精品解析：河南省南阳市内乡县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025年秋期期中九年级数学巩固与练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为尺，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 9. 如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A. 水平向右移动 B. 水平向左移动 C. 水平向右移动 D. 水平向左移动 10. 如图，已知：点，点B在的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转，点B恰好落在轴上位置；将线段沿轴向下平移个单位到的位置．则点的坐标是( ) A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 12. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，写出一个符合条件的方程是______． 13. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 15. 如图，已知中，，，，平分，将绕着点旋转后，点、的对应点分别记为、，如果点落在射线上，那么的长度为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为非负整数，且该方程的根都是有理数，求的值． 18. 已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F. （1）如果，，，求DE的长. （2）如果，，，求BE的长. 19. 如图，是直角三角形，，于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，求证：. 20. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 21. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 22. 如图，已知直线的表达式为，且直线与坐标轴分别相交于两点，动点从点开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时动点从点开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）点的坐标为______，的坐标为______； （2）当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ （3）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 23. 阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． （1）请参考例题解法，解下列方程： ； ． （2）已知一元二次方程，，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期期中九年级数学巩固与练习 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法运算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、和在实数范围内无定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 2. 已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定． 【详解】解：成立， ，， ，， 故①③正确，④不正确； ②当时，， 故②不正确； 故正确的有：2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，二次根式的性质，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决本题的关键． 3. 在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6． A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 4. 已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系是解题的关键． 利用一元二次方程的解及根与系数关系解答即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， 把代入可得：，即， ∴， 故选：B． 5. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得．设井深为尺，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，设AD交BE于K．利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，设AD交BE于K． ∵DK∥BC， ∴△EKD∽△EBC， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 6. 如图，电线杆与水平地面垂直，高度为h，两根拉线与相互垂直，点A，D，B在同一水平线上．若，则拉线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据同角的余角相等得，由知，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键． 【详解】∵， ∴， 在中， ∵， ∴， 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接、，是的中点，是的中点，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N，则∠ANB=90°， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 故选：C． 8. 如图，是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点，交DC的延长线于点，图中相似三角形有（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到 ， ， ，根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ ， ， ， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ∴， 则图中相似三角形有6对，它们分别是：，，， 故选：A． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 9. 如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　） A. 水平向右移动 B. 水平向左移动 C. 水平向右移动 D. 水平向左移动 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形，相似三角形的性质，过点作于点，延长交于点，由位似图形的性质可得，进而可得，即得，再根据相似三角形的性质可得，得到，再求出遮挡板水平移动后的长，进行比较即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， ∵和成位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴分别为和对应边上的高， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵像的长度变成的倍， ∴， 设， ∵物体和屏幕位置不变， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴可以将遮挡板水平向左移动， 故选：． 10. 如图，已知：点，点B在的正半轴上．将线段AB绕点A顺时针旋转，点B恰好落在轴上位置；将线段沿轴向下平移个单位到的位置．则点的坐标是( ) A. （，） B. （，） C. （，） D. （，） 【答案】C 【解析】 【分析】先得出，根据旋转的性质有：，，即可得，在中，有：，即有，可得，再根据平移即可作答． 【详解】∵， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∴在中，有：， ∴利用勾股定理可得：， ∴， ∵将线段沿轴向下平移个单位到， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形与坐标，旋转的性质、图形的平移，勾股定理以及含角的直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质、图形的平移，是解答本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列得，求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 12. 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，写出一个符合条件的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数，因式分解法解方程．根据根与系数的关系，理解题意，中的，符合，即可作答． 【详解】解：依题意，中的， ∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且， ∴符合题意， 即符合题意， 故答案为：． 13. 将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是___． 【答案】 【解析】 【详解】∵∠BAC=∠ACD=90°， ∴AB∥CD． ∴△ABE∽△DCE． ∴． ∵在Rt△ACB中∠B=45°， ∴AB=AC． ∵在RtACD中，∠D=30°， ∴． ∴． 故答案为 14. 如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过______落回地面．（结果保留小数后两位） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即，然后解方程求解即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键． 【详解】解：根据物体落回地面，可得， 解得：（舍去），， 因此物体经过落回地面， 故答案为：． 15. 如图，已知中，，，，平分，将绕着点旋转后，点、的对应点分别记为、，如果点落在射线上，那么的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据已知条件，设，利用角平分线的性质定理得到，由勾股定理列方程求出，从而得到，，的长度，画出绕着点旋转后的图形，过点作 ，证得，利用相似比求出的长度，进一步得到的长度，证得，利用相似比即可得出结论． 【详解】解：中，，，， ， 过点作 ， 设，则， 平分，， ， ， ． ， ， ， ，，． 画出绕着点旋转后的图形，如下所示，过点作 ， 平分， ． ， ． ， ． ， ， ， ， ， ，，． ，， ． ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算或解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的运算和解一元二次方程，熟练掌握实数的运算法则和一元二次方程的解法是解题的关键， （1）根据开平方，特殊三角函数值，零指数幂，负指数幂的运算法则计算即可得到答案； （2）先整理方程再利用公式法解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 整理得， ，，，， ∴， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为非负整数，且该方程的根都是有理数，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为0． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及有理数和无理根，解题的关键是牢记当时，方程有两个不相等的实数根和求根公式． （1）根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，解之即可得出的取值范围； （2）由为非负整数，且，可得出可以为0或1，再结合该方程的根都是有理数，即可确定的值． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 的取值范围为； 【小问2详解】 解：为非负整数，且， 可以为0或1， 当时，， 代入开方开的尽，此时方程的根都是有理数，符合题意； 当时，，代入开方开不尽，此时方程的根都是无理数，不符合题意； 的值为0． 18. 已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F. （1）如果，，，求DE的长. （2）如果，，，求BE的长. 【答案】（1）DE的长为9；（2）BE的长为11； 【解析】 【分析】（1）由果，，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴AC=AB+BC=14 ∵ ∴ ∴ (2)过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H. ∵ ∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形， ∴CH=BG=AD=9 ∴FH=CF-DH=5 ∵ ∴ ∴ ∴BE=BG+GE=9+2=11. 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 19. 如图，是直角三角形，，于点D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F，求证：. 【答案】 证明：∵E是直角△ACD斜边中点， ∴ED=EA， ∴∠A=∠ADE， 又∵∠ADE=∠BDF， ∴∠FDB=∠A， ∴∠FBD=∠FDC， 又∵∠F=∠F ∴△FBD∽△FDC ∴. 【解析】 【分析】由题意可得AE=ED，由等边对等角，可得∠A=∠ADE，易得∠FDB=∠A，即可得到∠FBD=∠FDC，则可证得△FBD∽△FDC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求解. 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质，解题的关键是发现相似三角形. 20. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，，试管倾斜角为．（，，．结果保留一位小数） （1）求试管口与铁杆的水平距离的长度； （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点，，，在一条直线上），经测得：，，求导气管的长度． 【答案】（1）试管口与铁杆的水平距离的长度为 （2）导气管的长度为 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题关键． （1）在中，根据即可求解； （2）过点作，交于点，则四边形是矩形，在中，求得，可得，在中，通过即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，， ， 即试管口与铁杆的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，交于点，则四边形是矩形， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 即导气管的长度为． 21. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 22. 如图，已知直线的表达式为，且直线与坐标轴分别相交于两点，动点从点开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点运动，同时动点从点开始在线段上以每秒5个单位长度的速度向点运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． （1）点的坐标为______，的坐标为______； （2）当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ （3）当为何值时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）， （2）1或 （3）当时，的面积最大，最大面积为6 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形综合题，主要考查了一次函数图象与坐标轴交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、二次函数的最值问题等知识，熟练掌握一次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键，要注意分类讨论思想的应用． （1）令，，分别求解即可． （2）先求出，得出，确定，然后分两种情况分析求解即可； （3）过Q作于H，根据相似三角形的判定和性质得出，，然后求三角形面积确定二次函数解析式，化为顶点式即可求解． 【小问1详解】 解：， 当时，， 当时，， 则点的坐标为：，点的坐标为：， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：在中， ， 由勾股定理得：， 根据题意可得． ∴， 第一种情况：当时，， 即， 解得：； 第二种情况：当时，， 即， 解得：． 故当为1或时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【小问3详解】 过Q作于H， ∴， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 解得：， 故的面积为： ∴当时，的面积最大，最大面积为6． 23. 阅读下面材料，然后解答问题： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程：，我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程降次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法． 解：设，则原方程换元为． ，解得：，， 或． 解得，，，． （1）请参考例题解法，解下列方程： ； ． （2）已知一元二次方程，，直接写出的值． 【答案】（1），；， （2）或或12 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法在解一元二次方程中的应用，正确理解题意，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①设，则原方程换元为，由此求解即可； ②设，则原方程换元为，由此求解即可； （2）设，则，设，则，求出的值，则，分为四种情况代入计算求解即可． 【小问1详解】 解：， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 解得，， ， 设，则原方程换元为， ， 解得（舍去），， ， 即， 解得，； 【小问2详解】 设，则， 原方程换元为， 解得，， 设，则， 原方程换元为， 解得，， 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 当，时， ； 综上，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $