4.3.1 等比数列的概念（八大题型2）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 等比数列的概念 题型一 等比数列下标和性质及应用 1．已知各项均不为零的数列满足，若，则（   ） A． B．16 C．4 D．64 【答案】D 【分析】由题意得，即数列为等比数列，利用等比数列的性质即可求解. 【详解】因为，所以，所以数列为等比数列， 因为，所以. 故选：D. 2．各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则 ． 【答案】16 【分析】根据等差性质，求出，再根据等比性质求出，最后得出答案即可. 【详解】由得：， 而等差数列各项不为零，故， 由数列是等比数列可知，， 而，故. 故答案为：16. 3．在等比数列中，公比，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质化简，联立，即可解出答案 （2）根据写出，求出，再得到不等式，即可求得的取值集合． 【详解】（1）由，可得， 又由，得①， 由，可得，则，即②， 由①②解得（舍去），所以， 所以等比数列的通项公式为． （2）由（1）知，， 则， 所以，即，解得， 又数列中， 所以的取值集合为． 题型二 等比数列子数列性质及应用 4．等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比数列性质即可求出公比. 【详解】因为数列为等比数列，则， 即，解得. 故选：D. 5．已知等比数列满足，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为， 故，所以，所以． 故答案为：． 6．（1）若，证明：数列为等比数列； （2）若，，，成等比数列，公比，求证：，，成等比数列； （3）请把（2）推广到一般情形. 【答案】（1）（2）证明详见解析（3）若成等比数列，公比，则，，，成等比数列 【分析】(1)(2)利用等比数列的定义，即可证明； (3)利用类比推理，可得结论 【详解】（1）由得，则，故数列为等比数列 （2）成等比数列，，，，，，，则，，，，成等比数列 （3）若成等比数列，公比，则，，，成等比数列 【点睛】本题考查等比数列的证明，解题关键在于结合定义和等比数列性质进行证明，类比推理是由简单到一般的过程，属于中档题 题型三 正项等比数列的对数成等差数列的应用 7．已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的性质可得：，再利用指数与对数的运算性质即可得出． 【详解】由等比数列的性质可得：a1a10=a2a9=…=a5a6=4， ∴数列的前10项和， 故选C． 【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．数列的首项为，且，，则 ． 【答案】 【分析】推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出数列的通项公式，进而可得出数列的通项公式，再利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，所以，且， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故， 因为，所以数列为等差数列， 故． 故答案为：. 9．在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式； （2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 （2）由（1）可知，则 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 题型四 等比数列的其他性质 10．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【详解】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 11．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 【答案】2 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 故答案为：2 12．已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据等比数列的性质分析可得，再结合等差数列的定义分析证明； （2）根据两角差的正切公式整理得，结合裂项相消法运算求解. 【详解】（1）由题意可得：，且，可得， 所以，可得， 则， 所以数列是以公差为的等差数列. （2）由（1）可得， 则， 整理得， 则 ， 所以数列的前100项和. 题型五 等比数列的通项公式的指数函数特征 13．已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而有时， ，时， ，即可求解. 【详解】因为，公比 ，则， 所以当时，；当时，， 又是数列的前项积，则当时， 取得最大值， 故选：B. 14．已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式进行求解即可. 【详解】由题意知，，∴，∴， ∴． 故答案为： 15．已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）令，设数列的前项积为，求取得最小值时的取值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用可得答案； （2）求出配方求最值可得答案. 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以，即． （2）由（1） ，于是 ， 当或时，取得最小值． 题型六 等比数列的单调性 16．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 【答案】C 【分析】通过分析得等比数列为单调递减，且前项大于1，项以后小于1，再结合等比数列的性质可得. 【详解】由，所以和中一个大于1一个小于1. 若公比，而，所以数列中所有项都大于1，与上述矛盾，所以； 若公比，则数列为摆动数列，因，所以奇数项为正数，偶数项为负数，这与矛盾； 所以，，等比数列是单调递减数列，且，. 所以当时，，当时，. 由等比数列性质，， 所以，. 当时，，单调递增且； 当时，，,单调递减且； 当时，，即，所以时，单调递减, 又. 所以，即时，单调递减且小于1. 所以最大的自然数为. 故选：C. 17．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据等差中项的定义列方程，求得，结合数列的单调性求得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由于，，成等差数列， 所以，即， 也即，解得， 所以，所以. ， ， 当时，，当时，， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 18．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 【答案】(1)，， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解； （2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解； （3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解. 【详解】（1）设的公比为，则， 若，则．若，则． 所以的公比为，，4， 所以的通项公式为：，，． （2）若是递增数列，则，则有，， 等价于，恒成立，令，即． 而． 时，，时，，时，， ，，， 实数的取值范围为． （3）若不是单调数列，则，或． （i）当时，， ①当为偶数时，；②当为奇数时，． 所以此时的最小值为． （ii）当时，． ①当为偶数时，，且为递增数列，； ②当为奇数时，，不可能为最小值． 所以此时的最小值为． 题型七 求等比数列中的最大（小）项 19．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，再利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 20．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 【答案】6 【分析】利用题意的等式得到数列的公比，继而求出首项，即可得到通项公式，判断数列的单调性和符号，即可求解 【详解】在等比数列中，，， 所以公比， 所以，解得，故， 易得单调递减，且， 因为，， 所以当时，，当时，， 所以当取得最大值时，． 故答案为：6 21．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 【答案】(1) (2)25 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）由等差数列的通项公式可求得，，从而得到结果； （2）利用等差数列前项和公式得到，由二次函数单调性易得的最大值； （3）先求出等比数列的通项公式，然后分奇偶项讨论单调性即得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意知 解得，.所以的通项公式为. （2）的前n项和. 所以当时，取得最大值. （3）由（1）知，，， 因为等比数列满足，，所以，. 所以等比数列的公比为，.所以. 所以，. 故当时，取得最小值.当时，取得最大值. 题型八 利用等比数列的通项公式求数列中的项 22．设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（    ） A．64 B．96 C．128 D．192 【答案】D 【分析】先根据求出数列的首项，再通过推导出数列的通项公式，最后将代入通项公式求出的值. 【详解】由题意，当时，，解得， 对于，由和，相减得：， 故数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为：， 因此，. 故选：D 23．已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【答案】512 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 故答案为：512 24．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 【答案】(1) (2) (3)的最大值是，公差为 【分析】（1）根据一阶和数列的定义可计算出，，的值，根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而得到，，的值，再由定义可求出的值. （2）根据定义可得的通项公式，进而求得的前项和公式. （3）由可得，从而可得公差，结合条件可得正整数的最大值. 【详解】（1）由题意得，，，， ∴，， 设数列的二阶和数列的公比为，则， ∴，，， ∴，，， ∴，，． （2）设的二阶和数列的前项和为， 由题意得，，， 由得数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴. （3）∵， ∴，故． 设数列的公差为，则， ∴，得， ∵反比例函数在上为增函数， ∴由得，，故， ∵， ∴，故， ∴的最大值是，由得公差. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 等比数列的概念 题型一 等比数列下标和性质及应用 1．已知各项均不为零的数列满足，若，则（   ） A． B．16 C．4 D．64 2．各项不为零的等差数列中，有，数列是等比数列，且，则 ． 3．在等比数列中，公比，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的取值集合． 题型二 等比数列子数列性质及应用 4．等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 5．已知等比数列满足，则 . 6．（1）若，证明：数列为等比数列； （2）若，，，成等比数列，公比，求证：，，成等比数列； （3）请把（2）推广到一般情形. 题型三 正项等比数列的对数成等差数列的应用 7．已知各项均为正数的等比数列中，，则数列的前项和为 A． B． C． D． 8．数列的首项为，且，，则 ． 9．在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型四 等比数列的其他性质 10．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 11．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 12．已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设． (1)证明：数列是等差数列； (2)设，求数列的前100项和． 题型五 等比数列的通项公式的指数函数特征 13．已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 14．已知，是等比数列图象上的两点，则 ． 15．已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）令，设数列的前项积为，求取得最小值时的取值. 题型六 等比数列的单调性 16．已知等比数列的前项积为，若，若使成立的最大自然数为，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4051 17．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为 . 18．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围； (3)若不是递增数列，，求的最小值． 题型七 求等比数列中的最大（小）项 19．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．在等比数列中，若，，则当取得最大值时， ． 21．已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和的最大值； (3)若等比数列满足，，问：是否存在最大值与最小值？说明理由. 题型八 利用等比数列的通项公式求数列中的项 22．设数列的前n项和为，且满足（），数列的第7项的值为（    ） A．64 B．96 C．128 D．192 23．已知数列是递增的等比数列，若，则 . 24．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列，以此类推，可得数列的阶和数列． (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且，，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差． 1 学科网（北京）股份有限公司 $