21.3圆的对称性（基础篇） 讲义 2025-2026学年北京版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦“圆的对称性”核心知识点，系统梳理圆的轴对称性（对称轴为过圆心直线）、中心对称性（对称中心为圆心及旋转不变性），并延伸至垂径定理、圆心角弧弦关系的应用，通过思维导图构建从概念到应用的学习支架。 资料以“30分提至70分”为目标分层设计，结合思维导图强化几何直观，练习题分类型且融入大摆锤、圆柱形容器等实际情境，培养推理意识与模型意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺。

21.3圆的对称性 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线，因此圆有无数条对称轴。任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，沿对称轴折叠圆，直线两旁的部分能够完全重合。 二、中心对称性 圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转后的图形都能与原来的图形重合，这种性质也称为圆的旋转不变性。 三、对称性的应用 （一）垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。此定理是圆的轴对称性的直接应用，通过对称轴（直径）将弦及其所对弧进行平分。 （二）圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。这一关系基于圆的旋转不变性，当圆心角相等时，旋转后可使相应的弧、弦完全重合。 型 习 练 题 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，半圆O是一个量角器，为一纸片，交半圆于点D，交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为，则的度数为（　　） A． B． C． D．60° 【答案】A 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．连结，根据题意得，由于，则，然后利用三角形外角性质得，即可求解； 【详解】解：连结，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A 2．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．根据角平分线的性质得出，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【详解】解：作的角平分线，交于E，连接、、、，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧 B．弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．平分弦的直径垂直这条弦 【答案】A 【分析】根据圆的相关定义和定理逐一判断，解答即可． 本题考查圆的基本概念，包括弧、弦、等弧和垂径定理，熟练掌握相关定理和定义是解题的关键． 【详解】解：A：∵半圆是圆上一条直径的两个端点分成的弧，∴半圆是弧，正确，符合题意； B：∵弦是连接圆上任意两点的线段，而直径是经过圆心的弦，∴弦不一定是直径，错误，不符合题意； C：∵等弧需在同圆或等圆中长度相等，∴仅长度相等不一定等弧，错误，不符合题意； D：∵垂径定理要求平分弦（非直径）的直径才垂直弦，∴若弦是直径，则不一定垂直，错误，不符合题意； 故选：A． 5．如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数，再根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 求圆弧的度数 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 【答案】A 【分析】本题考查圆中两条平行线间的距离，解题的关键是根据勾股定理分别求出两弦的弦心距，分两弦在圆的同侧和异侧进行讨论．由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当在点的两侧，作于M，延长交于N，连接， ，，， 则， ， ，， ， 此时弦与的距离为17； 当在点O的同侧，作于Q，交于P，连接， 同理，， ，， ， 此时弦与的距离为7， 弦与的距离为17或7． 故选：A． 7．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点E，延长交于点F，连接，由得到，利用垂径定理得到，，利用勾股定理求出，再分当在圆心同侧时，当在圆心两侧时求出答案． 【详解】解；如图所示，当平行弦，在圆心的同侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故EF． 如图所示，当平行弦，在圆心的异侧时， 过点作，垂足为，延长交于点，连接，， 则，． 在中，． 在中，． 故． 综上，，之间的距离为或， 故选：D． 8．如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 9．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂径定理求出长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案. 【详解】解： ，点是这段弧所在圆的圆心， ，， ，， ， . ，， . 设，则， 在中，， ， . ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所求弧长所对应的圆心角度数. 利用垂径定理求值 11．如图，在中弦，直径且分别交、于点、．下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，求出，根据垂径定理求出，，，，求出，再得出选项即可． 【详解】解：，， ， 过圆心， ，，，， ， ， 根据已知条件不能推出， 即正确的有①②③，共3个， 故选：C． 12．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，先根据的直径，，可得出的长及，确定，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， ∵圆的直径，， ，， ∵， ∴ ， ． 故选：B． 13．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理的应用是解题的关键．由，且点为的中点，可得，，设，则，然后通过勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，且点为的中点，， ，， 设，则， ， ， 解得， 大摆锤的长度为． 故选：C． 14．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据垂径定理可知． 【详解】解：如下图所示，连接， 球的半径为， ， ， ， ， ． 故选：D． 15．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过点O作，运用垂径定理，勾股定理进行列式计算，得，再结合是上的一动点，与交于点，进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，过点O作，交于一点，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是上的一动点，与交于点． ∴当时，即点与点重合时，则有最小值，且为， 故选：A 垂径定理的实际应用 16．如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理．过圆心O作交于点D，交于点C，连接，先利用垂径定理求出，进而在中利用勾股定理求出，再求出的长即可解答． 【详解】解：如图所示，过圆心O作交于点D，交于点C，连接， ， ， 在中，， ， ， 水的最大深度为． 故选：C． 17．如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，设拱门所在圆的半径为，则，，再进一步对运用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选A 18．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径定理求出弦长的一半，再利用勾股定理建立方程求解铁球的半径． 根据垂径定理可得，设铁球的半径为，则，，在中，根据勾股定理可得，解关于的方程即可求解． 【详解】如图，设交于点， ，， ， 设铁球的半径为，则， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， 在中， 根据勾股定理，可得， 即， 解得， 因此，铁球的半径是， 故选：． 19．一个圆柱形管件，其横截面如图，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，设的半径为R，先由垂径定理求出，再根据勾股定理求出R的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，设的半径为R，如图所示： 由题意知， 则， ∵于点C， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴此管件的直径为， 故选：D． 20．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 【答案】B 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接交于点，设灯罩截面所在圆的圆心为，连接，设灯罩截面所在圆的半径为,则由勾股定理可得，，据此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点， ∵都垂直于．， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴于点M， ∴， ∴， 设灯罩截面所在圆的圆心为，连接， 设灯罩截面所在圆的半径为,则 由勾股定理可得，， 即 解得 即灯罩截面所在圆的半径为 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3圆的对称性 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、轴对称性 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线，因此圆有无数条对称轴。任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，沿对称轴折叠圆，直线两旁的部分能够完全重合。 二、中心对称性 圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。把圆绕着圆心旋转任意一个角度，旋转后的图形都能与原来的图形重合，这种性质也称为圆的旋转不变性。 三、对称性的应用 （一）垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。此定理是圆的轴对称性的直接应用，通过对称轴（直径）将弦及其所对弧进行平分。 （二）圆心角、弧、弦的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。这一关系基于圆的旋转不变性，当圆心角相等时，旋转后可使相应的弧、弦完全重合。 型 习 练 题 利用弧、弦、圆心角的关系求解 1．如图，半圆O是一个量角器，为一纸片，交半圆于点D，交半圆于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为，则的度数为（　　） A． B． C． D．60° 2．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在同圆中，若，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 4．下列关于圆的说法中，正确的是（   ） A．半圆是弧 B．弦是直径 C．长度相等的两条弧是等弧 D．平分弦的直径垂直这条弦 5．如图，是的直径，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 求圆弧的度数 6．已知在⊙O中，半径，弦，且，，则与的距离为（     ）． A．7或17 B．7 C．7或12 D．12 7．已知的半径为，弦，，，则，之间的距离为（    ） A． B． C． D．或 8．如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 9．已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）    A． B． C． D． 利用垂径定理求值 11．如图，在中弦，直径且分别交、于点、．下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．如图，的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为（   ） A． B． C． D． 13．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 14．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为4cm，瓶内液体超过一半，最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A． B． C． D． 15．如图，是上的一动点，与交于点．若，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 垂径定理的实际应用 16．如图，往半径为的圆柱形容器内注入一些水以后，若水面宽，则水的最大深度为（    ） A． B． C． D． 17．如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，则拱门所在圆的半径为（    ） A． B． C． D． 18．小明为了测量铁球的半径，将铁球放入如图所示的工件槽内，并测得，（点，均在上），铁球的半径，则铁球的半径是（    ） A． B． C． D． 19．一个圆柱形管件，其横截面如图，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的最大深度为，则此管件的直径为（    ） A． B． C． D． 20．图1是一个球形灯罩，图2是球形灯罩的平面示意图，过顶点的直线经过圆心，且垂直底座于点，点A，B在圆上，都垂直于．已知，，，则灯罩截面所在圆的半径为（    ） A．15.5cm B．15.6cm C．15.7cm D．15.8cm 学科网（北京）股份有限公司 $