精品解析：福建省泉州市泉港区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季九年级期中教学素质联合拓展活动 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 8. 如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A B. C. D. 9. 如图，某校生物兴趣小组用长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了两个宽为1米的出入口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中，错误的是（ ） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则的值为2或； ③不论取何值，关于的方程都有两个实数根： ④若，则的值为． A. ①③④ B. ②③④ C. ①② D. ①③ 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为2，则实数的值是_____． 13. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 14. 已知满足，则的值为_____． 15. 如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____． 16. 如图，在边长为4的正方形中，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，记的最大值为，最小值为，则的值_____． 三、解答题．本题共9小题，共86分．在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，四边形四边形． （1）求的度数； （2）若，求长． 20. 列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．8月份投入资金30万元，10月份投入资金万元，已知每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率： （2）按照这个增长率，预计该商场11月份投入资金将达到多少万元？ 21. 设，是一元二次方程两个实数根， （1）根据一元二次方程的根与系数关系填空：_____，_____； （2）求代数式的值． 22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； （2）若，且均为正整数，求的值． 23. 如图，在菱形中，点、点分别在边、上，、的交点为点，且满足． （1）求证：； （2）求证：． 24. 我们知道：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，；反过来：如果，那么是一元二次方程的两个实数根． 请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知方程的两个实数根是，那么_____； （2）已知、满足，且，求的值； （3）已知、、满足，求正数的最小值． 25. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边上，、相交于点，连接，且，． （1）求证：； （2）若． ①求证：点是的中点； ②求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季九年级期中教学素质联合拓展活动 数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．在答题卡的相应位置内作答． 1. 下列根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式化简，先整理各个选项，如果化为最简二次根式后，被开方数相同，则为同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是二次根式，故与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式，即与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式，即与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式，即与是同类二次根式； 故选：D． 3. 下列计算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除的运算法则，据此运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是正确的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是错误的； 故选：B. 4. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 利用因式分解法求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：． 故选：D． 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值． 将所求分式拆分为两个分式之差，利用已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，得出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 详解】解：， ， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，无法判定，故本选项符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（ ） A. ①和② B. ③和④ C. ②和④ D. ①和④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．分别算出四个三角形的边长，然后根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④ 故选：D． 8. 如图，已知点、，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点作轴于点C，根据题意证明出，得到，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点作轴于点C， ∵、 ∴， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 9. 如图，某校生物兴趣小组用长为20米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了两个宽为1米的出入口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据篱笆的总长及的长，可得出的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵篱笆的总长为18米，的长为米， ∴的长为x米， 根据题意得：． 故选：C． 10. 下列说法中，错误的是（ ） ①把根号外的因式移入根号内的结果是； ②若是方程的解，则的值为2或； ③不论取何值，关于的方程都有两个实数根： ④若，则的值为． A. ①③④ B. ②③④ C. ①② D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、根式性质及比例性质，依次判断即可． 【详解】①∵ 中，根号内 ， ∴ ， 移因式时，， 故①错误； ②将 代入方程得 ， 解得 或 ， 当 时方程为一次方程， 但 仍为解， 故②正确； ③当 时，方程化为 ， 只有一个实数根，不是两个， 故③错误； ④设 ， 若 ，则 ， ∴ ， 若 ，则 ， 说法忽略 ， 故④错误； 综上，错误说法为①③④． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是解题关键．先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故答案：． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为2，则实数的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入原方程求解即可． 【详解】解：∵方程有一个根为2， ∴将代入方程，得， 即， ∴， 解得． 故答案为：． 13. 用配方法解方程，将方程变为的形式，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将一元二次方程转化为，确定出m和n的值即可求解． 【详解】解：方程， 移项得， 配方得， 即， 所以，， 则． 故答案为：． 14. 已知满足，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义及性质，以及简单的代数化简与求值，解题的关键在于被开方数的非负性来确定变量a的取值范围． 根据被开方数非负求得，进而代入原式求得，最后计算即可． 【详解】解：满足， ， 解得， ， ． 故答案为：． 15. 如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的周长为x， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的周长为． 故答案为：． 16. 如图，在边长为4的正方形中，、分别是边、上的动点，、分别是、的中点，记的最大值为，最小值为，则的值_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理以及三角形的中位线定理，连接，由勾股定理得，证明是的中位线得，由此得当点E与B、C重合时，取得最小值和最大值，计算即可． 【详解】解：连接， 在边长为4的正方形中，， ∵M、N分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点E与B、C重合时，取得最小值和最大值， ∴最大值为，最小值为， ∴． 故答案为：． 三、解答题．本题共9小题，共86分．在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先移项得，再利用因式分解法解方程． 【详解】解： ， ， 或， ． 19. 如图，四边形四边形． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）58° （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）根据四边形内角和算出∠D的度数，再根据相似多边形的性质即可求解； （2）根据相似多边形的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 解：在四边形中，， 则， 四边形四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形四边形， 又， ， 解得：． 20. 列方程（组）解应用题． 某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动．8月份投入资金30万元，10月份投入资金万元，已知每月投入资金的增长率相同． （1）求该商场投入资金的月平均增长率： （2）按照这个增长率，预计该商场11月份投入资金将达到多少万元？ 【答案】（1）商场投入资金的月平均增长率为10% （2）预计11月份投入资金将达到万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设该商场投入资金的月平均增长率为x，根据“8月份投入资金30万元，10月份投入资金万元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （2）根据（1）中求得的增长率，即可求得11月份投入资金． 【小问1详解】 解：设商场投入资金的月平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：商场投入资金的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：由题意得：（万元）． 答：预计11月份投入资金将达到万元． 21. 设，是一元二次方程的两个实数根， （1）根据一元二次方程的根与系数关系填空：_____，_____； （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是熟知：若，是一元二次方程的两个实数根时，有，． （1）直接利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可； （2）先根据一元二次方程解的定义得到，，再把已知条件展开后分组，提取公因式得到原式然后利用整体代入的方法计算即可解答． 【小问1详解】 由一元二次方程的根与系数的关系可知，，； 【小问2详解】 是的两个根， ，， 原式， ． 22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索： 设，（其中均为正整数） 则有． ． 这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，，得_____，_____； （2）若，且均为正整数，求的值． 【答案】（1），； （2）46或14. 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用． （1）根据示例作答即可； （2）根据示例得到，，根据题意得到或，计算即可． 【小问1详解】 解：若， 则有， ∴，， 故答案：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 均为正整数， 或， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的值为46或14． 23. 如图，在菱形中，点、点分别在边、上，、的交点为点，且满足． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了菱形的性质． （1）先根据菱形的性质得到，，再利用平行线的性质得到，，然后利用等量代换得到结论； （2）先证明得到，则，再利用代换得到，所以，根据相似三角形的性质，由得到，利用等量代换和比例性质得到，接着证明，根据相似三角形的性质得到，所以，则，然后利用等量代换得到结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ， ， 又， ． 【小问2详解】 证明：由（1）得， 又， ， ， ， 在菱形中，， ， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ．． ． 24. 我们知道：如果一元二次方程的两个实数根是，那么，；反过来：如果，那么是一元二次方程的两个实数根． 请根据以上结论，解决下列问题： （1）已知方程的两个实数根是，那么_____； （2）已知、满足，且，求的值； （3）已知、、满足，求正数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式． （1）一元二次方程的两个实数根是，那么，由此可直接得出答案； （2）由题意得出是方程的两个实数根，进而求出和的值，相加即可； （3）由，可得，进而可得是方程的两个实数根，由根的判别式得，结合是正数即可求解． 【小问1详解】 解：由题意知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：满足，且， 满足，且， 是方程的两个实数根， ， ， ． 【小问3详解】 解：， ， 是方程的两个实数根， ，即， 是正数， ， ， 正数的最小值是． 25. 如图，在四边形中，，点在边上，点在边上，、相交于点，连接，且，． （1）求证：； （2）若． ①求证：点是的中点； ②求边的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质以及比例的基本性质． （1）对进行变形，可得，再加上公共角，即可证明； （2）①延长，交于点，利用平行的条件证明，可推得，由（1）中结论，利用相似三角形的性质结合可推出，所以，即证点是的中点； ②先根据已知条件证明相关三角形相似，再利用相似三角形的性质和勾股定理来求解的长即可解答． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ； 小问2详解】 ①证明：延长，交于点， ， ， ， ， ，， 由， 得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 点是的中点； ②解：由①得， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， 过点作， 在Rt，Rt中，由勾股定理得： ， ， ， ， 而， 在Rt中，由勾股定理得， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $