第18章 分式：分式的化简求值、整数指数幂、以分式运算为背景的探究类问题专项训练-2025-2026学年人教版八年级数学上册

分式：分式的化简求值、整数指数幂、以分式运算为背景的探究类问题专项训练 分式：分式的化简求值、整数指数幂、以分式运算为背景的探究类问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 整数指数幂 以分式运算为背景的探究类问题 考点一 分式的化简求值 例1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 【答案】，，2 【详解】解： ， ， ∵且， ∴且， ∴选，则原式． 例2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解： ， 当时，原式． 例3．（2025·江西抚州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时，原式= ． 例4．（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解：原式 当 时，原式． 例5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【详解】解： ， 把代入，得． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 变式2．（25-26八年级上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 【答案】（1）；（2），当时，原式 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵，，， ∴，， ，且x为整数， 当时，原式． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【详解】解： ， 当时， 原式． 变式4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 变式5．（25-26九年级上·重庆渝北·期中）先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 考点二 整数指数幂 例1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】解：∵1纳米米， ∴纳米米米． 故选：C． 例2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）已知某新型感冒病毒的直径约为0.00000823米，将0.00000823用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵0.00000823的小数点向右移动6位得到8.23， ∴0.00000823， 故选：A． 例3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题可得：，，， ∵， ∴， 故选：B． 例4．（25-26八年级上·上海崇明·期中）数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）当时，计算： ．（结果不含负整数指数） 【答案】 【详解】根据负整数指数幂的意义，， ， 再根据积的乘方法则，， 故答案为：． 例6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 例7．（2025·浙江丽水·二模）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 例8．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）计算：． 【答案】3 【详解】解： 变式1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于A：∵ ，故A错误． 解：对于B：∵ （其中），∴ B正确． 解：对于C：∵ ，而选项为，∴ C错误． 解：对于D：∵ ，而选项为，∴ D错误． 故选：B． 变式2．（2025九年级·云南·学业考试）氢原子的半径约为，用科学记数法把0.000000000005表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 故选：C． 变式3．（2025·天津·一模）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项的计算错误； B、，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D 变式4．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 【答案】 【详解】解：， 故答案为：． 变式5．（25-26七年级上·上海·期中）若，则的值是 ． 【答案】0或 【详解】解：设底数，指数． 当时，，解得，此时 ，故，成立； 当时，，解得，此时为奇数，故，不成立； 当时，，解得 ，此时，故，成立． 此外，底数时无意义，故不考虑． 综上，的值为或． 故答案为：或． 变式6．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，则 ． 【答案】 【详解】解：由， 因为， 所以，， 解得， 则 ． 故答案为：． 变式7．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算： 【答案】2 【详解】解：原式． 变式8．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 考点三 以分式运算为背景的探究类问题 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ， ． 请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由，得， 则， ． （2）解：由，两边取倒数得， 即， ， 对于，两边取倒数得， 故． 例2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： (1)已知，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，且，求的值． 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：4． （2）解：∵，且， ∴两边除以 x 得：． ∴． ∴ ． 对于， 取倒数得，． ∴． （3）解：由，且，两边除以 ，得． 由，两边除以 ，得． 由，两边除以 4xz， 得． 设 ， 则 ． 三式相加，得． ∴． 对于，分子分母同除以， 得． 例3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设，则， ； （2）， ； （3）      ， 将其代入中得： ， ， ， ． 例4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 例5．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：，，，…，， ； 故答案为：，； （2）解：原式… ； （3）解：， ， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以原方程的解为． 变式1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 【答案】(1)，， (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ………… ， 故答案为：； ， ， ， ………… ， 故 ， 故 故答案为：． ， 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 变式2．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 变式3．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 【答案】(1) ，； (2) ． 【详解】（1）解： ， ，， 故答案为：，； （2）解： 可得：， ， ， 的最小值是， 的最大值是， 的最大值是， 的最大值为． 变式4．（25-26八年级上·湖南·期中）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 (1)“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； (3)若（m，n都不为0），请直接写出的值． 【答案】(1)分式的基本性质 (2) (3) 【详解】（1）解：“方法1”中运用了“分式”这一章的数学依据是分式的基本性质； 故答案为：分式的基本性质； （2）解：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 ， ， ∴原式； （3）解：∵， ∴原式 ． 变式5．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 【答案】（1）真；（2）；（3）或0或2或 【详解】解：（1）的次数为0，x的次数为1， 是真分式． 故答案为：真； （2）原式； （3）原式 ， 与均为整数， 或， 或0或2或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式：分式的化简求值、整数指数幂、以分式运算为背景的探究类问题专项训练 分式：分式的化简求值、整数指数幂、以分式运算为背景的探究类问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 整数指数幂 以分式运算为背景的探究类问题 考点一 分式的化简求值 例1．（25-26九年级上·重庆潼南·月考）先化简，再求值：，其中x是从，0，1，2中选取的一个合适的数． 例2．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 例3．（2025·江西抚州·二模）先化简，再求值：，其中． 例4．（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中． 例5．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 变式1．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 变式2．（25-26八年级上·山东东营·期中）（1）化简： （2）先化简，再求值：，在中选一个整数求值． 变式3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）先化简，再求值：，其中． 变式4．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）先化简，再求值：，其中． 变式5．（25-26九年级上·重庆渝北·期中）先化简，再求值： ，其中． 考点二 整数指数幂 例1．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）“冲天香阵透长安，满城尽带黄金甲”，菊花作为花中君子，因她的花色鲜艳、清香四溢、气节高洁而深受人们喜爱．人们能够闻到花香，是花的香味分子不断挥发向四周扩散的结果．已知菊花香味分子的平均直径约为纳米，且1纳米米，将菊花香味分子的平均直径换算成以“米”为单位后，用科学记数法表示正确的是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 例2．（25-26九年级上·广东佛山·月考）已知某新型感冒病毒的直径约为0.00000823米，将0.00000823用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26八年级上·上海崇明·期中）数据用科学记数法表示为 ． 例5．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）当时，计算： ．（结果不含负整数指数） 例6．（25-26八年级上·湖南常德·期中）计算： ． 例7．（2025·浙江丽水·二模）计算： 例8．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）计算：． 变式1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2025九年级·云南·学业考试）氢原子的半径约为，用科学记数法把0.000000000005表示为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2025·天津·一模）小马虎在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（　　） A． B． C． D． 变式4．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）近年来，我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破．比如，我国科研团队在小尺寸晶体管研究方面取得重大突破，制备出亚（纳米）栅极长度的晶体管，其物理栅长为，用科学记数法表示为 ． 变式5．（25-26七年级上·上海·期中）若，则的值是 ． 变式6．（25-26七年级上·上海·阶段练习）已知：，则 ． 变式7．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）计算： 变式8．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）计算： (1)． (2)． 考点三 以分式运算为背景的探究类问题 例1．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ， ． 请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)若，求的值； (2)已知，求的值． 例2．（25-26八年级上·湖南邵阳·期中）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以两边除以得：，化简得， 对先取倒数，， 再对两边取倒数得： 请仿照上面的做法解决下面问题： (1)已知，则_____； (2)已知，求的值； (3)已知，，，且，求的值． 例3．（25-26八年级上·山东淄博·期中）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，且，求的值． 例4．（25-26八年级上·湖南常德·期中）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 例5．（25-26八年级上·北京昌平·期中）阅读下列材料并解决问题：，，，，． (1)____________ (2)利用上述结论计算： ； (3)解方程：． 变式1．（25-26八年级上·湖南湘潭·期中）观察下列等式：．将以上三个等式两边分别相加，得． (1)猜想并填空： (2)化简：． (3)探究并作答： 计算：； 变式2．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 变式3．（25-26八年级上·北京房山·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：​，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二： 求代数式的最小值． ， ， ， 的最小值为． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；_____； (2)求代数式的最大值． 变式4．（25-26八年级上·湖南·期中）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知，求分式的值．该题没有给出的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：，，∴，∴， 原式． 方法2：，将分式的分子、分母同时除以得， 原式 (1)“方法”中运用了“分式”这一章的数学依据是___________； (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整； (3)若（m，n都不为0），请直接写出的值． 变式5．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）【阅读材料】类比分数学习分式 将分式分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，有助于我们解决分式中的整除问题． 通过阅读上述材料，解决下列问题： 【理解知识】（1）分式是___________分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】（2）假分式可以写成带分式的形式为___________： 【运用知识】（3）求所有符合条件的整数的值，使得分式的值为整数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $