精品解析：湘豫名校联考2025-2026学年高三上学期11月一轮复习诊断考试数学试题

湘豫名校联考 2025年11月高三一轮复习诊断考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式化简集合，从而得集合，即可得集合的并集. 【详解】集合， 所以， 则. 故选：B. 2. 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算、共轭复数等知识求得正确答案. 【详解】， 其共轭复数为. 故选：A 3. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）（参考数据：） A. 360公里 B. 510公里 C. 570公里 D. 600公里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列方程，结合指对互化与对数运算法则即可得的值，从而得此时汽车大约行驶里程. 【详解】由题意，当时,有， 所以解得， 所以两边取对数可得解得， 所以， 所以,所以此时汽车大约行驶了(公里). 故选：B. 4. 已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的定义验证充分性与必要性即可得结论. 【详解】已知为非常数数列， 若为等比数列，设公比为，则，且，即， ，因为常数，故为等差数列； 又若为等差数列，设公差为，则，且， ，即，为常数，所以为等比数列； 故“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C. 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求导得，由直线与切线垂直可得，解方程得正实数的值即可. 【详解】， 则， 因为直线的斜率为， 所以，整理得，解得或， 故正实数的值为. 故选：D. 6. 已知函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定定义域，分析对数部分的奇偶性，结合的奇偶性推出正弦部分需为偶函数，利用偶函数性质列方程求解，进而得到其最小值. 【详解】先确定函数定义域：由得，定义域关于原点对称. 令，则，故是奇函数. 因为奇函数，故需为偶函数. 偶函数满足，即， 利用正弦函数性质， 得， 解得. 由，当时，取最小值. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，求导得单调性从而得的大小，，求导得单调性判断大小，综合得结论. 【详解】由，设， 则恒成立，所以在上单调递增， 所以，即，所以，则； 由，设， 则恒成立，所以在上单调递减， 所以，即，所以，则，故； 综上，. 故选：A. 8. 函数在区间上的极值点的个数为（ ） A. 252 B. 253 C. 504 D. 505 【答案】B 【解析】 【分析】通过求导转化极值点条件为正切函数与分式函数的交点问题，结合正切函数的周期性与区间范围，统计交点个数得到极值点数量. 【详解】依题意，， ， 令，整理得， 画出与的图象如下图所示， 的周期， 由图可知，在区间上， 两个函数图象分别有个交点，区间上没有交点， 且在每个交点的左侧，， 在每个交点的右侧，，所以每个交点的横坐标都是极值点， ，所以极值点共个. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若单位向量满足，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求得，即可判断CD；根据数量积的夹角公式得，结合模长相等判断B；根据零向量的性质判断A. 【详解】由为单位向量，且，得， 即，所以，则，故D正确； 又，所以不成立，故C错误； 由，得， 又，所以即，故B正确， 因为零向量与任何向量共线可知：，故A正确. 故选：ABD 10. 已知函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 有最小值4 C. D. 的最小值是 【答案】AC 【解析】 【分析】利用数形结合确定，再利用来化简可得，再利用代换法，结合基本不等式可判断各选项. 【详解】作出函数的图象如下： 根据，，由图可得：， 则， 所以，故A正确； 由，由于，故不能取等号， 所以，故B错误； 利用，可得， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 由， 当且仅当，即时取等号，故D错误； 故选：AC. 11. 定义：，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象关于点对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角函数特殊值计算即可判断A；根据三角恒等变换当化简，结合正弦型函数的取值范围即可判断B；利用三角函数诱导公式化简即可判断C；根据函数的对称性求解的值，即可判断D. 【详解】对于A，， 则，故A不正确； 对于B，因为，所以， 则， 所以，故B正确； 对于C，， 所以，故C正确； 对于D，因为时，， 又， 所以， 则的图象关于点对称，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断的单调性，然后化简不等式，从而求得不等式的解集. 【详解】当时，单调递增，且， 当时，单调递增，且时，， 所以在上单调递增， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求等差数列公差，得到前项和的二次函数表达式，利用二次函数的对称性与单调性，计算关键项的和，确定的取值范围. 【详解】由等差数列性质，，代入，，得，解得. 前项和. 是开口向下的二次函数，对称轴为. ，， ，. 因只有两个正整数满足，结合的单调性，需满足. 故答案为： 14. 已知中，为上一点，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知可得，设，则，在，分别由余弦定理可得，，结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】因为，所以， 设，则， 在中，由余弦定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 所以， 因为，当且仅当，即或（舍），等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：在三角形问题中出现线段分割图形时，可在两个小三角形中分别用正弦定理或余弦定理得边角关系，从而转化问题，再结合基本不等式或函数思想求解最值即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； （2）若，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）对求导、化简，将切线斜率的最小值转化为导数的最小值，然后求得结果； （2）通过求导得到函数的单调性，从而得到的最大值和最小值，然后求出的最大值. 【小问1详解】 因为， 所以当时，切线斜率可取到最小值为， 因为，所以点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，解得或. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以当时，取得极大值，为； 当时，取得极小值，为. 又因为，所以在上有最小值为，最大值为. 所以. 故的最大值为. 16. 已知是等差数列，，数列的前项的和为，数列的前项和为，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，求的最小值. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意利用分组求和法解方程求得；通过得，进而利用等比数列通项公式求得； （2）由（1）可得，利用作差法研究数列的单调性，即可求解的最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 则数列的前项的和为 ， 所以. 所以，即. 因为①， 令，则，解得. 又②， ②-①得，所以， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 因为，当时，； 当时，， 所以， 所以当时，取得最小值，为. 17. 如图，在中，角的对边分别为，且. （1）求的关系； （2）若，角的平分线交于点，求的长； （3）当取得最大值时，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理，推导边的关系； （2）结合角平分线定理与已知边长，直接计算线段长度； （3）通过余弦定理转化表达式，利用三角函数的最值条件求解. 【小问1详解】 由，得，即，整理得. 因，故，由正弦定理得. 【小问2详解】 由角平分线定理，，又，故. 【小问3详解】 ， 其中， 所以当时，取得最大值， 此时. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，判断函数在区间上的零点个数； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）1个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式即可求解单调区间，注意定义域的限制； （2）求出导函数，利用导数法判断函数在区间上的单调性，即可求解； （3）令，，则对恒成立，按照、和分类讨论，利用导数研究其单调性，求解其最值，分析即可得解. 【小问1详解】 当时，，， 记，则， 所以当时，，则单调递增， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，，， 所以，当时，，， 所以， 所以函数在区间上单调递增， 又，所以函数在区间上只有一个零点； 【小问3详解】 令，，则对恒成立， ①当时，， 与矛盾，不成立， ② 当时，若， 令，则， 所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以 ，令，则， 令，则，所以即在上单调递增， 又，当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 所以. 若，，而，等号不同时成立， 所以恒成立， ③当时，若， 则， 即. 结合(2)的结论可知当时，， 故, 所以时，存在使得，故不成立. 综上所述，实数m的取值范围为. 19. 已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. （1）求函数的解析式； （2）若曲线与有公共的切线，求的最小值； （3）已知两点在曲线上，两点在曲线上，且满足关于直线对称，关于直线对称，若四边形为正方形，证明：.（附：） 【答案】（1） （2） 最小值为 （3） 由题意得， 不妨设，其中， 因为和的图象关于直线对称， 所以, 所以， 由，得，所以， 由，得,即， 令，则， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以， 令，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以， 故. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象变换以及对称性求解函数的解析式即可； （2）据条件写出切线方程，通过联立思想求解出关于切点坐标的表示，由此构造函数分析单调性和最小值，即可确定出整数的最小值； （3）先由题意得，进而设得，再由已知信息结合得到，接着建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 【小问1详解】 将函数的图象向右平移1个单位长度得到的图象, 因为点关于直线的对称点为, 所以,从而， 故； 【小问2详解】 由（1）可得,， 设直线与曲线相切于点， 则直线， 设直线与曲线相切于点, 则直线， 因为曲线与有公共的切线，此时重合， 所以两条切线方程的斜率、纵截距相同， 所以， 则， 令,则， 易得在上单调递增，且， 所以当时,,所以在上单调递减； 当时,,所以在上单调递增； 所以， 所以,即最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键1是正确处理四点的关系，从而根据四点之间的关系结合得到，关键点2是建立函数并利用导数工具研究其单调性从而由和得，从而借助的单调性得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘豫名校联考 2025年11月高三一轮复习诊断考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（ ）（参考数据：） A. 360公里 B. 510公里 C. 570公里 D. 600公里 4. 已知为非常数数列，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则正实数的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知函数为奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的极值点的个数为（ ） A. 252 B. 253 C. 504 D. 505 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若单位向量满足，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 有最小值4 C. D. 的最小值是 11. 定义：，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则不等式的解集为__________. 13. 已知等差数列的前项和为，若有且只有两个正整数满足，则实数的取值范围是__________. 14. 已知中，为上一点，，且，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率最小，求点的坐标； （2）若，不等式恒成立，求的最大值. 16. 已知是等差数列，，数列的前项的和为，数列的前项和为，且满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，求的最小值. 17. 如图，在中，角的对边分别为，且. （1）求的关系； （2）若，角的平分线交于点，求的长； （3）当取得最大值时，求的值. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，判断函数在区间上的零点个数； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知将函数的图象向右平移1个单位长度，所得函数图象与函数的图象关于直线对称. （1）求函数的解析式； （2）若曲线与有公共的切线，求的最小值； （3）已知两点在曲线上，两点在曲线上，且满足关于直线对称，关于直线对称，若四边形为正方形，证明：.（附：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $