴的距离为； 【小问3详解】 因，则过且斜率为1的直线的方程为， 与双曲线方程联立消元，可得， 设，，则，， 由弦长公式，， 所以DE的长度为. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆交于，两点，直线，与轴交于点，． （ⅰ）若直线过点，求的面积； （ⅱ）求证：，两点横坐标之和为定值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：已知，，， ①当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，不符合题意； ②当直线的斜率为零时，，此时直线与椭圆相交于点，不符合题意； ③当直线的斜率存在且不为零时，则直线的方程为，即， 由，得． 由韦达定理可知，， 直线的方程为，直线的方程为， 分别令，解得，， 则，其中，， 所以， 其中， 所以， 故，两点的横坐标之和为定值，得证． 【解析】 【分析】（1）根据离心率和过点列方程组求出，得到椭圆的标准方程； （2）（ⅰ）先求直线的方程，再应用弦长公式及距离公式求面积；（ⅱ）分直线斜率存在和不存在讨论，设，，，联立得，，再计算即可． 【小问1详解】 依题意有椭圆离心率，上顶点即， 由可知，，故椭圆的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）直线过点和，则直线的斜率为， 故直线的方程为，即，即， 设，，由得， 由韦达定理可知，，， 则． 点到直线的距离为 所以的面积为． （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南师大附中高二年级上学期期中考试 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 直线被圆截得的弦长为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5. 已知椭圆C：的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1作直线l交椭圆C于M，N两点，则的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知A(－1,1,2)，B(1,0，－1)，设D在直线AB上，且，设C(λ，＋λ，1＋λ)，若CD⊥AB，则λ的值为(　　) A. B. － C. D. 7. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，，则的长度为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D. 已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 11. 如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（ ） A. ； B. 当是靠近的三等分点时，，，共面； C. 当时，； D. 的最小值为． 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的方程是__________ 13. 已知平面外一点，平面内一点，平面的一个法向量，则点A到平面的距离为___________. 14. 已知平行六面体中，各条棱长均为，底面是正方形，且，设，，.则异面直线与所成的角的余弦值为__________. 四、解答题（共5小题） 15. （1）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，求抛物线的方程； （2）求与双曲线有公共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程. 16. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C过点，. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线l：与圆C相交于不同两点M、N，弦长，求实数a的值. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知点，双曲线的左顶点为，左、右焦点分别为、，且双曲线的一条渐近线与直线垂直. （1）求双曲线的离心率； （2）设点在双曲线上，且，求点到轴的距离； （3）过且斜率为的直线与双曲线交于、两点，求线段的长度. 19. 已知椭圆：（）的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点且与椭圆交于，两点，直线，与轴交于点，． （ⅰ）若直线过点，求的面积； （ⅱ）求证：，两点横坐标之和为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $