第17章 因式分解 期末复习讲义 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理了因式分解的知识体系，从因式分解的概念出发，依次展开提公因式法、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法及分组分解法等核心方法，形成“概念-基础方法-综合技巧”的递进脉络，并用对比标注突出公因式确定、公式特征等重难点。 讲义亮点在于“方法进阶+真题应用”的设计，例题中通过整体思想分解(a+b)²-12(a+b)+36，用换元法处理高次多项式，培养抽象能力和运算能力。课后练习涵盖基础辨析和综合应用，基础学生可掌握方法步骤，优秀学生能提升灵活解题能力，教师可据此实施分层教学，支持精准复习。

八年级数学期末总复习讲义 第9课 因式分解 知识点梳理 知识点01——因式分解的概念 知识点02——提公因式法分解因式 知识点03——用平方差公式分解因式 知识点04——用完全平方公式分解因式 知识点05——用十字相乘法分解因式 知识点06——分组分解法及灵活因式分解 知识点01 因式分解的概念 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4. 利用因式分解巧算和求代数式的值 如：+=+2×=×（-1+2）= 再比如：已知，则=xy(x+y)=-2×4=-8 例题讲解 例1（24-25八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 变式：1.（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 课后练习 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级下·陕西咸阳·期末）下列多项式能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级下·贵州六盘水·期末）对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是（   ） A．①②都是整式乘法 B．①②都是因式分解 C．①是整式乘法②是因式分解 D．①是因式分解②是整式乘法 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（24-25七年级上·全国·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 2.公因式的确定方法 ①找系数的最大公因数；②找相同字母；③找相同字母指数最小值. 3.特别注意点：公因式可以是单项式也可以是多项式. 如：=所以公因式是（a-5）. 提公因式法分解因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②确定另一个因式； ③提公因式，将多项式写成乘积的形式. 例题讲解 例2（24-25八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式（x+y）即可； （2）先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先变形，再提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例3（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 课后练习 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21九年级上·山东济宁·期中）多项式，与的公因式为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 5．（16-17七年级下·河北·期末）计算的结果是（ ） A． B． C．- D． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算 (1) (2) 知识点03 用平方差公式分解因式 1. 定义：把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b), 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 适用平方差公式分解的条件： 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号 如：下列多项式适用平方差公式分解的有（ ①②⑤⑥ ） (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)² - (m-n)² 例题讲解 例3 （25-26八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)4x² - 9 (2) (x + p)² - (x + q)² (2) (x + p)² - (x + q)² 【分析】本题主要考查利用平方差公式分解因式 第一步：观察是否符合平方差公式。 4x² 是 (2x)²，9 是 3².符合！ 第二步：确定公式中的 a 和 b。 a = 2x，b = 3 第三步：套用公式分解。 【详解】原式 = (2x + 3)(2x - 3) (2) (x + p)² - (x + q)² 【分析】把 (x+p) 和 (x+q) 分别看作一个整体。 第一步：观察是否符合平方差公式。 第二步：确定公式中的 a 和 b。 第三步：套用公式分解。 【详解】原式 = [ (x+p) + (x+q) ] [ (x+p) - (x+q) ] = (x + p + x + q)(x + p - x - q) = (2x + p + q)(p - q) 【方法点睛】：当公式中的a 或 b 是多项式时，要用整体思想，并添加中括号确保运算正确，最后化简。 例4（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 课后练习 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 7．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）因式分解： 8．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 9.（24-25八年级上·湖南怀化·期末）因式分解：． 10．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）已知 ，求的值． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.定义：像a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，叫作完全平方式. 把整式乘法的完全平方公式 的等号两边互换，就得到 即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2.公式法：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 注意事项：因式分解一定要分到不能再分为止. 例题讲解 例4分解因式： (1)(a+b)²-12(a+b)+36;(2)-x²+4xy-4y². 【分析】在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m²-12m+36; (2) 可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式. 【详解】(1) (a+b)²-12(a+b)+36=(a+b)²-2·(a+b)·6+6²=(a+b-6)²; (2) -x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)². 例5（24-25七年级下·山东聊城·月考）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 例6（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 课后练习 1．（25-26八年级上·湖南·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·扬州·期中）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列因式分解不正确的是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2 B．2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x﹣y）2 C．4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y） D．x2+4x＝x（x+4） 5．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 6．（25-26八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 7．（25-26八年级上·江苏·期中）阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，，∴且，∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 8．（25-26八年级上·北京·阶段测试）分解因式： 9．（24-25七年级下·江苏·期末）因式分解： (1) (2) 10．（24-25八年级上·重庆·期末）因式分解： (1) (2)． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 12．（24-25八年级上·陕西·期末）阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 知识点05 灵活分解因式 1. 十字相乘法——x²+(p+q)x+pq型式子的因式分解 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 利用(*)式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 例如，将式子x²+3x+2分解因式利用(*)式可得x²+3x+2=(x+1)(x+2). 上述分解因式x²+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： 十字相乘法的步骤： ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(图1). 2. 分组分解法（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 分组分解法是一种用于因式分解的方法，特别适用于那些无法直接使用提公因式法或公式分解法的多项式。通过将多项式的项适当地分组，可以将其转化为可以应用基本方法(如提公因式法或公式法)分解的形式，从而达到因式分解的目的。 分组分解法的基本步骤 ①适当分组：将多项式的项分成若干组，每组内的项具有某种共同特征，如含有相同的因式或可以应用某个公式。 ②局部分解：对每一组进行因式分解，通常使用提公因式法或公式法。 ③综合分解：将分组后的结果进行进一步的因式分解，得到最终的分解结果。 例如：， 又如： 3. 换元法分解因式（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 如，分解因式：． ①设定替换变量：设t=2a+b,将原式转化为t2-4t-12; ②因式分解：通过代入替换变量，简化表达式，得到t2-4t-12=(t-6)(t+2); ③还原替换：将替换变量t还原为原变量，得到最终的因式分解形式:(2a+3b-6)(2a+3b+2); 换元法在处理复杂的因式分解题目时，能够有效减少多项式的项数，降低多项式的次数，从而使计算更加简便。例题讲解 例7（24-25八年级下·江西景德镇·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为a的值即可． 【详解】（1）解：一次项为，常数项为， 则； （2）解：若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， 则整数a的所有可能的值：， 即整数a的所有可能的值：． 例8（24-25八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法． （1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可； （2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可； 【详解】（1）解：设 原式 （2）解：设， 原式 ． 例9（24-25八年级上·广西·期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【分析】本题考查了因式分解，分组分解的方法及其应用． （1）根据方法，适当分组分解即可． （2）先因式分解，后代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 课后练习 1．（24-25八年级上·江苏·期末）因式分解： ． 2．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 4．（25-26八年级下·四川成都·阶段练习）若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 5．（25-26八年级上·安徽·专题练习）因式分解： ． 6．（25-26七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 7．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：； 8．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若且，求的值． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末总复习讲义 第9课 因式分解 知识点梳理 知识点01——因式分解的概念 知识点02——提公因式法分解因式 知识点03——用平方差公式分解因式 知识点04——用完全平方公式分解因式 知识点05——用十字相乘法分解因式 知识点06——分组分解法及灵活因式分解 知识点01 因式分解的概念 1. 定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； 2. 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，但二者不是互为逆运算. 因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 3. 因式分解注意事项： (1)因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； (2)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； 4. 利用因式分解巧算和求代数式的值 如：+=+2×=×（-1+2）= 再比如：已知，则=xy(x+y)=-2×4=-8 例题讲解 例1（24-25八年级上·全国·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．熟记因式分解的定义是解答本题的关键． 根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解”逐项判断即可． 【详解】解：A．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．从左到右的变形属于整式的乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．从左到右的变形符合因式分解的定义，属于因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 变式：1.（24-25八年级上·四川乐山·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的三种方法，解题的关键在于熟练掌握提公因式法（相同的因数或因式提出来，不同的因数或因式进行相加或相减），平方差公式，完全平方公式. 分别根据提公因式法，平方差公式，完全平方公式即可选出正确答案. 【详解】解：A：错误； B：，错误； C：，错误； D：，正确. 故答案为：D. 2.（24-25八年级下·广东深圳·期末）已知多项式可分解为，则k的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知因式分解结果求参数，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．根据题意将展开，即可得到k的值． 【详解】解：多项式可分解为， ， ， 故选：C． 课后练习 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、，含有分式，不是因式分解，故该选项不符合题意； B、，不是积的形式，故该选项不符合题意； C、，左边不是多项式，故该选项不符合题意；     D、，是因式分解，故该选项符合题意； 故选D． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的概念，需理解因式分解是将多项式化为整式乘积的变形． 因式分解是将多项式化为几个整式的乘积的形式．选项A右边不是乘积形式；选项B左边是单项式，且变形不是因式分解；选项C是整式乘法；选项D符合因式分解定义． 【详解】解：选项A：右边为，不是积的形式； 选项B：左边是单项式，右边是积，变形不是因式分解（因式分解针对多项式）； 选项C：左边是积，右边是多项式，属于整式乘法； 选项D：左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 故选：D． 3．（20-21八年级下·陕西咸阳·期末）下列多项式能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．对各选项逐一判断即可． 【详解】A． ，无法因式分解，不符合题意； B． ，无法因式分解，不符合题意； C． ，无法因式分解，不符合题意； D． ，能够因式分解，符合题意； 故选：D． 4．（20-21八年级下·贵州六盘水·期末）对于①，②从左到右的变形，下列表述正确的是（   ） A．①②都是整式乘法 B．①②都是因式分解 C．①是整式乘法②是因式分解 D．①是因式分解②是整式乘法 【答案】D 【分析】本题主要考查了分解因式和整式乘法计算，观察可知，①是利用提公因式法分解因式，②是多项式乘以多项式的计算，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，①是利用提公因式法分解因式，②是多项式乘以多项式的运算， ∴①是因式分解②是整式乘法， 故选：D． 5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（　　）． ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，将多项式化为整式的积的形式叫作因式分解．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：①是乘法运算，则①不是因式分解； ②符合因式分解的定义，则②是因式分解； ③是乘法运算，则③不是因式分解． 综上，是因式分解的有1个． 故选：B． 6．（24-25七年级上·全国·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂相乘，因式分解，先把式子整理得，再提公因式，进行计算，即可作答． 【详解】解： 故选B． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 知识点02 用提公因式法分解因式 1.公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式. 2.公因式的确定方法 ①找系数的最大公因数；②找相同字母；③找相同字母指数最小值. 3.特别注意点：公因式可以是单项式也可以是多项式. 如：=所以公因式是（a-5）. 提公因式法分解因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法. 4.提公因式法分解因式的一般步骤： ①找公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； ②确定另一个因式； ③提公因式，将多项式写成乘积的形式. 例题讲解 例2（24-25八年级下·宁夏银川·期末）把下列各式分解因式 (1) (2) (3) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）提公因式（x+y）即可； （2）先提公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先变形，再提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 例3（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法__________次，结果是__________； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2 (2)2025， (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可知，分解因式的方法为提公因式法，一共用了2次； （2）仿照题意利用提公因式法求解即可； （3）仿照题意利用提公因式法求解即可； （4）先把原式变形为，再令，结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 课后练习 1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在多项式中，各项的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答此题的关键．根据公因式的定义即可得答案． 【详解】解：∵每一项都含有字母，且的最低次数为， ∴各项的公因式是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 3．（20-21九年级上·山东济宁·期中）多项式，与的公因式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是公因式的定义，根据公因式定义，对各选项分解因式，然后再确定公因式即可． 【详解】解：因为，，， 所以多项式，与的公因式为． 故选：A． 4．（24-25九年级上·山东淄博·月考）分解因式的正确结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．将第二项中的转化为，然后提取公因式，再对提取公因式即可． 【详解】解： ， 故选：D． 5．（16-17七年级下·河北·期末）计算的结果是（ ） A． B． C．- D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及有理数的乘方运算，熟练掌握提取公因式法因式分解和乘方的符号法则是解题的关键． 先将转化为，再提取公因式进行因式分解，计算即可得解． 【详解】解： ， 故选：A． 6．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 7．（2025八年级上·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底． （1）原式变形为，提取公因式分解即可； （2）原式提取公因式分解即可； （3）原式变形为，再提公因式分解即可； （4）原式提取公因式分解，整理后再提取公因式2分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）已知，，求的值． 【答案】28 【分析】本题考查利用因式分解简算代数式求值，提取公因式进行因式分解和整体代入是解答此题的关键． 对原式提取公因式后，将，代入求值． 【详解】解：∵，， ∴． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式是解题的关键． （1）提公因式，即可求解； （2）提公因式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 知识点03 用平方差公式分解因式 1. 定义：把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，就得到 (a+b)(a-b)=a²-b² a²-b²=(a+b)(a-b), 即：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 2. 适用平方差公式分解的条件： 【判断口诀】（三个特点）两个项、都是平方、相互异号 如：下列多项式适用平方差公式分解的有（ ①②⑤⑥ ） (1)x² - 4y² (2) -x² + y² (3) x² + y² (4)-9 - m² (5) 4x² - 9y² (6) (m+n)² - (m-n)² 例题讲解 例3 （25-26八年级上·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)4x² - 9 (2) (x + p)² - (x + q)² 【分析】本题主要考查利用平方差公式分解因式 第一步：观察是否符合平方差公式。 4x² 是 (2x)²，9 是 3².符合！ 第二步：确定公式中的 a 和 b。 a = 2x，b = 3 第三步：套用公式分解。 【详解】原式 = (2x + 3)(2x - 3) (2) (x + p)² - (x + q)² 【分析】把 (x+p) 和 (x+q) 分别看作一个整体。 第一步：观察是否符合平方差公式。 第二步：确定公式中的 a 和 b。 第三步：套用公式分解。 【详解】原式 = [ (x+p) + (x+q) ] [ (x+p) - (x+q) ] = (x + p + x + q)(x + p - x - q) = (2x + p + q)(p - q) 【方法点睛】：当公式中的a 或 b 是多项式时，要用整体思想，并添加中括号确保运算正确，最后化简。 例4（24-25八年级上·浙江台州·期末）对于任意非负整数，，若满足：，则称为与的“2次幂差数”． (1)下列两个数：①，②，其中不是“2次幂差数”的是______(填序号)； (2)若为与的“2次幂差数”，且，是两个连续的正整数，证明：为奇数； (3)若为与的“2次幂差数”，且，，求的最小值． 【分析】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组的应用，解决本题的关键是按照平方差公式将式子进行因式分解． （1）需要根据“2次幂差数”的定义，分别对和进行分析，看是否能找到满足条件的非负整数和． （2）已知，是两个连续的正整数，即，代入化简后判断其奇偶性． （3）将，，代入，得到关于和的等式，然后通过变形求解关于的表达式，再根据为非负整数求其最小值． 【详解】（1）解：设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或， 所以， 所以是“2次幂差数”； 设，， 则， 因为， 因为数，为非负整数， 所以有或， 解得： (不合题意，舍去)或 (不合题意，舍去)， 所以不是“2次幂差数”． 故答案为：②． （2）因为，是两个连续的正整数， 所以，则 ，因为是正整数，是偶数， 偶数加为奇数，所以为奇数， 所以为奇数． （3）已知，， 代入得：， 即， ，因为为非负整数，要使最小， 则时， ， ． 课后练习 1．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列能用平方差公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式．能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．根据平方差公式的形式求解即可． 【详解】解：A、是三项，不能用平方差公式分解因式； B、是三项，不能用平方差公式分解因式； C、是三项，不能用平方差公式分解因式； D、，能用平方差公式分解因式； 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式能用平方差公式分解因式的有（　　） ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据平方差公式的结构特征计算判断即可． 【详解】解：①，不能用平方差公式分解因式； ②，能用平方差公式分解因式； ③，能用平方差公式分解因式； ④不能用平方差公式分解因式； ⑤，能用平方差公式分解因式； 所以在实数范围内能用平方差公式分解因式的有3个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东广州·期末）下列各式中，不能用平方差公式因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式结构是解题的关键．根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各项分析判断后即可得到答案． 【详解】解：A、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、，可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、，可写成，9可写成，两个平方项的符号相反，能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、，可写成，可写成，两个平方项的符号相同，不能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末）观察下列算式： ，，，， 按照以上规律，写出第个算式 （用含正整数的算式表示） 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律、分式的乘法，解决本题的关键是通过观察前几个式子的变化规律，用含的分式把算式的各部分分别表示出来，然后再根据分式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 按照以上规律可知：． 故答案为： ． 6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）把多项式分解因式的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用提公因式法因式分解，平方差公式，根据多项式的特点选择适合的因式分解的方法是解题关键． 先提取公因式，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·辽宁营口·阶段练习）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了用平方差公式分解因式，能熟记平方差公式是解此题的关键，注意：． 【详解】解：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用； 原式化为，再根据平方差公式进行计算，即可求解． 【详解】 ． 9.（24-25八年级上·湖南怀化·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了用公式法进行因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 10．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）已知 ，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式因式分解、完全平方公式、代数式求值等知识点，灵活运用完全平方公式成为解题的关键． 由可得，即，进而得到，再将，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵, ∴，即， ∴， ∴ ∴ ， ∴的值为． 知识点04 用完全平方公式分解因式 1.定义：像a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，叫作完全平方式. 把整式乘法的完全平方公式 (a+b)²=a²+2ab+b², (a—b)²=a²-2ab+b² 的等号两边互换，就得到 a²+2ab+b²=(a+b)², a²-2ab+b²=(a-b)². 即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 2.公式法：可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法. 注意事项：因式分解一定要分到不能再分为止. 例题讲解 例4分解因式： (1)(a+b)²-12(a+b)+36;(2)-x²+4xy-4y². 【分析】在(1)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m²-12m+36; (2) 可通过添括号将原式写成-(x²-4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式. 【详解】(1) (a+b)²-12(a+b)+36=(a+b)²-2·(a+b)·6+6²=(a+b-6)²; (2) -x²+4xy-4y²=-(x²-4xy+4y²)=-[x²-2·x·2y+(2y)²]=-(x-2y)². 例5（24-25七年级下·山东聊城·月考）将下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答； （2）先提公因式，再用完全平方公式因式分解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式． 本题考查了提公因式法因式分解，公式法因式分解，熟练掌握其运算规则是解题的关键． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 例6（24-25八年级下·四川成都·期末）先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：． 解：将“”看成整体，令，则原式； 再将“A”还原，得：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解下列问题： (1)类比应用，求______； (2)若n为正整数，判断式子的值是否是某一个整数的平方，并说明理由． 【答案】(1) (2)式子的值是某一个整数的平方，理由见详解 【分析】本题考查因式分解，解题的关键是理解并掌握整体思想和换元思想． （1）利用整体思想和完全平方公式进行化简即可； （2）利用乘法的结合律和多项式乘多项式的法则对原式进行整理，再利用整体思想和完全平方公式进行整理即可． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令， 则原式， 再将“”还原，得：原式， 故答案为：； （2）证明：式子的值是某一个整数的平方， 理由如下： ， 令， 则上式， ∵为正整数， ∴是整数， ∴式子的值是某一个整数的平方． 课后练习 1．（25-26八年级上·湖南·期中）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用完全平方进行因式分解，掌握完全平方公式是解决本题的关键． 根据完全平方公式的结构特点，即形如，可分解为，需验证各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A选项， 是平方差公式，分解为，不符合完全平方公式． B选项， 中第三项为负数，无法写成平方和的形式，不符合． C选项， 可看作，可分解为，符合条件． D选项， 中间项含，无法与和构成完全平方，不符合． 故选：C． 2．（25-26八年级上·扬州·期中）下列多项式能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用平方差公式、完全平方公式分别分解因式进而判断即可． 【详解】 ①不能用公式法分解因式； ②不能用公式法分解因式； ③可以用公式法分解因式； ④可以用公式法分解因式； ⑤可以用公式法分解因式； 综上，③、④、⑤能用公式法分解因式，共3个， 故选C． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期末）将多项式分解因式的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法因式分解． 利用完全平方公式和平方差公式进行解答． 【详解】解： ． 故选：C． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期末）下列因式分解不正确的是（　　） A．﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2 B．2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x﹣y）2 C．4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y） D．x2+4x＝x（x+4） 【答案】B 【分析】根据完全平方公式以及因式分解的计算即可求出正确答案． 【详解】解：A选项，﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x2+2x+1）＝﹣（x+1）2，故A项不符合题意， B选项，2x2﹣4xy﹣2y2＝2（x2﹣2xy﹣y2），故B项符合题意， C选项，4x2﹣16y2＝4（x+2y）（x﹣2y），故C项不符合题意， D选项，x2+4x＝x（x+4），故D项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解．因式分解方法主要有提公因式法和公式法． 5．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·吉林·期末）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据完全平方公式，分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏·期中）阅读材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，，∴且，∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则_____，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0 (2)4 (3)11 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系，根据三角形三边的关系得到的范围，熟练掌握是解题的关键． （1）根据配方法和非负数的性质求解； （2）根据配方法和非负数的性质求出，代入代数式求值即可； （3）根据配方法和非负数的性质求出：，，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ， ∴，， ∴，， 故答案为：1，0； （2）解：∵， ， 即， 则，， 解得， ； （3）解：∵， ， ， 则，， 解得，， ∵， 即，且c是正整数， ∴， 即三角形三边分别为1，5，5， ∴的周长为． 8．（25-26八年级上·北京·阶段测试）分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 9．（24-25七年级下·江苏·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（24-25八年级上·重庆·期末）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）将转化为，然后提出公因式即可； （2）先利用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 11．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 12．（24-25八年级上·陕西·期末）阅读材料： 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例：分解因式． 解：． 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求边c的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解因式即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到，的值，根据三角形的三边关系即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， ，， ，， ， 边的取值范围为． 知识点05 灵活分解因式 1. 十字相乘法——x²+(p+q)x+pq型式子的因式分解 (x+p)(x+q) =x²+px+qx+pq =x²+(p+q)x+pq. 因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得 x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).(*) 利用(*)式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式. 例如，将式子x²+3x+2分解因式利用(*)式可得x²+3x+2=(x+1)(x+2). 上述分解因式x²+3x+2的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示： 十字相乘法的步骤： ①先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角； ②再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角； ③然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(图1). 2. 分组分解法（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 分组分解法是一种用于因式分解的方法，特别适用于那些无法直接使用提公因式法或公式分解法的多项式。通过将多项式的项适当地分组，可以将其转化为可以应用基本方法(如提公因式法或公式法)分解的形式，从而达到因式分解的目的。 分组分解法的基本步骤 ①适当分组：将多项式的项分成若干组，每组内的项具有某种共同特征，如含有相同的因式或可以应用某个公式。 ②局部分解：对每一组进行因式分解，通常使用提公因式法或公式法。 ③综合分解：将分组后的结果进行进一步的因式分解，得到最终的分解结果。 例如：， 又如： 3. 换元法分解因式（它不是一种专门的因式分解的方法，而是一种分解的技巧） 如，分解因式：． ①设定替换变量：设t=2a+b,将原式转化为t2-4t-12; ②因式分解：通过代入替换变量，简化表达式，得到t2-4t-12=(t-6)(t+2); ③还原替换：将替换变量t还原为原变量，得到最终的因式分解形式:(2a+3b-6)(2a+3b+2); 换元法在处理复杂的因式分解题目时，能够有效减少多项式的项数，降低多项式的次数，从而使计算更加简便。例题讲解 例7（24-25八年级下·江西景德镇·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为a的值即可． 【详解】（1）解：一次项为，常数项为， 则； （2）解：若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， 则整数a的所有可能的值：， 即整数a的所有可能的值：． 例8（24-25八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法． （1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可； （2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可； 【详解】（1）解：设 原式 （2）解：设， 原式 ． 例9（24-25八年级上·广西·期末）阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【分析】本题考查了因式分解，分组分解的方法及其应用． （1）根据方法，适当分组分解即可． （2）先因式分解，后代入求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ，， ， 的值为9． 课后练习 1．（24-25八年级上·江苏·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】先分组，然后根据公式法因式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分组分解法，公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了用十字相乘法因式分解，要注意利用是解决问题的关键． 利用十字相乘法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． 直接运用十字相乘法进行因式分解即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·四川成都·阶段练习）若多项式因式分解后有一个因式，则 ． 【答案】 【分析】本题考考查了对整式分解因式的运用能力，掌握十字相乘法是解本题的关键．本题可利用这一公式，根据题意可设另一个因式为，可以得到，进而得出的值． 【详解】解：根据题意可设另一个因式为， ， ∴， ，． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽·专题练习）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．（25-26七年级上·上海宝山·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查分组分解法分解因式，正确分组是解题关键． 直接将原式分组，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：原式 ． 7．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）因式分解：； 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用提取公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 8．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若且，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．用分组分解法对等式的左边进行因式分解，将第一、二、四项分成一组，用完全平方公式因式分解，再用平方差公式进行因式分解，结合，通过整体代入求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，    ∴， 又∵，    ∴． 9．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用分组分解法分解因式． （1）将式子分成两组，提出公因式后，先运用完全平方公式，再运用平方差公式计算即可； （2）将式子进行分组，运用提公因式法、平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 因为，， 所以原式． 10．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）阅读理解 阅读材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，这种解题思想叫做“整体思想”． 下面是小亮同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设，则原式（第一步） ＝      （第二步） ＝            （第三步） 故原式     （第四步）． ；        （第五步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)初步理解： 小亮同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的　　　； A．提取公因式法  B．平方差公式法  C．完全平方公式法 (2)尝试应用： 请你用换元法对多项式进行因式分解； (3)灵活运用： 请你将多项式进行因式分解 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． (1)根据完全平方公式即可解答； (2)设 ，则，原式，再因式分解即可得到答案； (3)先将原式变形为，设，则原式，进而得到原式． 【详解】（1）解：运用了完全平方公式法， 故选：C； （2）解：设， 原式 ； （3）解：原式 ， 设 原式   ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $