精品解析：山东省枣庄市市中区2025-2026学年上学期期中学业质量监测九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学试题 温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效． 一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 如图，四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ） A. 当平行四边形是矩形时， B. 当平行四边形是菱形时， C. 当平行四边形是正方形时， D. 当平行四边形是菱形时， 2. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 D. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 3. 如题图，“斗”是古代粮食度量用具．它不仅是古代的计量单位，而且在中国文化中承载了丰富的象征意义．从“才高八斗”到“斗转星移”，这些典故展现了“斗”在语言和文化中的深远影响．题图是它的示意图，下列图形是“斗”的左视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 矩形菱形矩形 B. 矩形正方形矩形 C. 平行四边形菱形平行四边形 D. 平行四边形正方形平行四边形 6. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点A、B的坐标分别为、，对角线交x轴与点M ，且，则_______．（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 18 9. 定义符号的含义为∶ 当时，；当时，，如：，，则方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、认真填一填，相信你能填对！（每小题3分，共18分．） 11. 把方程化成的形式，则的值是______． 12. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．则小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是_______． 13. 菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是________． 14. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 15. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 16. 矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于，折痕上有点，下列结论：①；②；③；④若，则四边形是菱形．四个结论中正确的有______（填序号）． 三、解答题：（本题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，m，2．小红和小明进行摸球游戏；小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号a后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号b． （1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果； （2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出m的取值范围． 19. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． （1）下列方程是二倍根方程的是_______； ①； ②． （2）若是“2倍根方程”，求代数式的值． 22. 综合与实践． 将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种图形变换给一个新定义，记为． （1）问题发现 如图①，对作变换得，则_____；直线与直线所夹的锐角度数为_____． （2）拓展探究 如图②，中，，对作变换得，若使点，，在同一直线上，且四边形为矩形，请求出和的值． 23. 如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． （1）在图①中，的度数为_____；边的长为______； （2）若点在线段上，四边形的形状是______； （3）若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ （4）已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学业质量监测 九年级数学试题 温馨提示：请将试题的正确答案填涂或书写在答题纸上，在本试卷上答题无效． 一、精心选一选，你一定能选对！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的代号填在答题纸上．） 1. 如图，四边形是平行四边形，下列结论正确的是（ ） A. 当平行四边形是矩形时， B. 当平行四边形是菱形时， C. 当平行四边形是正方形时， D. 当平行四边形是菱形时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质是解决问题的关键．由矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质分别进行判断，即可得出答案． 【详解】解：A. 当平行四边形是矩形时，，，故该选项不正确，不符合题意； B. 当平行四边形是菱形时，，故该选项不正确，不符合题意； C. 当平行四边形是正方形时，，故该选项正确，符合题意； D. 当平行四边形是菱形时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2. 小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率 B. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C. 从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率 D. 抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是求频率，先分别求解各选项事件出现的频率，再结合题干信息可得答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的频率为，约为； B、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率为； C、从一个装有1个白球和2个红球的袋子中任取一球，取到白球的频率，约为； D、抛一枚硬币，出现正面朝上的频率为0.5， 由图可知当实验次数很多时，频率稳定在0.15， ∴A符合题意， 故选：A． 3. 如题图，“斗”是古代粮食度量用具．它不仅是古代的计量单位，而且在中国文化中承载了丰富的象征意义．从“才高八斗”到“斗转星移”，这些典故展现了“斗”在语言和文化中的深远影响．题图是它的示意图，下列图形是“斗”的左视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了左视图，根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案，掌握三视图的特征是解题的关键． 【详解】解：图形是“斗”的左视图的是， 故选：． 4. 若，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，解题关键是掌握比例的基本性质并能运用求解． 根据比例的基本性质，对四个式子逐一分析，再作出判断即可． 【详解】解：， ，故A错误，B正确； ， ， ，故C错误， ，故D错误， 故选：B． 5. 如图，在中，，点从点出发沿边向点运动，运动到点停止，过点分别作交于点，交于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 矩形菱形矩形 B. 矩形正方形矩形 C. 平行四边形菱形平行四边形 D. 平行四边形正方形平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定是解决问题的关键． 根据得四边形是平行四边形，再根据得平行四边形是矩形，由此得在点的运动过程中，四边形始终是矩形，只有当时，矩形是正方形，据此即可得出答案． 【详解】解：∵ 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， 在点的运动过程中，四边形始终是矩形， 当时，矩形是正方形， 四边形形状的变化依次为：矩形正方形矩形． 故选：B． 6. 如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形顶点A、B的坐标分别为、，对角线交x轴与点M ，且，则_______．（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质． 由矩形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：D． 8. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，；第二步，过，两点作直线分别交，于点，；第三步，连接，．若，，，则的长是（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 定义符号的含义为∶ 当时，；当时，，如：，，则方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义新运算的方法，分类讨论，再根据解方程的方法即可求解． 【详解】解：当是，， ∴，整理得，， ∴，， ∴当时，，不符合题意， ∴； 当时，， ∴，整理得，， ∴，， ∴当时，，不符合题意， ∴； 综上所述，的值为或， 故选：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，因式分解解一元二次方程的运用，理解定义新运算的法则，掌握因式分解解一元二次方程的方法是解题的关键． 10. 如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二、认真填一填，相信你能填对！（每小题3分，共18分．） 11. 把方程化成的形式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 为打造活力校园，某校在大课间开展了丰富多彩的活动，现有4种体育类活动供学生选择：A．羽毛球，B．乒乓球，C．花样跳绳，D．踢毽子，每名学生只能选择其中一种体育活动．则小明和小聪随机选择选到同一种体育活动的概率是_______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 总共有4种体育活动，每个学生随机选择一种，所有可能的结果数为16种，其中两人选择同一种活动的结果有4种，根据概率公式计算即可． 【详解】共有4种体育活动，小明和小聪各自独立随机选择一种， 所有等可能的结果数为种， 两人选择同一种体育活动的情况有4种（即都选A、都选B、都选C或都选D）， 因此概率为． 故答案为：． 13. 菱形的两条对角线相交于点O，若菱形的边长是的一个根，且，该菱形的面积是________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解一元二次方程-因式分解法，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用解一元二次方程-因式分解法，求出，然后利用三角形的三边关系进行判断，再利用菱形的性质及勾股定理即可解答． 【详解】解：， ， 或， ， 当菱形边长是3时， ， 不能组成三角形； 该菱形的边长是5， 如图，连接，交于点O， ∵菱形中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：24 14. 《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”，大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验：如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是______cm． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 故答案为：． 15. ☆|数学文化《几何原本》欧几里得的《几何原本》中记载，形如 的方程的图解法如下：如图，以和b为两直角边长作，再在斜边上截取 则 的长就是所求方程的正根． 利用以上方法解关于x的一元二次方程 时，若构造后的图形满足，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的图解法，理解图解法的含义是解答本题的关键． 根据题意构造图形，则，，，然后代入一元二次方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意，构造图形如图所示: 则，， ∵， ∴， 即m就是的一个正根， ∴ 解得 (负值已舍)． 故答案为：． 16. 矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的处，折痕为．延长交的延长线于，折痕上有点，下列结论：①；②；③；④若，则四边形是菱形．四个结论中正确的有______（填序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，则结论②正确；连接，先求出，再设，则，在中，利用勾股定理求出的值，则可得，，然后在中，利用勾股定理可得的长，则结论③正确；先证出，利用相似三角形的性质可得的长，从而可得，则，结论①错误；先证出，则可得，根据等腰三角形的判定可得，再根据折叠的性质可得，则，最后根据菱形的判定即可得④正确． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，，，， 由折叠的性质得：，则结论②正确； 如图，连接， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∴在中，，则结论③正确； ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴，则结论①错误； ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形，则结论④正确； 综上，四个结论中正确的有②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题、勾股定理、相似三角形的判定与性质、菱形的判定、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 三、解答题：（本题共7小题，满分72分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解答本题的关键． （1）方程运用配方法求解即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ，， ，． 18. 在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，m，2．小红和小明进行摸球游戏；小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号a后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号b． （1）用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果； （2）规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜． ①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由； ②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） 解：列表如下： m 2 m 2 共有9种等可能的结果； （2）解：①小明获胜的可能性大． 理由：由表格可知，共有9种等可能的结果，其中的结果有：，，，，共4种， 小红获胜的概率为， 的结果有：，，，，，共5种， ∴小明获胜的概率为， 小明获胜的可能性大． ② 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意直接列表即可． （2）①由表格可得出所有等可能的结果数以及的结果数、的结果数，再利用概率公式可得出答案． ②由小红获胜的可能性比小明大，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②小红获胜的可能性比小明大， ， ． 19. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，求汽车盲区的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质．首先过点作于点，交于点，根据、的关系和的长度求出的长度，再根据四边形是矩形可知，从而可得，利用相似三角形对应边成比例可以求出的长度． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：汽车盲区的长度为． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守一盔一带的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售个，6月份销售个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意得：，即可求解； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元个，则，即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， ， ， 解得：，（舍， 该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：该品牌头盔的实际售价应定为元个， 则， ， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元个． 21. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”． （1）下列方程是二倍根方程的是_______； ①； ②． （2）若是“2倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）② （2）或0 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解等知识，正确理解“二倍根方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“二倍根方程”的定义可求x的值； （2）分两种情况进行讨论可求代数式的值． 【小问1详解】 解：解方程得，， 所以不是“二倍根方程”； 解方程得，， 所以是“二倍根方程”； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：， 解得，， 当，即时，原式； 当，即时，原式． 22. 综合与实践． 将绕点逆时针方向旋转，并使各边长变为原来的倍，得到，我们将这种图形变换给一个新定义，记为． （1）问题发现 如图①，对作变换得，则_____；直线与直线所夹的锐角度数为_____． （2）拓展探究 如图②，中，，对作变换得，若使点，，在同一直线上，且四边形为矩形，请求出和的值． 【答案】（1）， （2）60°；2 【解析】 【分析】本题考查新定义，旋转的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解新定义和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据新定义得出，旋转角，则旋转角度数，，从而得出，然后利用相似三角形的性质求得．设、与直线分别 交于点D、E，证明，利用相似三角形的性质得即可； （2）由四边形为矩形，得，从而求得，则，再根据直角三角形的性质得，则． 【小问1详解】 解：∵作变换得， ∴，绕点逆时针方向旋转，即旋转角， ∴ ∴ ∴ 设、与直线分别 交于点D、E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线所夹的锐角度数等于旋转角度数． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：， 理由：四边形为矩形， ， ， ，则， ， ， 在中，， ∴， ∴， ， 的值为2． 23. 如图①，在矩形 纸片中，，连接，，沿对角线剪开，将沿射线方向平移得到（如图），直线与交于点，直线与交于点．设． （1）在图①中，的度数为_____；边的长为______； （2）若点在线段上，四边形的形状是______； （3）若点在射线上，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是正方形？ （4）已知存在值，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的值． 【答案】（1），； （2）矩形； （3）当或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； （4）或． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质可求得，利用含直角三角形的性质结合勾股定理即可求得边的长； （2）由平移的性质得，推出，得到四边形是平行四边形，由，得到四边形是矩形； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用，列式计算即可求解； （4）分点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得和的长，再利用，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：矩形中， 又， ， 矩形中，， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由平移的性质得， 四边形为矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 故答案为：矩形； 【小问3详解】 解：当点在线段上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 四边形是正方形， ， 即 ； 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是正方形； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： 当点在线段上时， ， ， 由平移的性质知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ； 当点在线段的延长线上时， ， ， 由平移的性质可知， ，， ，， ， 四边形是菱形， ，即， ， 综上所述，当为或时，以、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查的知识点是含直角三角形特征、平移的性质、直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，菱形的性质，正方形性质，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $