专题01 因式分解（十一大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

专题01 因式分解（十一大题型） 【题型一 判断是否是因式分解】..........................................................................................1 【题型二 已知因式分解的结果求参数】..............................................................................2 【题型三 公因式】................................................................................................................2 【题型四 提公因式法分解因式】..........................................................................................3 【题型五 平方差公式分解因式】..........................................................................................3 【题型六 完全平方公式分解因式】.......................................................................................3 【题型七 综合提公因式和公式法分解因式】........................................................................3 【题型八 因式分解在有理数简算中的应用】........................................................................5 【题型九 十字相乘法】...........................................................................................................6 【题型十 分组分解法】...........................................................................................................6 【题型十一 因式分解的应用】................................................................................................7 【题型一 判断是否是因式分解】 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的等式变形中，因式分解是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 1．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 2．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 3．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 4．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 5．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 6．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 7．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【题型三 公因式】 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 4．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 5.用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【题型四 提公因式法分解因式】 1．分解因式：= ． 2．若，，则的值为 ． 3．因式分解： ． 4．因式分解： ． 5．分解因式： ． 6．因式分解： ． 【题型五 平方差公式分解因式】 1．因式分解的结果是 ． 2．已知，，则 ． 3．填空： ． 4．若，则 ． 5．分解因式： ． 6．分解因式： ． 【题型六 完全平方公式分解因式】 1．因式分解： ． 2．已知，则 ． 3．因式分解： ． 4．若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 5．若可以因式分解为，则的值为 ． 【题型七 综合提公因式和公式法分解因式】 1．因式分解： (1) (2) 2．分解因式： (1) (2) 3．分解因式： (1)； (2)． 4．因式分解： (1)； (2)． 5．分解因式： (1)； (2)． 6．因式分解： (1) (2) (3) (4) 7．因式分解： (1)； (2)． 【题型八 因式分解在有理数简算中的应用】 1．简算 (1) (2) 2．利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 3．利用因式分解计算： (1)； (2)． 4．利用因式分解计算： (1)； (2)． 5.利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 6．利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 【题型九 十字相乘法】 1．因式分解： ． 2．因式分解： ． 3．因式分解： ． 4．因式分解： ． 5．因式分解： ． 6．因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 7．因式分解：． 【题型十 分组分解法】 1．因式分解： ． 2．分解因式： ． 3．因式分解： ． 4．分解因式： ． 【题型十一 因式分解的应用】 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 4．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积为（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 5．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ． ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 6．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 7．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 1．将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 2．【阅读材料】 可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如： ． 根据以上材料，回答下列问题： (1)因式分解（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（十一大题型） 【题型一 判断是否是因式分解】..........................................................................................1 【题型二 已知因式分解的结果求参数】..............................................................................3 【题型三 公因式】................................................................................................................6 【题型四 提公因式法分解因式】..........................................................................................8 【题型五 平方差公式分解因式】..........................................................................................9 【题型六 完全平方公式分解因式】.....................................................................................11 【题型七 综合提公因式和公式法分解因式】......................................................................12 【题型八 因式分解在有理数简算中的应用】......................................................................16 【题型九 十字相乘法】........................................................................................................20 【题型十 分组分解法】........................................................................................................22 【题型十一 因式分解的应用】.............................................................................................23 【题型一 判断是否是因式分解】 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】A、对于，提取公因式后得到，是把多项式化成了整式的积的形式，符合因式分解的定义，故本选项符合题意． B、这是平方差公式的展开过程，是把整式乘积的形式化成了多项式的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． C、与等式左边不成立，该等式错误，故本选项不符合题意． D、左边是单项式，而因式分解的对象是多项式，因此不符合定义，故本选项不符合题意． 故选A． 2．下列从左到右的等式变形中，因式分解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是因式分解的定义，利用因式分解的定义进行判定是解题的关键，需要注意的是等式变形需要符合恒等变形．利用因式分解的定义：将多项式转化为整式乘积的形式，进行判定即可． 【详解】解：A．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； B．，是多项式乘以多项式，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意； C．，符合因式分解的定义，符合题意； D．，并非将多项式转化为整式乘积的形式，不符合题意． 故选：C． 3．下列各式中，从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的判断，因式分解是将多项式化为整式乘积的形式；选项A右边为和的形式，不符合定义；选项B是整式乘法，不是因式分解；选项C等式不成立；选项D正确分解为完全平方式． 【详解】解：∵因式分解需右边为乘积形式且等式成立； 选项A：右边为和，不是乘积； 选项B：右边为多项式，不是乘积形式； 选项C：左边，右边，等式不成立； 选项D：右边为乘积形式，且成立． ∴故选：D． 4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的定义．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各项进行判断即可． 【详解】解：A、 ，是因式分解，但与D选项相比，D选项的因式分解更为彻底，是最佳选项，故A不符合题意； B、右边结果不是积的形式，不符合题意； C、是多项式与多项式的乘法运算，不符合题意； D、属于因式分解，符合题意． 故选：D． 5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，将一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，据此判断即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、是整式乘法运算且运算错误，不是因式分解，该选项不合题意； 、是因式分解，该选项符合题意； 、是整式的恒等变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、是整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 故选：． 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 1．若多项式可分解为，则（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解、完全平方公式等知识点，掌握因式分解的定义是解题的关键． 由题意可得，即，进而得到． 【详解】解：∵多项式可分解为， ∴， ∴， ∴，． 故选：B． 2．若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（   ） A．， B．，3 C．2， D．2，3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 3．若可以分解为，那么的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解与多项式乘积之间的关系，先根据多项式乘以多项式进行计算，得出方程，，求出即可 【详解】解：， 可以分解为， ，， ，， ， 故选：D． 4．多项式因式分解的结果是，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求解参数．通过将给定的因式分解结果展开，与原多项式对比一次项系数即可确定p的值. 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：C． 5．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 6．若二次三项式可分解为，则m的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解以及多项式乘法法则，掌握多项式乘多项式法则是解题关键．将多项式分解后的形式展开，与原式比较对应项的系数，解方程确定m的值即可． 【详解】解：， 若二次三项式可分解为， 则， 解得：， 故选：A． 7．已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 【题型三 公因式】 1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．最大公因式：系数取各项系数的最大公约数，字母取各项共有的，字母指数取最小的，据此判断即可． 【详解】解：把多项式分解因式，应提取的公因式是． 故选：C． 2．将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 3．多项式的公因式是（　　） A． B． C．ma D．mb 【答案】A 【分析】本题考查了提取公共因式． 直接提取公共因式即可． 【详解】解：、均存在因式， 故选：A． 4．多项式与多项式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是公因式的定义，对每个多项式先因式分解，然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是， 故选：B． 5.用提取公因式法因式分解，提出的公因式应当是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查公因式的定义，提取公因式，把看作一个整体，就是各项公共的部分，也就是公因式．整体思想的利用比较关键． 【详解】解：． 所以公因式是． 故选：C． 【题型四 提公因式法分解因式】 1．分解因式：= ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解．通过提取公因式“x”即可进行因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查提公因式法的应用，将代数式进行因式分解后，利用整体代入法求值． 【详解】∵ ，， ∴ 故答案为：． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解中的提取公因式法，解题的关键是找出多项式各项的公因式并提取． 观察多项式的各项，找出公因式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 4．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 5．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 6．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式分解因式，提公因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 【题型五 平方差公式分解因式】 1．因式分解的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方差公式，熟记公式是解题的关键． 根据平方差公式即可求解． 【详解】， 故答案为：． 2．已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 3．填空： ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先将等号右边的用平方差公式分解因式，再填空． 【详解】解：因为， 所以， 所以填， 故答案为：． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解——运用公式法．先对等式的左边进行因式分解，进而得出答案． 【详解】解：∵， 又， ∴． 故答案为：． 5．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型六 完全平方公式分解因式】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查用公式法分解因式，利用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为 ． 2．已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，两边都除以a构造出a与其倒数和是解题的关键，另外还要注意乘积的二倍不含字母非常的重要． 由已知方程变形得到，再利用完全平方公式求值． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， ∴． 故答案为：7 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用完全平方公式因式分解，熟练应用完全平方公式是解题的关键．根据因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为： ． 4．若可直接用完全平方公式分解因式，则m的值等于 ． 【答案】11或/或11 【分析】本题考查完全平方公式分解因式，由题意得，根据对应系数相等即可求解． 【详解】解： 可直接用完全平方公式分解因式， ， ， 或， 故答案为：11或． 5．若可以因式分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了公式法因式分解的逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同． 根据公式法分解因式的逆运算，把完全平方公式展开再利用对应项系数相等即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为． 【题型七 综合提公因式和公式法分解因式】 1．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，再利用公式法进行因式分解； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先提取3，再由完全平方公式分解； （2）先提取，再由平方差公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 3．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先提取公因式，再利用平方差公式； （2）先用完全平方公式，再利用平方差公式． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解： （1）利用平方差公式分解即可； （2）先提取公因式4，再用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 6．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查提公因式法与公式法进行因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （4）先利用平方差公式进行因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 7．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． （1）直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式即可； （2）直接提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型八 因式分解在有理数简算中的应用】 1．简算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方差公式与完全平方公式的应用； （1）原式根据平方差公式化为，再进行计算即可求解； （2）原式根据完全平方公式化为，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 2．利用因式分解计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2022 (3)810 【分析】本题考查了因式分解法中提公因式的应用，同底数幂的乘法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （2）利用因式分解法中提公因式的方法计算即可； （3）把最后一项中的因数9表示成，即最后一项化为，利用因式分解法中提公因式的方法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用， （1）将原式转化为，然后利用完全平方公式进行因式分解，再进行有理数的乘方运算； （2）将原式利用结合律进行分组，然后利用平方差公式进行因式分解，再进行乘法和加法运算； 掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1)22500 (2)4 【分析】本题考查的是利用完全平方公式进行简便运算； （1）把原式化为，再进一步求解即可； （2）把原式化为，再进一步求解即可； 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 5.利用因式分解简化运算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)20260 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 6．利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 【答案】（1）2021；（2）40000 【分析】（1）观察式子，利用提公因式法进行求解； （2）根据式子的特点，利用完全平方公式进行求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 【点睛】本题考查因式分解的应用，解题的关键是根据每个式子中的特点选择适当的因式分解的方法（如提公因式法、公式法等），从而简化计算． 【题型九 十字相乘法】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数，从而进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为： 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次三项式的因式分解-十字相乘法，将多项式视为关于x的二次三项式，通过寻找两个数使其和为一次项系数，积为，利用十字相乘法进行因式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 4．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解，熟练掌握“十字相乘法”是解答此题的关键． 利用“十字相乘法”进行因式分解即可得出答案． 【详解】解：原式， 故答案为：． 6．因为，又因为整式乘法与因式分解互为逆运算，则 ．利用以上知识解答下面两题： (1)分解因式： ； (2)分解因式： ． 【答案】(1)) (2) 【分析】本题考查因式分解． （1）利用十字相乘法因式分解即可； （2）利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 7．因式分解：． 【答案】 【分析】根据十字相乘法可进行求解． 【详解】解：． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用十字相乘法进行因式分解是解题的关键． 【题型十 分组分解法】 1．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查运用公式法分解因式，先分组并用完全平方公式分解，再用平方差公式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分解因式，运用分组分解法即可解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法，分组分解法等．本题利用分组分解法，公式法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型十一 因式分解的应用】 1．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先根据提公因式法因式分解，再将已知式子的值代入，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：D． 2．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用． 利用平方差公式分解，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， 则 ∴ ， 故选：A． 3．已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 4．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积为（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得阴影部分的面积为，然后代入进行求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积为， ∵， ∴； 故选C． 5．阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ． ． ． ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：的三边长a，b，c都是正整数，且满足：，求的周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解的应用、负整数指数幂、三角形的三边关系． （1）直接利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方的非负性求出x、y的值即可求解； （2）利用完全平方公式进行因式分解，再根据平方的非负性求得a、b的值，根据三角形的三边关系可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵的三边长a，b，c都是正整数， ∴，即 ∴当时，的周长取最大值，最大值为． 6．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：______；（直接列出等式即可） (2)若x，y，z为实数，，，利用（1）的结论求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为a，b的正方形纸片和长为b，宽为a的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解：______（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． （1）两种方法表示出图形的面积，即可得出结果； （2）利用（1）中结论求解即可； （3）根据多项式，由3个边长为的小正方形和8个边长为的长方形和4个边长为的正方形组合成一个矩形，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示： ． 7．【阅读材料】因式分解：． 解：将“”看成整体，令， 则原式． 再将“”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 (1)因式分解：； (2)证明：若为正整数，则的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将B还原即可； （2）设，则原式化为，即，再将C还原求解即可． 【详解】（1）解：设， 则原式， 将“”还原，原式． （2）证明：原式． 设，则原式． 将“”还原，原式． 为正整数， 为正整数， 的值一定是某个整数的平方． 1．将多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了提公因式，解题的关键在于理解公因式的概念． 确定公因式需考虑系数和字母部分：系数取最大公约数，字母取最低次数，并注意首项符号． 【详解】解：多项式的各项系数为、16、12，最大公约数为4， 首项为负，故系数取； 字母的最低次幂为， 公因式为． 故选D． 2．【阅读材料】 可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如： ． 根据以上材料，回答下列问题： (1)因式分解（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)2025 (3)12 【分析】本题主要考查配方法的应用，平方差公式，因式分解； （1）根据题意利用配方法进行因式分解即可； （2）先根据题意将多项式因式分解，再求出最小值即可； （3）先根据题意将多项式因式分解，得到，求出的值，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：， 多项式的最小值为2025． （3）解：， ， ， ， ，，， ，，． ∵， ∴，，可以作为三角形的三条边． ， 的周长为12． 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