精品解析：陕西省榆林市定边县2025-2026学年八年级上学期期中学业水平测试数学试题

2025—2026学年度第一学期期中学业水平测试 八年级数学试题（卷）（人教版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 3. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，已知两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 7. 如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 8. 如图，是等边三角形，是边上的一点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8cm 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 自行车的车架通常设计成三角形，以此保证车架在骑行过程中不会轻易变形，这是利用了三角形具有_____的特点． 10. 如图，，添加条件_____，可用“”证明． 11. 如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 12. 如图，在中，，是延长线上的一点，过点作．若，则的度数为_____． 13. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆的长度相等，且，点E，C，D在一条直线上，若的长度为，则此时B、D两点之间的距离为___________． 14. 如图，线段的垂直平分线交于点，且，则的度数为___________． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 如图，是的中线，，的周长是18，求的长． 16. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，，求证：． 17. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 18. 已知在平面直角坐标系中，点，，若点与点关于轴对称，求的值． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 20. 如图，在中，，垂足为，是的平分线，与交于点．若，，求和的度数． 21. 实践与探索 实践课题 如图1，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 实践工具 皮尺、测角仪等测量工具 活动过程 甲小组选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量的长即可，示意图如图2． 交流研讨 乙小组提出另一种方案：在点的右侧取一点，测得，改变点的位置，当时，只需测量的长即可，示意图如图3． 示意图 提出问题 （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由； （2）乙小组的方案用到了_____． 22. 如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长． 23. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 24. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 25. 已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 26. 【问题探究】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数； 【问题解决】 （2）如图，四边形为某小区的平面示意图，、为两条人行通道（宽度不计），且区域为等腰直角三角形，，物业工作人员计划在人行通道上的点、两处分别修建一个凉亭，并沿铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，区域应为等腰直角三角形，且，于点，为了精准预算，物业工作人员需要知道的度数和、、这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出的度数和、、这三条线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期期中学业水平测试 八年级数学试题（卷）（人教版） 老师真诚地提醒你： 1．本试卷共8页，满分120分； 2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中） 1. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合， 所以不是轴对称图形； 故选：D． 2. 在中，若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形中两锐角互余即可得出答案． 【详解】∵，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键． 3. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边．对于每个选项，只需检查两条较短边的和是否大于最长边即可判断． 【详解】解：选项A：，不大于6，∴ 不能构成三角形，故不符合题意； 选项B：，∴ 能构成三角形，故符合题意； 选项C：，∴ 不能构成三角形，故不符合题意； 选项D：，∴ 不能构成三角形，故不符合题意 故选B． 4. 如图，已知两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等，即可求得答案. 【详解】左侧图形中边所对应的角的度数. 因为左右两个三角形全等， 所以，左侧图形中边所对应的角的度数右侧图形中边所对应的角的度数（即）. 所以，. 故选：A 5. 如图，已知与关于直线对称，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质以及三角形内角和定理，根据对称得到的度数，用三角形内角和为求解． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ． 故选：B． 6. 如图是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，点O是AB的中点，AB绕着点O上下转动．当A端落地时，∠OAC＝20°，跷跷板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是（　　） A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形外角定理及等腰三角形的性质解答． 【详解】解：∵点O是AB的中点， ∴OA＝OB＝OB′， ∵∠OAC＝20°， ∴∠OB′A＝20°， ∴∠A′OA＝20°×2＝40°． 故选B． 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形与外角定理. 7. 如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（ ） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 8. 如图，是等边三角形，是边上的一点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解答的关键． 先由等边三角形的性质得，，再根据余角性质和对顶角的性质可得，即可得，然后求得，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，进而求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴的长为． 故选：A． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 自行车的车架通常设计成三角形，以此保证车架在骑行过程中不会轻易变形，这是利用了三角形具有_____的特点． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】本题考查了三角形的性质，理解三角形具有稳定性质是解题的关键．当三角形的三边长度不变时，三角形的大小，形状就唯一确定，据此解答即可． 【分析】解：自行车架设计成三角形，是因为三角形具有稳定性，自行车车架设计为三角形，正是利用这一特性来保证骑行过程中的结构稳固． 故答案为：稳定性． 10. 如图，，添加条件_____，可用“”证明． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键，结合全等三角形的判定方法分析即可． 【详解】解：∵， ∴补充，由可证明， 故答案为：． 11. 如图，轴是的对称轴，轴是的对称轴，点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化特点，掌握关于x轴对称的点横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键． 先利用关于x轴对称的点的坐标特征得到，然后根据关于y轴对称的点的坐标特征易得C点坐标即可． 【详解】解：∵轴是的对称轴，且点A的坐标为， ∴点A与点B关于x轴对称， ∴， ∵轴是的对称轴， ∴点B与点C关于y轴对称， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是延长线上的一点，过点作．若，则的度数为_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角定理及平行线的性质，准确计算是解题的关键． 根据外角定理和平行线的性质计算即可； 【详解】解：∵，， ∴， ， ， 故答案为：． 13. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆的长度相等，且，点E，C，D在一条直线上，若的长度为，则此时B、D两点之间的距离为___________． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，进而根据等边三角形的性质可求解． 【详解】解：连接， 由题意，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：45． 14. 如图，线段的垂直平分线交于点，且，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．连接，由线段，的垂直平分线交于点，得，，，进而得，易证∆≅∆，设，得则，，中，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵线段，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在∆与∆中， ∵， ∴（）， ∴， 设，则，， ∴， ∴在∆中，． 故答案是：． 三、解答题（共12小题，计78分，解答应写出过程） 15. 如图，是的中线，，的周长是18，求的长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，，，求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定．利用证明即可． 【详解】略 17. 如图，某娱乐休闲景区内有两条小路与相交于点C，咖啡厅和购物商店分别在点A和点C处，景区管理员打算在区域内的点Q处修建游客服务区，要求点Q到的距离与点Q到的距离相等，且．请你帮景区管理员找出点Q．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的判定和线段的垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． 作出线段的垂直平分线和的平分线，交点即为点． 【详解】略 18. 已知在平面直角坐标系中，点，，若点与点关于轴对称，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，坐标系中的对称，掌握坐标系中的对称规律是解题的关键．如果两个点关于轴对称，那么这两个点的纵坐标不变，横坐标互为相反数．据此回答即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得，， ． 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的； （2）画出关于轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，即为所求， 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，以及关于轴对称的点的坐标特点，解题的关键在于熟练掌握轴对称作图步骤． （1）根据轴对称性质找出的三个顶点关于轴对称的对应点，再依次连接对应点，即可解题； （2）根据轴对称性质找出的三个顶点关于轴对称的对应点，再依次连接对应点，写出点的坐标，即可解题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，垂足为，是的平分线，与交于点．若，，求和的度数． 【答案】．． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：在中，，， ． ， ， ． 是的平分线， ， ． 21. 实践与探索 实践课题 如图1，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 实践工具 皮尺、测角仪等测量工具 活动过程 甲小组选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量的长即可，示意图如图2． 交流研讨 乙小组提出另一种方案：在点的右侧取一点，测得，改变点的位置，当时，只需测量的长即可，示意图如图3． 示意图 提出问题 （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由； （2）乙小组的方案用到了_____． 【答案】 （1）甲小组的方案正确． 理由：在和中， ， ， 只需测量的长即可得到湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离， 甲小组的方案正确； （2）等角对等边 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等角对等边是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可； （2）利用三角形的内角和定理求得，然后根据等角对等边得到即可作出判断． 【详解】解：（1）略 （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 故乙小组的方案用到了等角对等边． 故答案为：等角对等边． 22. 如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴； （2）32 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据，且，可得垂直平分，则，根据垂直平分，可得，据此证明； （2）根据线段垂直平分线的定义得到，根据，得到，再根据三角形周长计算公式和线段之间的关系可得的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵垂直平分， ∴． ∵， ∴． 由（1）得， ∴的周长． 23. 如图，灯塔在海岛的北偏东方向，某天上午点整，一条船从海岛出发，以海里/时的速度由西向东方向航行，当天上午点整到达处，此时，测得灯塔在处的北偏东方向． （1）求处到灯塔的距离； （2）已知在以灯塔为中心，周围海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请说明理由． 【答案】（1）处到灯塔的距离为海里 （2） 解：有触礁的危险，理由如下： 过作于点， 在中，，， ， ． 若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险． 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握方位角的转化及直角三角形中角的性质是解题的关键． （1）先根据方位角求出三角形内角，再结合船行驶的路程，利用等角对等边求出处到灯塔的距离； （2）过作垂线，利用直角三角形的性质求出灯塔到航线的距离，与海里比较判断是否有触礁危险． 【小问1详解】 解：由已知条件可得：， ，， ， ， 海里， 答：处到灯塔的距离为海里． 【小问2详解】 略 24. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】（1） 是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 25. 已知：如图①，，，点C是上一点，且． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】（1）， 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）9． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 26. 【问题探究】 （1）如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接，求的度数； 【问题解决】 （2）如图，四边形为某小区的平面示意图，、为两条人行通道（宽度不计），且区域为等腰直角三角形，，物业工作人员计划在人行通道上的点、两处分别修建一个凉亭，并沿铺设一条鹅卵石路，根据设计要求，区域应为等腰直角三角形，且，于点，为了精准预算，物业工作人员需要知道的度数和、、这三条线段之间的数量关系，请你帮助物业工作人员计算出的度数和、、这三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形性质，通过角的等量代换证明，得出角的关系，再结合等边三角形及平角相关角的度数，计算 ． （2）先证，得到边与角的关系，结合等腰直角三角形角的度数、平角及直角三角形性质，求出 ，并推导、、的数量关系 ． 【详解】解：（1）∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， （2）∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中，，，， ∴（）， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上，的度数为，、、这三条线段之间的数量关系是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和特殊三角形角与边的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $