精品解析：广西壮族自治区崇左市凭祥市 2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季学期期中教学质量检测 九年级数学 (全卷满分120分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡纸上． 2．答题全部在答题卡纸上完成，试卷上答题无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡交回． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．) 1. 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. C. D. 2. 若函数是二次函数，则有（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 5. 已知反比例函数，下列结论中，错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 关于x轴对称 6. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 将二次函数化成的形式是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（ ） A. B. C. D. 11. 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 12. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，在中，，，，，则________． 14. 二次函数的对称轴为直线_______． 15. 如图是抛物线的部分图像，对称轴为直线，图像与轴一个交点为，图像与轴的另一个交点坐标为___________． 16. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，已知，求长． 18. 已知抛物线． （1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 19. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 20. 小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． （1）写出M、C、N、F四个点的坐标； （2）求出抛物线的表达式； （3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 21. 如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 22. 综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 （1）设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与与之间的函数表达式； 任务2 （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 23. 如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式. （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期中教学质量检测 九年级数学 (全卷满分120分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡纸上． 2．答题全部在答题卡纸上完成，试卷上答题无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡交回． 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．) 1. 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段a、b、c、d，且满足，则这四条线段成比例”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； B、因为，所以，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； C、因为，所以，所以这四条线段成比例，故符合题意； D、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选C． 2. 若函数是二次函数，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据二次函数的定义解答即可．本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得． 故选：B． 3. 将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为，即， 故选：A． 4. 对二次函数的图象下列叙述正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为 C. 当时随增大而增大 D. 最小值是4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数顶点式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数顶点式的性质分析各选项。顶点坐标为，对称轴为，开口方向由a的正负决定。当时，开口向上，有最小值k，且在对称轴右侧y随x增大而增大． 【详解】解：函数为， 故顶点坐标为，选项A的顶点坐标错误， 对称轴为，选项B中“”错误． ，开口向上，当时，y随x增大而增大，选项C正确． 开口向上时最小值为，选项D中“最小值是4”错误． 故选：C． 5. 已知反比例函数，下列结论中，错误的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象位于第一、三象限 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 关于x轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键． 利用反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．当时，，该选项正确，不符合题意； B． 由得，其图象位于第一、三象限，该选项正确，不符合题意； C． 由得，当时，y随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意； D． 反比例函数关于原点对称，该选项错误，符合题意． 故选D． 6. 若，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大，据此判断即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：． 7. 将二次函数化成的形式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法整理即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 8. 如图所示的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图可得，图象过，可设抛物线解析式为. 由图可知，对称轴为直线，可确定顶点坐标为. 将顶点坐标代入方程，从而求得a的值，得到解析式. 【详解】解：由图可知：设抛物线解析式为. 代入顶点坐标得：. . 所以抛物线方程为：. 故选：D. 【点睛】本题考查了二次函数图象性质及二次函数表达式的求解. 9. 如图，是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，则这个反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是掌握反比例函数（为常数，）中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为．设点的坐标为，因为点在反比例函数上，所以，由图可知，阴影部分矩形的面积为，又因为反比例函数的图象在第二、四象限，所以，则，所以反比例函数的解析式为． 【详解】解：设点坐标为，因为点在第二象限， ，所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为， 又由， ， ， ， 这个反比例函数的解析式为． 故选：B． 10. 为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 11. 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 12. 如图所示的是二次函数的部分图像，图像过点且对称轴为直线．下列四个结论：①；②；③；④对于任意实数都成立，其中正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据图示，由二次函数图象得到：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴，由此得到系数之间的关系，逐一判定即可． 【详解】解：二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与x轴有两个交点，与y轴交于负半轴， ∴，对称轴直线， ∴， ∴，故①正确； ∵图像过点且对称轴为直线， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∴当时，，即，故②错误； 当时，，即， 又， ∴，故③错误； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，二次函数有最小值，即， ∴对于任意实数，都成立， ∴对于任意实数，都成立，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共2个， 故选：B ． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 如图，在中，，，，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，学生能否运用定理进行推理和计算是解题的关键． 求出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入得出，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 14. 二次函数的对称轴为直线_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据对称轴公式解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线． 故答案为：． 15. 如图是抛物线的部分图像，对称轴为直线，图像与轴一个交点为，图像与轴的另一个交点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的对称性．熟练掌握抛物线关于对称轴对称，是解题的关键． 根据抛物线的对称性进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图像与轴一个交点为， ∴图像与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 16. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，得，，，并设其面积分别为，，，以此类推，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，连接，，，根据题意可得，又，则有，，，，从而可得，正确作出辅助线，利用反比例函数系数的几何意义求解是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， ∵，，，是反比例函数的图象上的点，都垂直于轴， ∴， ∵， ∴，，， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 如图，已知，求长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， 解得BD． 18. 已知抛物线． （1）求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）取何值时，随的增大而增大？取何值时，随的增大而减小？ 【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 （2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，把二次函数化为顶点式是关键． （1）把二次函数化为顶点式并根据即可得到答案； （2）根据二次函数的增减性即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴是顶点坐标为 【小问2详解】 解：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 19. 如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点和点 （1）求反比例函数表达式和一次函数表达式； （2）求的面积； （3）直接写出时，的取值范围． 【答案】（1）反比例函数表达式和一次函数表达式． （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，坐标与图形面积，利用函数图象解不等式；熟练的利用数形结合的思想解题是关键． （1）将A点坐标代入反比例函数可得反比例函数解析式，再求解B的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）令直线与x轴的交点为M．由，再计算即可； （3）直接利用函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数， 将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴， 将点，分别代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数； 答：反比例函数表达式和一次函数表达式． 【小问2详解】 令直线交x轴于点M，如图 将代入，得 ， 解得， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 由图像及，，可知，当或时，． 20. 小宇遇到了这样一个问题： 如图是一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4m，最高处到地面的距离为4m，两侧墙高和均为3m，今有宽的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于，点是卡车右边边缘线与地面的交点，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m） 为解决这个问题，小宇以中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为． （1）写出M、C、N、F四个点的坐标； （2）求出抛物线的表达式； （3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题． 【答案】（1） （2）抛物线的表达式为 （3）卡车载物后的限高应是 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求函数解析式，合理分析图象信息是解题的关键． （1），，即可推出和的坐标，可得到的坐标；由，即可求得的坐标，根据卡车宽求出点F的坐标； （2）利用待定系数法运算求解即可； （3）根据卡车的宽度，求出隧道的高度，即可推出卡车载物后的限高应是多少米． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，点与点关于对称， ∴点的坐标为：，点的坐标为：， ∴， ∵， ∴； ∵卡车宽为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为：，把，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 ∵卡车宽为米， ∴时的高度为：， ∵到隧道顶面对应的点的距离应不小于米， ∴的最大高度为， ∴卡车载物后的限高应是米． 21. 如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． （3）当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； （2）不能围成一个面积为的羊圈； （3）为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （2）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 解得：，， 答：能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； 【小问2详解】 解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不能围成一个面积为的羊圈， 答：不能围成一个面积为的羊圈； 【小问3详解】 解：设面积为，由题意可得， ， ∵， ∴当时，最大，， ∴为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 22. 综合与实践：根据素材回答问题． 茶叶的销售问题 背景 黄山毛峰是中国十大名茶之一，属于绿茶．产于安徽省黄山（徽州）一带，所以又称徽茶．由清代光绪年间谢裕大茶庄所创制．每年清明谷雨，选摘良种茶树“黄山种”、“黄山大叶种”等的初展肥壮嫩芽，手工炒制，该茶外形微卷，状似雀舌，绿中泛黄，银毫显露，且带有金黄色鱼叶（俗称黄金片）． 素材1 某茶叶公司经销黄山毛峰茶叶，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，但不高于100元， 素材2 经调查发现，其日销售量（千克）与售价（元/千克）之间的函数关系如图所示． 任务1 （1）设该茶叶的日销售利润为元，分别求出与与之间的函数表达式； 任务2 （2）若该茶叶的日销量不低于80千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元； 任务3 （3）若公司想获得不低于1000元的日利润，求售价的取值范围． 【答案】任务1：，；任务2：80元，1600元；任务3：． 【解析】 【分析】任务1：理解题意，设，再把，分别代入计算，得，根据每千克成本为60元，茶叶的日销售利润为w元，进行列式得，即可作答． 任务2：根据该茶叶的日销量不低于80千克，每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本，得出，由，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 任务3：根据公司想获得不低于1000元的日利润，令，解得，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：任务1：设， 将，代入， 得 解得， ， ∵每千克成本为60元， ∴ ； 任务2：∵该茶叶的日销量不低于80千克，且由任务1得出， ， 解得． ∵每千克成本为60元，规定每千克售价需超过成本， 又， 得， ， 由任务1得出 ， ∴开口方向向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ∵， 当时，． 答：当售价为80元时，每天获利最大，最大利润为1600元； 任务3：依题意，令， 解得． ∵，且 ∴开口向下， 由图象可知，当时，， 售价不高于100元， 售价范围为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，一元一次不等式的应用，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 如图，抛物线的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线经过B，C两点． （1）求抛物线的解析式. （2）点P为抛物线第一象限上的一动点，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点M，使的周长最短？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，点P的坐标 （3）存在， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的综合及其性质，待定系数法求函数解析式，函数图象中三角形最大面积，轴对称的性质等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． （1）利用一次函数解析式求出点坐标，然后利用待定系数法进行求解即可； （2）过点作轴，交于点，假设，则，利用面积公式表示出，根据二次函数的性质进行求解即可； （3）利用轴对称确定点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接，求出对称轴和点坐标，假设直线的解析式为，利用待定系数法求出解析式，即可求出点坐标． 【小问1详解】 解：直线经过B，C两点．当时，， ∴， 当时，，， ∴， 将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴，交于点， 假设，则， ∴， ， ∵该二次函数的， ∴抛物线开口向下，顶点为最高点，顶点纵坐标为最大值， 顶点横坐标为，， ∴当时，最大，最大值为， ∴ 所以，面积的最大值为，点P的坐标； 【小问3详解】 解：存在，，理由如下： 如图所示，点关于对称轴的对称点为点，连接，交对称轴于点，连接， 此时，，长为定值，的周长最短， 根据对称轴的公式得，， ∴， 假设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴， 当时，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $