3.3.2抛物线的简单几何性质导学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 学法指导 1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准 线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线． 2.抛物线中常见的几个结论： 已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．点F是抛物线的焦点(如图)． 则有 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p. (3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y轴相切． 3．应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便． (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线 斜率的关系． (3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率 法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． (4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、 定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值． 抛物线的简单几何性质 ： 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 知识点1 抛物线性质的应用 【例1】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C， 若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． 知识点二 直线与抛物线的位置关系 【例2】过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ 知识点三 中点弦及弦长公式 【例3】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 知识点四 抛物线的综合应用 【例4】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)， B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． 考点 直观想象-直线与抛物线相交问题 【例5】已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线 所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 一、选择题 1．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线 的倾斜角等于，那么等于( ) A． B． C． D．3 2．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作于点A，当（O为坐标原点）时，（ ） A． B． C．2 D．3 4．抛物线上的点到焦点的距离的最小值为（ ） A．3 B．6 C． D． 5．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（ ） A．1 B．2 C． D． 6．（多选题）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线， 切点分别为和，则（ ） A．点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 二、填空题 7．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________． 8．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的 中点为，则到轴的距离为______． 9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值为________. 3、 解答题 10. 已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l： y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线 段中点的横坐标为，且． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程． 12．已知动圆M与直线相切，且与圆外切，记动圆M的圆心轨迹为曲 线C. （1）求曲线C的方程； （2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），证明直线l 经过定点H，并求出H点的坐标. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学习，在坚持中成长！在成长中坚持！ 学法指导 1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准 线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线． 2.抛物线中常见的几个结论： 已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．点F是抛物线的焦点(如图)． 则有 (1)y1y2＝－p2，x1x2＝. (2)|AB|＝x1＋x2＋p. (3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切． (4)以焦半径为直径的圆与y轴相切． 3．应用抛物线性质解题的常用技巧 (1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便． (2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线 斜率的关系． (3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率 法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化． (4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、 定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值． 抛物线的简单几何性质 ： 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 y轴 顶点 (0,0) 离心率 e＝1 知识点1 抛物线性质的应用 【例1】如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程． 【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a， 由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，∵|AF|＝4，|AC|＝4＋3a， ∴2|AE|＝|AC|，∴4＋3a＝8，从而得a＝，∵BD∥FG，∴＝，p＝2.因此抛物线的方程是y2＝4x. 知识点二 直线与抛物线的位置关系 直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交． 设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0. ①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点； ②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点． 【例2】过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？ 【解析】　(1)当直线的斜率不存在时，直线x＝0，符合题意． 当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为y＝kx＋1，当k＝0时，直线l的方程为y＝1，满足直线与抛物线y2＝2x仅有一个公共点； 当k≠0时，将直线方程y＝kx＋1代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.由Δ＝0，得k＝，直线方程为y＝x＋1.故满足条件的直线有三条． 知识点三 中点弦及弦长公式 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p. 【例3】过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程． 【解析】法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝8x1，y＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． 又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)， 即＝4，∴kAB＝4. ∴AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0. 法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1. 联立消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标． 由根与系数的关系得y1＋y2＝. 又y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴AB所在直线的方程为4x－y－15＝0. 知识点四 抛物线的综合应用 【例4】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)求抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值． 【解析】　(1)由题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得22＝2p×1，解得p＝2， 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB，即＝－. 又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1＝，x2＝，从而有＝－，即＝－，得y1＋y2＝－4，故直线AB的斜率kAB＝＝＝－1. 考点 直观想象-直线与抛物线相交问题 【例5】已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程． 【解析】　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6， ∴x1＋x2＝6－p.① 由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝. ∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x. 当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x. 一、选择题 1．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于( ) A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示： 抛物线焦点为F，则，准线方程为， 直线的倾斜角等于，即， 而，所以， 由抛物线定义可知，因而， 作于，则，， 所以，所以在中，，故选：C. 2．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-， 因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2； 故选C． 3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作于点A，当（O为坐标原点）时，（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】 设l与y轴交于点B，在中，， 所以. 设，则，代入，于是，从而. 故选：. 4．抛物线上的点到焦点的距离的最小值为（ ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【解析】将抛物线方程化为标准形式得，因为，所以. 所以抛物线上的点到焦点的距离的最小值为. 故选：C 5．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，设线段的中点为， 分别过A，P，B三点作准线l的垂线， 垂足分别为，Q，，由题意得． 由得，所以抛物线的准线方程为， 又，∴，∴． 故选：D. 6．（多选题）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（ ） A．点坐标为 B．直线的方程为 C． D． 【答案】ABC 【解析】由得，，则焦点．， 其准线方程为，A正确； 设切线方程为，由得， 令，解得． ∴切点，因此直线的方程为，B正确； 又，． 从而，即，C正确； ，D错误． 故选：ABC． 二、填空题 7．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________． 【答案】8 【解析】由抛物线得， 所以焦点坐标为， 因为斜率为1， 所以过焦点的直线方程为， 由消去，得． 设该直线与抛物线的交点的坐标分别为， 则， 所以直线被抛物线截得的弦长为． 故答案为：8 8．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的中点为，则到轴的距离为______． 【答案】3 【解析】由抛物线方程可知， ，． 由线段的中点到轴的距离为， 故答案为3． 9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值为________. 【答案】－4 【解析】由抛物线y2＝2px(p＞0)，得其焦点坐标为. 设过焦点的弦AB所在直线方程为. 由消去x整理得. 所以y1y2＝－p2. 因为点A(x1，y1), B(x2，y2)在抛物线上， 所以， 所以． 故答案为－4． 3、 解答题 10. 已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B. (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝8，求k的值． 【解析】(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－， 由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2. 所以抛物线的方程为y2＝4x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0， ∴x1＋x2＝. ∵直线l经过抛物线C的焦点F， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8， 解得k＝±1，所以k的值为1或－1. 11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且． （Ⅰ）求抛物线的标准方程； （Ⅱ）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程． 【解析】（I）设点、，则线段中点横坐标为， ，又，解得. 因此，抛物线的标准方程为； （II）由（I）知，抛物线的焦点为， 故可设直线的方程为，，联立方程组，消去， 得，，解得， 因此，直线的方程为． 12．已知动圆M与直线相切，且与圆外切，记动圆M的圆心轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），证明直线l经过定点H，并求出H点的坐标. 【解析】（1）因为已知动圆与直线相切，且与圆外切， 所以动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等. ∴动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线. ∴曲线的方程. （2）∵直线l与曲线相交于A，B两点，∴直线l的斜率不为0. 设，，直线l的方程为. 由，消去，得. ∴，即. ∴，. ∵，∴. ∴. ∴，满足. ∴直线l的方程为. ∴直线l过定点H（6,0）. 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $