4.3.1 课时2 等比数列的判定与性质 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 课时2 等比数列的判定与性质 【基础巩固】 1．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是方程的两个根，所以， 在正项等比数列中，有，， 又，所以，所以. 故选：B 2．设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得成等差数列，成等比数列， 得到，，故，若，则，解得， 可得，即，故A正确. 故选：A． 3．已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，则或， 若，有单调递减，若，有单调递减， 若，则不具有单调性，即充分性不成立； 由单调递减，则或， 此时成立，即必要性成立， 综上，“”是“单调递减”的必要不充分条件. 故选：B 4．已知，若等比数列满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设，则， 则，则. 故选：D. 5．（多选）设等比数列的公比为，若，则下列正确的是（ ） A． B．和的等比中项为 C．当时， D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，和的等比中项为，根据题意无法得知其值，故B错误； 对于C，当时，由等比数列的性质可得，故C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确. 故选：ACD 6．已知是等比数列，，是函数的两个零点，则________. 【答案】 【解析】，是函数的两个零点，即是方程的两根. 所以，，可知，均为负数， 又，且与，同号，故. 故答案为： 7．已知正项等比数列，，则_______． 【答案】 【解析】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：. 8．已知数列满足，点在函数的图象上，其中，，，求证：数列是等比数列． 【答案】见解析 【解析】由已知得， 所以， 因为， 所以，两边同时取对数得 ，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列． 【能力拓展】 9．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列为等差数列，所以． 因为数列为等比数列，所以． 又，所以．当且仅当时取等号，所以A错误，C正确．当，时，； 当，时，，当且仅当时取等号， 所以与的大小不确定．所以B，D错误． 故选:C． 10．（多选）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于 【答案】AB 【解析】因为等比数列中，，所以与同号，所以； 又与一个大于，一个小于，再有，所以，. 所以数列是各项均为正数的递减的等比数列，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为， ，所以使成立的最大自然数等于.故D错误. 故选：AB 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则______；______． 【答案】； 【解析】①由题意，数列是一阶等比数列，， 所以为等比数列，其中，，公比为， 所以； ②， 所以， 所以． 故答案为：①；②. 【素养提升】 12．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)若，且为递增数列，求实数的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)由，得，所以， 所以，所以是以为公比的等比数列，又，所以． (2)由(1)知，所以，因为为递增数列， 所以恒成立， 所以，即对任意正整数恒成立，即， 因为为递增数列，所以， 所以，即实数的取值范围为． 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 课时2 等比数列的判定与性质 【基础巩固】 1．在正项等比数列中，是方程的两个根，则（ ） A． B． C． D． 2．设正数满足为与的等差中项，为与的等比中项，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知无穷等比数列的公比为，则“”是“单调递减”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，若等比数列满足，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）设等比数列的公比为，若，则下列正确的是（ ） A． B．和的等比中项为 C．当时， D． 6．已知是等比数列，，是函数的两个零点，则________. 7．已知正项等比数列，，则_______． 8．已知数列满足，点在函数的图象上，其中，，，求证：数列是等比数列． 【能力拓展】 9．已知数列为等差数列，为等比数列，，则（ ） A． B． C． D． 10．（多选）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（ ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于 11．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了关于一阶等差数列的问题：如果一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列，即一阶等比数列满足从第二项开始，每一项与前一项的比值构成等比数列．设数列是一阶等比数列，，则______；______． 【素养提升】 12．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)若，且为递增数列，求实数的取值范围． 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $