精品解析：江苏省泰州市姜堰区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年秋学期期中学情调查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 正整数4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：正整数4的平方根是； 故选A． 2. 实数6，0，，中，最小的数是（ ） A. 6 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟知比较实数的大小比较方法是解题关键．通过比较各数大小，重点比较负数部分，负数中绝对值越大值越小． 【详解】解：∵，且负数比较：， ∴ 最小的数是， 故选：C． 3. 平面直角坐标系的下列各点中，在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断点所在象限，根据第二象限内点的符号特征，进行判断即可． 【详解】解：A、，符号特征为，在第一象限，不符合题意； B、，符号特征为，在第二象限，符合题意； C、，符号特征为，在第四象限，不符合题意； D、，符号特征为，在第三象限，不符合题意； 故选B． 4. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 5. 以下列线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形．依次计算各选项即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选B． 6. 若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断点所在象限，求出点在各个象限内时，的范围进行判断即可． 【详解】解：当，在第一象限时，且，解得；故A不符合题意； 当，在第二象限时，且，解得；故B不符合题意； 当，在第三象限时，且，无解；故C符合题意； 当，在第四象限时，且，解得；故D不符合题意； 故选C． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 直角三角形的斜边长为8，则斜边上的中线长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：直角三角形的斜边长为8， 斜边上的中线长， 故答案为：4． 8. 点到x轴的距离为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点到轴的距离，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的几何意义． 根据纵坐标的绝对值就是到轴的距离求解即可． 【详解】解：点到x轴的距离为， 故答案为：6． 9. 在中，，，则的度数为______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，两底角相等． 【详解】， ， ， ． 故答案是：． 10. －64的立方根是_______． 【答案】-4 【解析】 【分析】直接利用立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数进行求解． 【详解】解：根据立方根的意义，一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数， 可知-64的立方根为-4． 故答案为：-4． 【点睛】本题考查了立方根，解题的关键是掌握一个数的立方等于a，则a的立方根是这个数． 11. 等腰三角形的两边长分别是和，则周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论腰长，并应用三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：若腰长为，则底边为，，不满足三角形三边关系，故舍去． 若腰长为，则底边为，，满足三角形三边关系， 故周长为． 故答案为：26． 12. 如图，数轴上的点C所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，利用勾股定理求出的长，由作图可知，即可得出结果． 【详解】解：由作图和勾股定理，得：， ∵点表示的数为0，且点在点的左侧， ∴数轴上的点C所表示的数为； 故答案为：． 13. 已知，，那么a，b的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，根据立方根和平方根的定义，分别求出a和b的值，再比较大小即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 14. 小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 15. 三条直线两两相交有三个交点，到这三条直线距离都相等的点有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质，画图求解即可． 【详解】解：到三条直线的距离相等的点有4个，即三个内角的平分线的交点1个，相邻两个外角的平分线的交点有3个，如图： 故答案为：4． 16. 已知6个正数a，b，c，d，e，f满足：，，代数式的值记为m，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式的运用，利用二次根式的性质与完全平方公式的运用将式子进行适当变形求得最大值，当a，b，c和d，e，f成比例时，m最小，即，则有，根据，且，，可得，将k代入由此即可求得m的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， 当a，b，c和d，e，f成比例时，m最小， 此时，其中k是常数， ， ， ， ， 由于，且，，， 则， ， ， 则m的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． （1）正数集合：{ …} （2）整数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}； （4）平方不大于本身的数的集合：{ …}． 【答案】（1），，，，π （2），0， （3）（每两个1之间多增加1个0）， （4），0 【解析】 【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据正数的定义，进行作答即可； （2）根据整数分为正整数，负整数和0，进行作答即可； （3）根据无限不循环小数是无理数，进行作答即可； （4）根据平方不大于本身的数为大于等于0且小于等于1的数，进行判断即可． 【小问1详解】 解：，； 故正数集合：{，，，，π…}； 【小问2详解】 整数集合：{，0，…}； 【小问3详解】 无理数集合{ （每两个1之间多增加1个0），…} 【小问4详解】 平方不大于本身的数的集合：{，0…}． 18. 已知：如图，，点P是的中点，．求证：． 【答案】 证明：∵，点P是的中点， ∴． 又∵， ∴，． ∴，． 在中， ∵， ∴．即． 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，等边对等角，三角形的内角和定理，根据斜边上的中线，得到，等量代换得到，．根据等边对等角，结合三角形的内角和定理即可得出结果． 【详解】略． 19. 已知：，，． （1）当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） （2）当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） （3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】（1） （2）60 （3） 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 当时， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 【答案】（1） 证明：∵在中，，，， ∴． ∵， ， ∴， ∴是直角三角形，． （2）36 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，四边形的面积，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）先由勾股定理求出，进而根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得证； （2）根据四边形的面积等于与的面积之和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直角三角形，且， ∴； ∵在中，， ∴． ∴． 21. 如图，在中，，度，是的平分线，为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． （1）求证，； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，度， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定得是等边三角形，于是可得到，，，即可得到证明； （2）根据角平分线及全等三角形得到，结合等边三角形每个角都是即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边中，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形性质及全等三角形判定与性质，解题的关键是根据等边三角形性质得到角度加减从而得到角相等． 22. 小明与小红是学习伙伴，下面是他们学习中的讨论与交流内容，请你帮助他们解答相关问题． 小明：我发现课本第40页第7题只要几步就能证明，不需要用三角形全等的方法． 小红：噢，这一题讲的是：在等腰三角形中，如果底边上的一点到两腰的距离相等，那么这点一定是底边的中点． 请你根据小红的叙述画出图形，写出已知、求证，并完成证明．（图形画在答题纸相应的方框中） 已知： 求证： 证明： 【答案】 已知：如图，在中，，点D在上，于E，于F，且． 求证：点D是的中点（或）． 证明：连接，如图所示， ∵，，， ∴平分． 又∵， ∴（三线合一）．即D为的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，三线合一定理，先根据题意写出已知，求证的内容，并画出对应的图形，由角平分线的判定定理可证明平分，再由三线合一定理即可证明结论． 【详解】略 23. 小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数 我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【答案】 证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴． 由上式右边是3的倍数， ∴是3的倍数，分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设（p为正整数）， ∴． ∴． ∴． ∴是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 【解析】 【分析】本题考查了用反证法说明是无理数，假设不是无理数，那么是有理数，设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），证明m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾，故不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1），即可得证． 【详解】略 24. 小明：课本第页有一个“等角对等边”的定理，而第页有一个“大角对大边”，这两个结论都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系． 小红：是的，课本第页的勾股定理“在中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系． 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系．比如：当时，或当时，． 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例． 【答案】 解：正确，证明如下： 选，如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴ 选，如图，过点作于点， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，不等式的应用，选，过点作，交延长线于点，则，，则，然后通过不等式的性质即可求解；选，过点作于点，则，则，，所以，然后通过不等式的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】略 25. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2） 是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）当等于或或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 26. 结合小红和小明的对话，解决问题1和问题2． 小红：课本第28页在研究三角形全等的判定方法“”之前有一个尺规作图，所作的三角形可以和已知三角形完全重合（如图）． 如图，给定直角三角形，其中，简记为“”．用直尺和圆规作，使得，，．这两个三角形全等吗？ 下面是的作法： 小明：是的，课本第16页、19页、23页也都是这样． 小红：这样的作图与全等三角形的判定有什么联系呢？ 问题1：请你回答小红的问题，写一段你的想法． 小明：三角形中除了边之外，还有中线、角平分线、高等主要线段．我想：如果知道三角形中的这些线段中的几个，能不能作出该三角形呢？ 问题2：如图，已知线段a、b、c，根据要求用直尺和圆规作图．简要写出作图步骤，保留作图痕迹．（给出5小题，只要选择其中1小题作答，选择两题及以上作答的，按作图及步骤正确且得分高者计分；若图形有两解或多解，只需作出符合条件的一个图形即可） （1）作，使高，角平分线，； （2）作，使得高，中线，； （3）作，使得中线，，； （4）作，使得高，，； （5）作，使得，，． 【答案】 问题1：∵大边对大角， ∴两个直角三角形中，若它们的斜边相等，且其中一条直角边相等时，那么这条直角边所对的角也相等， ∴可根据全等三角形的判定定理证明这两个三角形全等； 因此要证明两个三角形全等，必须要确定三角形的边长以及内角的大小，即三角形的形状和大小要确定． 问题2：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求； （4）如图所示，即为所求； （5）如图所示，即为所求； 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，尺规作图—作三角形，作垂线，作线段等等，熟知相关知识是解题的关键． 问题1：根据大边对大角，可知在斜边相等的前提下，相等的直角边所对的角也会相等，据此可证明两个直角三角形全等；要想证明两个三角形全等，那么两个三角形的边长和内角的大小要确定，即三角形的形状和大小要确定； 问题2；（1）作射线，在射线上取一点D，过点D作，且使，以A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于B，以A为圆心，线段c的长为半径画弧交以E为圆心，线段的长为半径的圆于F，连接交射线于C，则即为所求； （2）作射线，在射线上取一点D，过点D作，且使，以A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于O，以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于B，以O为圆心，线段的长为半径画弧交射线于C，则即为所求； （3）作射线，在射线上截取，以A为圆心，线段b的长为半径画弧交以D为圆心，线段c的长为半径的圆于C，以点A为圆心，线段c的长为半径画弧交以D为圆心，线段b的长为半径的圆于B，连接，则即为所求（可证明得到，设交于H，可证明，则可证明为的中点）； （4）作射线，在射线上取一点D，过点D作，且使，以A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，以A为圆心，线段c的长为半径画弧交射线于B，则即为所求； （5）作射线，在射线上截取，以A为圆心，线段c的长为半径画弧交以C为圆心，线段a的长为半径的圆于B，连接，则即为所求． 【详解】解：问题1：略； 问题2：（1）略； （2）略； （3）略； （4）略； （5）略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期期中学情调查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 正整数4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 实数6，0，，中，最小的数是（ ） A. 6 B. 0 C. D. 3. 平面直角坐标系的下列各点中，在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 5. 以下列线段a，b，c的长为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 若点P坐标可表示为，其中m为任意实数，点P不可能在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 直角三角形的斜边长为8，则斜边上的中线长为______． 8. 点到x轴的距离为______． 9. 在中，，，则的度数为______． 10. －64的立方根是_______． 11. 等腰三角形的两边长分别是和，则周长为______． 12. 如图，数轴上的点C所表示的数为______． 13. 已知，，那么a，b的大小关系是______． 14. 小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想：______． 15. 三条直线两两相交有三个交点，到这三条直线距离都相等的点有______个． 16. 已知6个正数a，b，c，d，e，f满足：，，代数式的值记为m，则m的取值范围是______． 三、解答题（本大题共10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 把下列各数分别填入相应的集合里． ，，0，，，（每两个1之间多增加1个0），，，． （1）正数集合：{ …} （2）整数集合：{ …}； （3）无理数集合：{ …}； （4）平方不大于本身的数的集合：{ …}． 18. 已知：如图，，点P是的中点，．求证：． 19. 已知：，，． （1）当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） （2）当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） （3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 20. 如图，在中，，，，点D是外一点，连接，，且，． （1）求证：； （2）求四边形面积． 21. 如图，在中，，度，是的平分线，为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接． （1）求证，； （2）求的度数． 22. 小明与小红是学习伙伴，下面是他们学习中的讨论与交流内容，请你帮助他们解答相关问题． 小明：我发现课本第40页第7题只要几步就能证明，不需要用三角形全等的方法． 小红：噢，这一题讲的是：在等腰三角形中，如果底边上的一点到两腰的距离相等，那么这点一定是底边的中点． 请你根据小红的叙述画出图形，写出已知、求证，并完成证明．（图形画在答题纸相应的方框中） 已知： 求证： 证明： 23. 小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数 我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 24. 小明：课本第页有一个“等角对等边”的定理，而第页有一个“大角对大边”，这两个结论都反映在同一个三角形中边、角之间大小的对应关系． 小红：是的，课本第页的勾股定理“在中，若，则”也反映了三角形中角的大小与边之间的数量关系． 小明：我猜想，如果，三边平方之间也有某种关系．比如：当时，或当时，． 你认为小明的猜想是否正确？如果正确，请选择其中的一个加以证明；如果不正确，请举出反例． 25. 如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 26. 结合小红和小明的对话，解决问题1和问题2． 小红：课本第28页在研究三角形全等的判定方法“”之前有一个尺规作图，所作的三角形可以和已知三角形完全重合（如图）． 如图，给定直角三角形，其中，简记为“”．用直尺和圆规作，使得，，．这两个三角形全等吗？ 下面是的作法： 小明：是的，课本第16页、19页、23页也都是这样． 小红：这样的作图与全等三角形的判定有什么联系呢？ 问题1：请你回答小红的问题，写一段你的想法． 小明：三角形中除了边之外，还有中线、角平分线、高等主要线段．我想：如果知道三角形中的这些线段中的几个，能不能作出该三角形呢？ 问题2：如图，已知线段a、b、c，根据要求用直尺和圆规作图．简要写出作图步骤，保留作图痕迹．（给出5小题，只要选择其中1小题作答，选择两题及以上作答的，按作图及步骤正确且得分高者计分；若图形有两解或多解，只需作出符合条件的一个图形即可） （1）作，使高，角平分线，； （2）作，使得高，中线，； （3）作，使得中线，，； （4）作，使得高，，； （5）作，使得，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $