精品解析：江苏省无锡市宜兴市2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025年秋学期期中测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程的未知数最高次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程不是整式方程（分母含未知数），且化简后为，次数为3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、方程，只含未知数x，最高次数为2，且为整式方程，符合定义，故此选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，通过添加常数项完成平方，将方程转化为完全平方形式即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故选：B． 3. 根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 4. 下列说法中正确的是（ ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论，根据圆的基本概念，弦、弧、圆心角等关系，垂径定理推论逐一分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直径是经过圆心的弦， ∴正确，符合题意； ∵等弧需在同一个圆或等圆中长度相等才成立， ∴错误，不符合题意； ∵相等的圆心角所对的弧相等需在同一个圆或等圆中， ∴错误，不符合题意； ∵平分弦的直径垂直于弦，但弦不能是直径（否则可能不垂直）， ∴错误，不符合题意； 故选：． 5. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理判断即可． 【详解】解：∵， 若P点为圆心， 则． 故选：C． 6. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意； 当添加条件时，则，故选项B不符合题意； 当添加条件时，则，故选项C不符合题意； 当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意； 故选：D． 7. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 【答案】A 【解析】 【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】解：由题意得：x（x-12）=864， 故选： A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，矩形的面积计算；读懂题意弄清数量关系是解题关键． 8. 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（ ） A. 圆上 B. 圆内 C. 圆外 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，的中点为点，连接，先根据等边三角形的性质可得，再根据三角形中位线定理可得，从而可得为的半径，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意可知，的中点为点，连接， 是等边三角形， ， 是的中点，为的中点， ， ， 即为的半径， 点在上， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理、点与圆的位置关系，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键． 9. 如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】作于F点，于H点，则可得，根据相似三角形的性质可得．由，可得，进而可得． 本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于F点，于H点， 则， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将剪成面积相等的两部分， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：B． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，①当时，方程有根，但判别式可能等于0；②由有两个不等实根得出，从而原方程判别式大于0；③当c是根时，，但时不一定为0；④由求根公式直接推导成立． 【详解】解：①∵当时，是方程根， ∴，但不一定大于0，故①错误； ②∵方程有两个不等实根， ∴， 对于方程，， ∴有两个不等实根，故②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即； 当时，不一定为0，故③错误； ④∵是一元二次方程的根， ∴； ∴； ∴，故④正确． ∴正确的是②④． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 一元二次方程的常数项为，则一次项系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为， ∴， ∴方程的一次项系数为， 故答案为：． 12. 某市体育场作为苏超足球联赛的主场，其足球场区域严格按照国际足联要求建设，长度为．若导览图比例尺为，则该足球场在导览图上的长度为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查比例尺，根据比例尺的定义，图上距离与实际距离的比等于比例尺．需要将实际长度单位统一为厘米，再通过比例计算图上长度． 【详解】解：． 设图上长度为，则 ， 解得， 故答案为：7． 13. 点是线段的黄金分割点，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，由黄金分割的定义得，即得，再根据即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 请写出一个二次项系数为，且有一个根为的一元二次方程：______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，根据一元二次方程的定义，设所求一元二次方程为，再代入已知根求解系数关系，从而构造方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设所求一元二次方程为， ∵方程有一个根为， ∴，即， ∴， 取，则， 故方程为， 故答案为：．（答案不唯一） 15. 若是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2029 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．根据一元二次方程根的定义得到，得到，化为，代入计算即得． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴． 故答案为：2029． 16. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆心角定理，等边三角形，由圆周角定理可得 是解答本题的关键. 连接，，则，再证明，可得是等边三角形，即可求解. 【详解】解：如图；连接，，则 ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵的半径为5 ∴ 故答案为：5. 17. 将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取的中点O，连接、、，根据勾股定理分别求出、、，得到答案． 【详解】解：取的中点O，连接、、， 由题意得：， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为， 故答案为：． 18. 如图，线段，点在上，点为平面上一动点，且，当时，的长为______，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】等边对等角，结合等角的余角相等得到，进而得到，进而得到为的中点，斜边上的中线求出的长即可，取的中点，连接，三角形的中位线定理，得到，得到，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，证明，得到，取的中点，连接，斜边上的中线求出的长，勾股定理求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：当，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 取的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， 取的中点，连接，则：， 在中，， ∴， ∵， ∴的最大值为； 故答案为：4，． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理，斜边上的中线，熟练掌握相关知识点，确定动点的位置是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 用合适方法解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择直接开平方法或公式法． （1）方程为完全平方形式，用直接开平方法求解； （2）方程用公式法，先确定系数，计算判别式，再代入求根公式． 【小问1详解】 解： 两边开平方得： 当时，； 当时，． 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解：对于，，，， 判别式， 由求根公式得：， 所以方程的解为，． 20. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，求方程的解． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根据新定义得到，，由得到，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 则， ∴， ∴，， ∴或． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求另一个根和的值． 【答案】（1） 证明：方程中，，，， ， ， ， ， 方程有两个不相等的实数根； （2）另一根为，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根的判别式可得：，根据平方的非负性可得：，所以可证方程有两个不相等的实数根； 根据一元二次方程根与系数的关系可知方程两根之和为，其中一根为，则另一根为，把其中一个根代入方程中得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程的两根之和为，其中一根为， 另一个根为， 把代入原方程， 可得：， 整理可得：， 解得：． 22. 如图：在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分交于点D， ， ， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明即可． （2）由相似三角形的性质得，求出，则，而，则可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1），， ． ，， ． ． ， ． 的长是． 23. 某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 【答案】（1）平均每次降价的百分率为 （2） 售货员的方案对顾客更优惠，理由如下： ， ∴售货员的方案对顾客更优惠． 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． （1）设平均每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据题意直接计算可得出答案． 【小问1详解】 解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， ∴平均每次降价的百分率为； 【小问2详解】 略 24. 如图：为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， 为的直径， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系、三角形外角定理． 连接，可证是的垂直平分线，根据等腰三角形的性质可证，根据圆周角定理可证，等量代换即可证明结论成立； 连接，根据圆周角定理可知，，根据直角三角形两锐角互余，可知，根据三角形外角定理可得，根据圆周角定理可知的度数． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， 的度数为， ， 是的直径， ， ， 是的外角， ， ， ， ． 25. 如图，已知中，． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，圆心点在上，且圆经过，两点与交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接．若，则______．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1） 作图如图所示 （2） 【解析】 【分析】本题考查基本作图—垂直平分线和圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，会利用方程解决几何问题是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，为半径作圆， 交于点D； （2）先证，得出．再证，可得的长． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：是直径， ． ． ， ． ． ，即． ． ， ． 解得 (负根已经舍去)． ． ，， ． ． ． 解得 (负根已经舍去)． 故答案为∶． 26. 某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： （1）利用方案一求路灯的高度； （2）利用方案二求路灯主杆的高度． 【答案】（1）（米） （2）（米） 【解析】 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”​ 在实际问题中的应用，相似三角形对应边成比例，平行线的性质，解题的关键在于利用相似三角形，相似三角形对应边成比例，列出比例式，求对应边； （1）识别出相似三角形，对应边成比例，列出比例式，计算求得即可； （2）识别出相似三角形，利用高也对应成比例，再根据几组平行，得到等于的边上的高，从而得到，求出，再加上，即可得． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ，即 ． 答：路灯的高度为米． 【小问2详解】 过点作于． ∵由题意得，， ∴（米），（米）， ∴等于的边上的高， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：路灯主杆的高度为米． 27. 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； （2）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 【答案】（1） （2） （3），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的变换（换根法）、一元二次方程根与系数的关系的应用、解一元二次方程，熟练掌握换根法的思想（通过根的关系代入原方程化简）是解题的关键． （1）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的相反数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （2）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的倒数”得到与原根的关系，代入原方程化简． （3）先由原方程的根求出、、的关系，再代入新方程，求解新方程的根． 【小问1详解】 解：设所求方程的根为，则，即． 把代入已知方程，得， 化简得； 【小问2详解】 解：设所求方程的根为，则（），即． 把代入已知方程，得， 化简得； 【小问3详解】 解：原方程的根为、，根据根与系数的关系得 ， ∴，． 将，代入新方程，得 ， 化简得， ， ∴新方程的根为，． 28. 有一张矩形纸片，点在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点的对应点记为点． （1）如图1，若点恰好落在矩形的边的中点时，则______°； （2）若点落在矩形的边的下方时，、分别交于点、，过点作，垂足分别为点，此时点是的中点． ①如图2，当点在边上时，试判断与是否相似，证明你的结论； ②当时，求的长． 【答案】（1）30 （2） ①， 理由：如图，分别延长交于点P， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②的长为或 【解析】 【分析】本题考查矩形，折叠，相似综合题，解题的关键是分情况讨论． （1）根据矩形的性质得出，进而利用折叠的性质和三角函数解答即可； （2）①如解图①，分别延长，交于点P，四边形是矩形，，，，四边形、四边形、四边形都是矩形，，，由折叠的性质可知，，，，， ，，，点G是的中点，，，，，； ②由①可知，，，由折叠的性质可知，，，，，分情况讨论，①当点E在上时，如解图②，，，，②当点E在的延长线上时，如解图③，，，． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ∵F是的中点， ∴， 在中，， ∴； 故答案为：30； 【小问2详解】 解：①略 ②∵由①可知，， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ， 当点E在上时，如图， ， ∴， ∴， ②当点E在的延长线上时，如图， ， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中测试 九年级数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上． 考试时间为120分钟，试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、班级、考试号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对姓名、班级、考试号是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） 直径是弦；长度相等的两条弧是等弧； 相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦 A. B. C. D. 5. 如图，E，F，G为圆上的三点，，P点可能是圆心的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A. x（x - 12）= 864 B. x（x + 12）= 864 C. x（12 - x）= 864 D. 2（2x - 12）= 864 8. 如图，在等边△ABC中，D是AC的中点，则点D与以AB为直径的⊙O的位置关系是（ ） A. 圆上 B. 圆内 C. 圆外 D. 不能确定 9. 如图，一张锐角三角形纸片，点D、E分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共计24分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 11. 一元二次方程的常数项为，则一次项系数为______． 12. 某市体育场作为苏超足球联赛的主场，其足球场区域严格按照国际足联要求建设，长度为．若导览图比例尺为，则该足球场在导览图上的长度为______． 13. 点是线段的黄金分割点，，则的长为______． 14. 请写出一个二次项系数为，且有一个根为的一元二次方程：______． 15. 若是方程的一个根，则的值为______． 16. 如图，的半径为5， 为弦，若，则的长为________． 17. 将边长为6的正方形和边长为3的正方形如图摆放，使得、、三点共线，此时经过、、三点作一个圆，则该圆的半径为______． 18. 如图，线段，点在上，点为平面上一动点，且，当时，的长为______，将线段的中点绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段的最大值为______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分．解答需写出必要的文字说明或演算步骤．） 19. 用合适方法解下列方程． （1） （2） 20. 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，求方程的解． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求另一个根和的值． 22. 如图：在中，平分交于点，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 某商场在五一期间将单价400元的某种商品经过两次降价后，以324元的价格出售． （1）求平均每次降价的百分率； （2）售货员向经理建议：先公布降价，然后再降价，这样更有吸引力，请问售货员的方案对顾客是否更优惠？为什么？ 24. 如图：为的直径，是弦延长线上一点，，的延长线交于点，连接． （1）求证：． （2）若的度数为，求的度数． 25. 如图，已知中，． （1）请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，圆心点在上，且圆经过，两点与交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） （2）在（1）的条件下，连接．若，则______．（如需画草图，请使用备用图） 26. 某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： （1）利用方案一求路灯的高度； （2）利用方案二求路灯主杆的高度． 27. 请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． （1）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______； （2）已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______； （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根． 28. 有一张矩形纸片，点在射线上，现将矩形折叠，折痕为，点的对应点记为点． （1）如图1，若点恰好落在矩形的边的中点时，则______°； （2）若点落在矩形的边的下方时，、分别交于点、，过点作，垂足分别为点，此时点是的中点． ①如图2，当点在边上时，试判断与是否相似，证明你的结论； ②当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $