精品解析：安徽省宿州市2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

数学九年级（北师大版）卷二 试题卷 注意事项： 1．本试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．考试范围：第1~4.4章． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 如图，用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，则放大前后两个图形之间属于（ ） A. 轴对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的概念，解题的关键是掌握相关的概念，根据只改变图形大小，不改变形状的两个图形相似即可判断． 【详解】解：用放大镜将孙悟空的手绘图片放大，只改变了图形的大小，没有改变形状，两个图形之间属于相似变换， 故选：C． 2. 若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 3. 小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券，于是他们设计了一个“配紫色”游戏．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘都被分成面积相等的几个扇形．同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色．若配成紫色，则小颖去观看，否则小亮去观看，此规则（ ） A. 公平 B. 对小颖有利 C. 对小亮有利 D. 公平性不可预测 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列表饭计算概率，游戏公平性判断，掌握概率计算方法是解决问题的关键．先用列表法列出两个转盘转动的所有等可能结果，再分别计算小颖（配成紫色）和小亮（未配成紫色）对应的概率，比较概率大小判断规则是否公平． 【详解】解： 蓝 蓝 红 蓝 （蓝，蓝） （蓝，蓝） （蓝，红） 红 （红，蓝） （红，蓝） （红，红） 共有六种等可能性结果，其中能配成紫色的有三种，不能配成紫色的有三种， ∴， ∴规则公平． 故选：A． 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和一次函数的象限判断，将代入方程求出m的值，再判断直线不经过的象限即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得； 又∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴， ∴直线为， ∵， ∴直线经过第二、第三、第四象限，但不经过第一象限， 故选：A． 5. 明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 6. 小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，准确列式是解题的关键． 7. 如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 8. 如图，在中，，，，，是的两条高，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和相似三角形的判定和性质，运用勾股定理计算是解题的关键．设，根据勾股定理得到求出长，进而得到的长，证明，然后证明计算即可． 【详解】解：∵，，， 设，则， ∵是的两条高，即， ∴，即， 解得， ∴，， ∵，是的两条高， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在矩形中，，，点E是上一动点，在平面内将矩形沿折叠，使点D落在位置．若为直角三角形，则的长为（ ） A. B. 9或6 C. 9或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，分两种情况讨论：当或，再结合图形进一步求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， 当落在对角线上时， ，，， 设，则，， ∴， 解得：，即， 如图，当时， ∴， 同理可得：，， ∴四边形为正方形， ∴． 综上：当为直角三角形，则的长为或． 故选：C 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 10. 第届华中图书交易会于年月日至日在武汉国际会展中心举办．若小张随机从三个人口中选择一个进入，再随机从两个出口中选择一个离开，则小张从口进入，口离开的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率和树状图，画树状图后，得到所有可能的结果总数以及从口进入且从口离开的结果只有种，进而求概率． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，所有可能的结果总数为种， 其中，从口进入且从口离开的结果只有种， 根据概率公式，即：． 故答案为：． 11. 在实数范围内定义一种运算“®”，其规则为，例如，．根据这个规则，方程的解为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．根据新运算规则，将方程转化为关于的一元二次方程，然后利用直接开方法求解． 【详解】解：由运算规则 ，得： ， 即 或 解得或． 故答案为：或． 12. 如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛的高为8，则像的长为_________． 【答案】##4厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．通过证明三角形与三角形相似，利用相似三角形的性质，结合已知的线段比例和蜡烛高度，求出像的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 已知，， ∴， ∴， 故答案为： 13. 如图，在线段上取一点，分别以，为边，在的同侧作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，． （1）________． （2）线段的长度为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的边与角的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）利用菱形的性质，结合平行线的性质推导的度数； （2）先证为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线的性质求的长度． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∴， 故答案为： （2）连接，， ∵四边形是菱形，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． 故答案为： 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法进行计算，即可解答； （2）利用因式分解法进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： 或 ． 15. 如图，点O是的边上一点，连接，点D，E，F分别是，，的中点，连接，．求证： 【答案】 证明：∵点D，E，F分别是，，的中点， ∴，，， 即， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，三边对应成比例的两个三角形相似． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，分别是m和n． （1）求k的取值范围． （2）若，且为整数，求k的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，利用根的判别式求得k的取值范围是解题的关键，注意方程根的定义的运用． （1）根据根的判别式，可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围； （2）由根与系数的关系，用k表示出两根积、求两根和，由已知条件可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围，再求其值即可． 【小问1详解】 解：由题可得， 解得； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系可得，． 即，解得 由（1）可得 又为整数， 或． 17. 和均为等腰直角三角形． （1）如图1，当与重合时，_________． （2）如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，连接，第（1）问的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1） （2） 第（1）问的结论仍然成立，理由： ∵， ∴， 又∵和均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质易证，由题意得到，推出，进而得到，易证，即可解答． 【小问1详解】 解：∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 当与重合时，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：略． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满20分） 18. 如图，在正方形中，E是上一点，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交边于点F，求证：． 【答案】 证明：设交于点G， ∵在正方形中， ∴，， 由题意，， 在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故． 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，以及垂直的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用正方形性质证明，得到，进而推出，从而证明垂直． 【详解】略 19. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图1，将一条线段分割成长、短两条线段，若，则把这种分割叫作黄金分割，点P叫作线段的黄金分割点．如图2，在中，，，为的平分线． （1）求证：点D为的黄金分割点． （2）求的长． 【答案】（1） 解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 在和中： ，， ∴， 故， ∵， ∴， ∴点为����的黄金分割点； （2） 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据已知可证明，故，可证，所以，结合黄金分割的定义证明点是黄金分割点； （2）设， 利用黄金分割的比例关系建立方程，求解 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵，故， 由黄金分割的比例关系即： 即， ， ∵线段长度为正， ∴， 即． 六、（本题满分12分） 20. 复兴路中学计划成立五个课外兴趣小组（要求每名学生只能参加一个兴趣小组）：A．音乐；B．美术；C．篮球；D．阅读；E．棋类．为了了解学生对以上兴趣小组活动的参与情况，学校老师随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图、根据图中信息，完成下列问题： （1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）： ②扇形统计图中的圆心角的度数为________． （2）若该校有名学生，估计该校参加E组（棋类）的学生人数． （3）该学校从A组中挑选出了成绩优秀的两名男生和两名女生，计划从这四名同学中随机抽取两名同学参加市里举办的“中学生新年文艺汇演”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）① 如图： ② （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查统计图，用样本估计总体，用列表法求概率，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①先由B组人数及百分比求调查总数，再计算D组人数补全条形图；②用D组人数占比乘以 得圆心角 ； （2）先求样本中E组的比例，再乘以全校总人数即可； （3）用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：①B组对应百分比，得调查总数为： 人， D组人数为人； ② ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：参加E组的人数估计为： 人； 【小问3详解】 解： 男1 男2 女1 女2 男1 （男2，男1） （女1，男1） （女2，男1） 男2 （男1，男2） （女1，男2） （女2，男2） 女1 （男1，女1） （男2，女1） （女2，女1） 女2 （男1，女2） （男2，女2） （女1，女2） 共有种等可能性结果，其中恰好一男生一女生的有8种，故． 七、（本题满分12分） 21. 已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两个根的3倍． 解：设所求方程的根为，则， 把代入，得，化简得， 这种利用方程的代换求新方程的方法称为“换元法”．请按照这种方法解决下列问题． （1）已知方程的两个根分别为和，求一个关于的方程，使得它的两个根分别为：，，则所求方程为___________（要求写成二次项系数为1，且为一般形式）． （2）已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的两个根与已知方程的两个根互为倒数． （3）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，求关于的一元二次方程的两个实数根． 【答案】（1） （2）所求方程为 （3）关于的一元二次方程的两个实数根为 【解析】 【分析】本题主要考查了定义新运算，一元二次方程的计算，理解定义新运算的概念及计算，掌握解一元二次方程的方法是关键． （1）根据题意得到，结合题意的计算即可求解； （2）令方程的根为，设所求方程的根为，结合题意的计算即可求解； （3）根据题意变形得到关于的一元二次方程为，结合题意的计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的方程，两个根分别为：，， ∴， 关于的方程的两个根分别为和， ∴， 解得，， ∴所求方程为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令方程的根为，设所求方程的根为， ∴，则， ∴， 整理得，，即， ∴所求方程为； 【小问3详解】 解：关于的一元二次方程变形得， ， 由（2）可知，关于的一元二次方程与关于的一元二次方程的两根互为倒数， ∴与互为倒数或与互为倒数， ∴或， 解得，或， ∴关于的一元二次方程的两个实数根为． 八、（本题满分14分） 22. 新定义规定：“四边形内两条互相垂直的线段称为垂美线段”．如图1．四边形中，点E、F、G、H分别在边、、、上，且．则线段和叫做垂美线段． 某校数学兴趣小组对四边形内两条互相垂直的线段与两邻边的数量关系进行了探究发现问题： （1）如图2，E、F、G分别是正方形的边、、上的点，于H，则垂美线段与之间的数量关系是__（直接写出结论，不证明）； （2）如图3，在矩形中，，，点E，F，G分别在、，上，且，请探究垂美线段与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图4，学校校园内有一块形如四边形的场地，测得，量得米，，，且，点E、F分别在边、上，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， 理由如下： 如图3平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上， 则四边形是矩形． ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形是正方形，得出，过点F作于P，则四边形是矩形，得出，证明，即可得． （2）如图3，平移线段，使得点D与点G重合，点A的对应点H落在边上，则四边形是矩形．得出，，证明，得出，结合，，即可求出． （3）根据，得出，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，结合，，得出，设，则．求出．根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：． 理由：∵四边形是正方形， ∴， 过点F作于P， 则四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点D作，过点A作交于点H，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵， ∴， 化简得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴． 同（2）得：． 【点睛】该题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $