分式的化简求值、分式方程解决销售问题、以分式为背景的探究类问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

分式的化简求值、分式方程解决销售问题、以分式为背景的探究类问题专项训练 分式的化简求值、分式方程解决销售问题、以分式为背景的探究类问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 分式方程解决销售问题 以分式为背景的探究类问题 考点一 分式的化简求值 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 将代入得， 所以化简式为，值为． 例2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值：其中 【答案】，5 【详解】解： ， 当时，原式． 例3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知：，求代数式的值． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 例4．（25-26八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中是从，0，1，2，4中选取的一个适当的数． 【答案】， 【详解】解：原式 ， ，，，， ，1，0，2， ． 当时，原式． 例5．（25-26八年级上·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 把代入得：原式． 变式1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）先化简再求值：．其中从，，中任取一个合适的值． 【答案】，取，原式． 【详解】解： ； 由原式有意义得且， ∴且， 取， 原式 ． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时，， 故答案为：，． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）化简求值： (1)先化简，再求值：，其中； (2)先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 【答案】(1)； (2)；时，原式值为 【详解】（1）解： 当时，原式． （2）解： 由分式有意义的条件得，，选取，原式． 变式4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）当x取3时，先化简，再求分式 的值． 【答案】，5 【详解】解：        当时， 原式. 变式5．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 【答案】；当时，原式，当时，原式． 【详解】原式 ， ， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组解集为， ∵原分式有意义， ∴，1，0， ∴当时，原式，当时，原式． 考点二 分式方程解决销售问题 例1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【详解】（1）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时购买圆珠笔的数量为（支）， ∵购买圆珠笔的数量为整数， ∴不符合题意， ∴淇淇说嘉嘉搞错了； （2）解：由题意可知，每支中性笔的价格为元． 由题意得， 解得， ∵中性笔和圆珠笔的单价均为整数，m为整数，且， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故整数m的值为3． 例2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，③ (2)甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元，过程见解析 【详解】（1）解：由题意得，解法一中x表示甲种商品每件进价x元， 解法二中x表示甲种商品购进x件， 故答案为：①，③； （2）解：解法一，设甲种商品每件进价x元，则乙种商品每件进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元； 解法二，设甲种商品购进x件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元． 例3．（25-26九年级上·重庆·期中）某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元． (1)求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？ (2)该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了元，猫粮的进价每袋降低了元．若用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，求的值． 【答案】(1)每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元 (2) 【详解】（1）解：设每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是元和元， 由题意，得：， 解得； 答：每袋狗粮的进价为80元，每袋猫粮的进价为50元； （2）解：由题意，得， 解得； 经检验，是原方程的解， 故． 例4．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 【答案】(1)每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元 (2)a的值为 【详解】（1）解：设每本“状元书历”的售价为元，每个“二五手环”的售价为元， 根据题意，得， 解得：， 答：每本“状元书历”的售价为9元，每个“二五手环”的售价为3元； （2）解：降价后，书历单价为元，手环单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，当时，，即是分式方程的解， 答：的值为． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 变式2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）湘潭河西地下商城某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． (1)甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件? (2)两种恤衫很受顾客欢迎，因此该服装店计划用不超过元的资金再次购进甲、乙两种款式时尚恤衫共件．已知两种时尚恤衫的进价不变，求甲种款式时尚恤衫至少购进多少件? 【答案】(1)甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件 (2)件 【详解】（1）解：设乙种款式恤衫购进件，则甲种款式恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种款式恤衫购进件，乙种款式恤衫购进件； （2）解：由（）可得，乙种款式恤衫的进价为元， ∴甲种款式恤衫的进价为元， 设甲种款式时尚恤衫购进件，则乙种款式时尚恤衫购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种款式时尚恤衫至少购进件． 变式3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机的训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量． 【答案】(1)型无人机模型的单价是2400元，型无人机模型的单价是1600元 (2)航模小组购买型无人机模型的数量是5台 【详解】（1）解：设型无人机模型的单价是元，则型无人机模型的单价是元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 故型无人机模型的单价是2400元，型无人机模型的单价是1600元； （2）解：设航模小组购买A型无人机模型的数量为台，则航模小组购买型无人机模型的数量为台， 由题意可得：， 解得：， ∴航模小组购买型无人机模型的数量是5台． 变式4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购进甲种奖品与用200元购进乙种奖品的数量相同． (1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件； (2)该班计划购进甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品的数量不多于12件，同时此次购买的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案，请写出所有的购买方案． 【答案】(1)甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元 (2)该班共有3种购买方案，购买方案分别为甲10件，乙10件；甲11件，乙9件；甲12件，乙8件 【详解】（1）解：设甲种奖品单价为x元／件，则乙种奖品的单价为元／件，由题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：甲种奖品每件30元，乙种奖品每件50元． （2）解：设购买甲种奖品a件，则购买乙种奖品件，由题意得： ， 解得：， 又因为a是整数，所以， 所以该班共有3种购买方案，购买方案分别为甲10件，乙10件；甲11件，乙9件；甲12件，乙8件． 考点三 以分式为背景的探究类问题 例1．（25-26八年级上·北京·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解： ，是和谐分式， ，不是和谐分式， ，是和谐分式． 故答案为：． （2）解：， ． 故答案为：，． （3）解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或． 例2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______， 得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 系数化为1，得…第四步 ①第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． （2）解分式方程： 【答案】（1）①，去分母，等式的基本性质；②检验；理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验；（2） 【详解】解：（1）①第一步中横线处应填，这一步的目的是去分母，其依据是等式的基本性质； 故答案为：，去分母，等式的基本性质； ②检验：当时，， 是原方程的增根，原方程无解． 理由：因为分式方程可能产生增根，所以分式方程必须检验； （2）， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是原方程的解． 例3．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 例4．（25-26八年级上·广西桂林·期中）如图，下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 …………第六步 (1)在上述化简过程中，第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请写出该分式化简的正确过程． 【答案】(1)三；通分时，分子的第二项漏乘 (2) 【详解】（1）解：在化简过程中，第三步开始出错，错误原因是：通分时，分子的第二项漏乘． 故答案为：三；通分时，分子的第二项漏乘． （2）解：原式 变式1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）你见过“约去指数”的约分吗？如：，，…． (1)观察并仿写出一个类似的式子：_____； (2)请你用只含有字母、的式子表示上述猜想； (3)试证明（2）中的猜想．[提示：] 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)见解析 【详解】（1）解：类似的式子可以是：， 故答案为：（答案不唯一）． （2） （3）解： ． 变式2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 【答案】(1)①③④ (2)①② (3)0，2，3 【详解】（1）解：∵， ∴属于“和谐分式”， 故①符合； 不属于“和谐分式”， 故②不符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故③符合； ∵， ∴属于“和谐分式”， 故④符合； 综上所述，①③④属于“和谐分式”， 故答案为：①③④； （2）① ； ② ； （3） ∵， ∴，解得：且， ∵为整数，分式的值为整数， ∴的值为整数， 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ， 此时，符合； 当时， ，原分式的分母为0，无意义，不符合， 综上所述，使分式的值为整数的的值为0，2，3． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 【答案】（1）①③；（2）；（3）2,4 【详解】（1）根据定义得：①③ 故答案为：①③ （2）．     （3）     ∵分式的值为整数， ∴ ∴ 故答案为：. 变式4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】(1)3； (2) (3)12 【详解】（1）解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式的化简求值、分式方程解决销售问题、以分式为背景的探究类问题专项训练 分式的化简求值、分式方程解决销售问题、以分式为背景的探究类问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 分式方程解决销售问题 以分式为背景的探究类问题 考点一 分式的化简求值 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 例2．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）先化简，再求值：其中 例3．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知：，求代数式的值． 例4．（25-26八年级上·广西桂林·期中）先化简，再求值：，其中是从，0，1，2，4中选取的一个适当的数． 例5．（25-26八年级上·山东聊城·期中）先化简，再求值：，其中． 变式1．（25-26八年级上·湖南常德·期中）先化简再求值：．其中从，，中任取一个合适的值． 变式2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）化简求值： (1)先化简，再求值：，其中； (2)先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值． 变式4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）当x取3时，先化简，再求分式 的值． 变式5．（25-26九年级上·重庆·期中）先化简：，再从不等式组的解集中选一个合适的整数代入求值． 考点二 分式方程解决销售问题 例1．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）嘉嘉去文具店帮同学买笔，回来后和淇淇的对话如下． 嘉嘉 我买了相同数量的中性笔和圆珠笔，分别花去了21元和12元，每支中性笔比圆珠笔贵1.2元 淇淇 你肯定搞错了 设每支圆珠笔的价格为x 元． (1)请你通过计算分析，淇淇为什么说嘉嘉搞错了． (2)嘉嘉核实账单后，发现中性笔和圆珠笔的单价均为整数，每支中性笔与圆珠笔的差值算错了，其他都正确．若每支中性笔比圆珠笔贵元，求出整数m的值． 例2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价 (1)解法一所列方程中的x表示 （填序号），解法二所列方程中的x表示 （填序号）； ①甲种商品每件进价x元；②乙种商品每件进价x元；③甲种商品购进x件． (2)请你选择其中的一种解法，写出完整的解答过程． 例3．（25-26九年级上·重庆·期中）某宠物用品店计划购进狗粮和猫粮两种主食，满足顾客喂养需要，已知购进2袋狗粮和3袋猫粮的总费用为310元，购进4袋狗粮和1袋猫粮的总费用为370元． (1)求每袋狗粮和每袋猫粮的进价分别是多少元？ (2)该店优化采购渠道后，狗粮的进价每袋降低了元，猫粮的进价每袋降低了元．若用240元购进狗粮的数量与用160元购进猫粮的数量相同，求的值． 例4．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）列方程解以下问题： “书山有路勤为径，学海无涯苦作舟”，某校在初三励志活动中准备向商家订购一批文创产品，其中包括“状元书历”和“二五手环”．若购买3本“状元书历”和4个“二五手环”需花费39元，购买4本“状元书历”和3个“二五手环”需花费45元． (1)请问每本“状元书历”和每个“二五手环”的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定降价酬宾，其中“状元书历”的售价降低元，“二五手环”的售价降低a元．经测算，学校花5400元购进“状元书历”的数量比花2050元购进“二五手环”的数量还少100个，求出a的值． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 变式2．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）湘潭河西地下商城某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚恤衫，甲种款式共用了元，乙种款式共用了元，甲种款式的件数是乙种款式件数的倍，甲种款式每件进价比乙种款式每件进价少元． (1)甲、乙两种款式的恤衫各购进了多少件? (2)两种恤衫很受顾客欢迎，因此该服装店计划用不超过元的资金再次购进甲、乙两种款式时尚恤衫共件．已知两种时尚恤衫的进价不变，求甲种款式时尚恤衫至少购进多少件? 变式3．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某校积极发展航模特色社团，为了让航模小组能更好地完成无人机的训练、参赛任务，现需购买A、B两种新款无人机模型，已知A型无人机模型的单价比B型贵800元；用12000元购买A型无人机模型的数量与用8000元购买B型无人机模型的数量相同． (1)求A型和B型无人机模型的单价各是多少元？ (2)若航模小组购买A、B两种新款无人机模型共10台，共用资金20000元，求航模小组购买A型无人机模型的数量． 变式4．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为了鼓励在秋季运动会期间表现积极的学生，八年级某班决定购买甲、乙两种奖品作为奖励．已知购买一件甲种奖品与一件乙种奖品共需80元，用120元购进甲种奖品与用200元购进乙种奖品的数量相同． (1)求甲、乙两种奖品的单价分别为多少元每件； (2)该班计划购进甲、乙两种奖品共20件，其中甲种奖品的数量不多于12件，同时此次购买的总资金不超过800元，求该班共有哪几种购买方案，请写出所有的购买方案． 考点三 以分式为背景的探究类问题 例1．（25-26八年级上·北京·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 例2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）（1）下面是小颖同学解分式方程的过程．请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同乘______， 得…第一步 去括号，得…第二步 移项、合并同类项，得…第三步 系数化为1，得…第四步 ①第一步中横线处应填______，这一步的目的是______，其依据是______； ②小颖在反思上述解答过程时发现缺少了一步．请你写出这一步，并说明这一步不能缺少的理由． （2）解分式方程： 例3．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 例4．（25-26八年级上·广西桂林·期中）如图，下面是小康同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解决问题． 化简：． 解：原式…………第一步 …………第二步 …………第三步 …………第四步 …………第五步 …………第六步 (1)在上述化简过程中，第______步开始出错，错误的原因是______； (2)请写出该分式化简的正确过程． 变式1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）你见过“约去指数”的约分吗？如：，，…． (1)观察并仿写出一个类似的式子：_____； (2)请你用只含有字母、的式子表示上述猜想； (3)试证明（2）中的猜想．[提示：] 变式2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）阅读材料： 在小学数学中我们知道，假分数可以化成带分数，例如：； 类似的，在分式中也可以将一些分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式，我们称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是和谐分式． 请根据以上阅读，解答下列问题： (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； ①    ②    ③    ④ (2)分别将下列分式写成整式与分子为有理数的分式的和的形式： ①    ②； (3)若为整数，求使分式的值为整数的的值． 变式3．（25-26八年级上·山东青岛·期中）【阅读理解】 在分式中，分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如， ． 【掌握知识】 （1）下列式子中，属于真分式的是___________（填序号）； ①；②；③；④． （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和． 【应用知识】 （3）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数___________． 变式4．（25-26八年级上·湖南永州·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $