2.6 列方程解决实际问题（古代问题专练） 2025-2026学年北京版数学七年级上册

2.6列方程解决实际问题（古代问题专练） 一、单选题 1．文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中关于“盈不足”问题：“今有人共买物，人出五，盈三；人出四，不足二．问人数几何？”大意是：现有一些人共同买一个物品，若每人出5元，则还剩3元；若每人出4元，则还差2元．若设买这个物品共有个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 4．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两．请问：所分的银子共有几两？（   ） A．46 B．47 C．48 D．49 5．诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 6．在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车：若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少辆车，多少人？小安假设“共有x辆车”，小溪假设“共有y人”，下列说法正确的是（   ） A．按小安的设元方法，则共有人 B．按小溪的设元方法，则共有辆车 C．按小安的设元方法，应列方程为 D．按小溪的设元方法，应列方程为 8．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期．如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间．已知在箭尺有一定读数的情况下，供水小时，箭尺读数为；供水小时，箭尺读数为．设开始高度为，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．“鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔？”要解决此问题，可设兔有x只，则所列方程是（   ） A． B． C． D． 10．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为（   ） y b a 3 x A．6 B．8 C．-6 D．-8 二、填空题 11．“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 12．明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两，若每人分九两，则还差八两，则银子有 两．（明代1斤两，故有“半斤八两”这个成语） 13．算筹是我国古代的计算方法之一，纵式表示一到五时，竖放的每一根代表一，表示六到九时，横放一根代表五，其余算筹竖放在下面：横式则相反，在表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．如图所示的两个框内的算筹所表示的两位数、三位数分别为方程的一次项系数及常数项，则推算x表示的数为 ． 14．幻方是一种中国传统的数字游戏．游戏规则：将数字填入正方形的格子中，使每行、每列和每条斜对角线上的数字和都相等．如图是填写了部分数字的幻方，根据幻方的游戏规则，图中的值为 ． 15．《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十里．今载太仓粟输上林，五日三返．”意思是驾马车在驿站间运送货物，空车一日行70里，重车一日行50里．现在从太仓运谷子到上林，5日往返3次．设太仓距上林x里，则根据题意可列方程为 ． 三、解答题 16．《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 17．《孙子算经》中有一题；今有妇人河上荡杯，津吏问：杯何以多？妇人曰有客．吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？大意：有一位妇女在河边洗碗，管理桥梁的官吏见了，问道：“你要洗的碗为什么这样多？”妇人回答说：“家里来了客人．”官吏又问：“来了多少客人？”妇人说：“我家来的客人，2人共用一只饭碗，3人共用一只汤碗，4人共用一只肉碗，总共用了65只碗．请你算算吧，我家的客人有多少个？”请解决这道古题． 18．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人分9两，则差8两．有多少个人？有多少两银子？ (1)假设人数为，请先填写下表，然后完成解答； 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 (2)请你换一种方法解决这个问题． 19．《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗．请问都来寺里有多少个和尚．利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧． --摘自（明）程大位著《算法统宗》 20．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.6列方程解决实际问题（古代问题专练）2025-2026学年北京版数学七年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A B D D C A C 1．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 2．A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 根据物品价格不变，分别用两种出钱方式表示物品价格，然后列方程． 【详解】解：设共有个人，根据题意得， ∵每人出5元，盈3元， ∴物品价格为元； ∵每人出4元，不足2元， ∴物品价格为元； ∵物品价格不变， ∴， 故选：A． 3．A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【详解】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 4．A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解决本题的关键是由总数不变这一条件建立等式． 设出未知数，即设分银子的人数为x人，根据银子总数不变列方程即可求解． 【详解】解：设分银子的人数为x人， 每人分七两时，剩余四两，银子总数为两， 每人分九两时，还差八两，银子总数为两， ∵银子总量不变， ∴，解得， 将代入两中，可得两， 所以，所分的银子共有46两． 故选：A． 5．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系． 根据“再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是一百只”这一等量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲原有只羊，根据题意得：， 解得：， 故选：B； 6．D 【分析】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【详解】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查列代数式、列一元一次方程，理解题意，找准等量关系是解答的关键．根据两人所设的未知数，结合题意正确列出相应代数式及方程，然后判断即可． 【详解】解：A、按小安的设元方法，则共有人，该选项说法错误，不符合题意； B、按小溪的设元方法，则共有辆车，该选项说法错误，不符合题意； C、按小安的设元方法，应列方程为，该选项说法错误，不符合题意； D、按小溪的设元方法，应列方程为，该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 8．C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设开始高度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设开始高度为， 根据题意得，， 故选：． 9．A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是仔细审题，充分理解题意，搞清楚题目中的等量关系．利用题目中的头的总数和脚的总数即可列出方程． 【详解】解：设兔有只，则鸡有只， 根据题意得：， 故选：A． 10．C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 通过幻方中每一行、每一列及对角线上的数字之和相等，建立方程求解出变量值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵ 幻方中每一行、每一列及对角线上的数字之和相等， 设公共和为 S． 第二行：， ∴． 第一列：， ∴， 解得； 主对角线：， ∴，即， 第二列：（为第三行第二列未知数）， ∴， 第三行：， ∴， ∴， 第三行：， 第三列：，设第一行第三列的数为， ∴， ∴， ∴另一对角线：， ∴，， ∴，，． ∴． 故选：C． 11． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12．46 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是利用人数不变找到等量关系列出方程． 根据题意利用人数不变，结合每人分七两，则剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤，得出方程即可． 【详解】解：设有x人，根据题意得： ， 解得：， ∴， 答：银子有46两． 故答案为：46 13．3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据图中的算筹，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴x表示的数为3． 故答案为：3． 14．2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由第三行和第二列上的数字和相等，可，解之即可． 【详解】解：根据题意，第三行和第二列上的数字和相等，则 解得， 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题得关键. 设太仓距上林里，利用时间路程速度，结合日往返次，即可得出关于的方程． 【详解】解：设太仓距上林里， 依题意得：． 故答案为：． 16．买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 17．60人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． 设妇人家中来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了只碗，列方程求解，即可得出结论． 【详解】解：设妇人家中来了位客人， 则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗， 依题意，得， 解得． 故妇人家中来了位客人． 18．(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先结合每人分9两，得出每人分银子总量，银子总量为，再列出方程，进行计算，即可作答． （2）理解题意，设有两银子，再列出方程，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意， 有关量 每人分7两 每人分9两 人数 分银子总量 银子总量 ∴， ∴， 解得， ∴ ∴有个人，有两银子． （2）解：设有两银子． 根据题意得 ∴ ∴ ∴ 则 ∴有个人，有两银子． 19．624个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题意，设寺里有x个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤” 可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗；根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量喝汤用碗的数量碗的总数，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设都来寺里有x个和尚，根据题意得． ． 答：都来寺里有624个和尚． 20．(1) ，， (2) 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程．熟练掌握列代数式，解一元一次方程是解题的关键． （1）根据人数，车数的关系列代数式和方程即可； （2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得车数为辆；由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得车数为辆；然后根据车辆数量相等列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为人； 由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为人； 根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为； 故答案为：； （2）解：设乙小组共有人， 依题意得，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $