4.3.1 等比数列的概念(2) 同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1　等比数列的概念(2) 姓名： 班级： 学号： 一、 单项选择题 1若数列{an}是等比数列，且an>0，a4·a5＝9则log3a1＋log3a8的值为(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2公比不为1的等比数列{an}满足a5a7＝5，若a2a4a8am＝25，则正整数m的值为(　　) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 3 “ b＝ ” 是 “ a，b，c成等比数列”的(　　) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4已知自然界中存在某种昆虫，其在幼虫期到成虫期这个时间段内会伴随着蜕皮和生长的交替．该种昆虫最开始的身体长度记为a1，其在发育过程中先蜕皮，身体总长度减少为原来的，此时昆虫的长度记为a2；蜕皮之后，迅速生长，当身体总长度增加了蜕皮后那一时刻的，此时昆虫的长度记为a3，然后进入下一次蜕皮，以此类推．若a4＝25，则a1的值为(　　) A. 18 B. C. 24 D. 5 已知数列{an}满足a1＝－1，(2＋)(2＋)(2＋)…(2＋)＝an＋1，则使得an≥2 022成立的n的最小值为(　　) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 6 2023年10月17日～10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．从2013年到2022年，中国与共建“一带一路”国家的进出口累计总额年均增长率为6.4%.现已知2013年进出口累计总额为10.9万亿美元，则2022年进出口累计总额约为(参考数据：1.0648≈1.64，1.0649≈1.75，1.06410≈1.86，1.06411≈1.98，保留1位小数)(　　) A. 17.9万亿 B. 19.1万亿 C. 20.3万亿 D. 21.6万亿 7已知数列{an}为等差数列，{bn}为正项等比数列，公式q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，则下列结论中正确的是(　　) A. a6＝b6 B. a6>b6 C. a6<b6 D. 以上都有可能 8已知等比数列{an}是递减数列，各项均为正数，前n项的乘积记为Tn，则“a3a13≥a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、 多项选择题 9已知数列{an}满足a1＝1，a－an＋1＝a＋an(n∈N*)，则数列{an}(　　) A. 有可能是常数数列 B. 有可能是等差数列 C. 有可能是等比数列 D. 有可能既不是等差数列，也不是等比数列 10设数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，{bn}是首项为1，公比为2的等比数列，则下列说法中正确的是(　　) A. 数列为递减数列 B. 若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则aman≤a C. 存在正整数k，使得ak，bk，ak＋1成等比数列 D. 将数列{an}与{bn}的所有项从小到大排列组成一个新的数列，则c100＝185 三、 填空题 11设数列{an}为等比数列，其公比为q.已知a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝32，则a1＝________． 12设数列{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，则a3a6…a30＝________． 13如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设an是第n行数字1的个数，bn是第n行数字2的个数，则a6＋a7＝________，a2n＋b2n＋1＝________． 第一行　1　2 第二行　2　1　1 第三行　1　1　2　2 第四行　2　2　1　1　1　1 … 四、 解答题 14 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝5，对于任意的n∈N*，都有an＋2＝6an＋1－9an. (1) 求证：数列{an＋1－3an}是等比数列； (2) 求数列{an}的通项公式． 15某污水处理厂采用技术手段清除水中污染物的同时，还能生产出有用的肥料和清洁用水．在处理过程中，每小时可以从处理池中清除掉残留污染物的12%. (1) 一天后污染物含量可以降低到什么程度？ (2) 使污染物含量减半至少要多少小时(结果保留整数)? 16已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝，令bn＝－1. (1) 求证：数列{bn}为等比数列； (2) 在bn与bn＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列．在数列中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 4．3.1　等比数列的概念(2) 1. B　因为数列{an}是等比数列，所以a4a5＝a1a8＝9，则log3a1＋log3a8＝log3(a1a8)＝log39＝2. 2. B　因为公比不为1的等比数列{an}满足a5a7＝5，所以a4a8＝a5a7＝5.因为a2a4a8am＝25，所以a2am＝5，可得2＋m＝5＋7，解得m＝10. 3. D　若b＝0，a＝0，c＝0，则b＝，但a，b，c 不是等比数列，故充分性不成立；若a，b，c 是等比数列，则b2＝ac，则b＝±，故必要性不成立，所以“b＝ ” 是 “ a，b，c 成等比数列”的既不充分也不必要条件． 4. C　由题意，得a2＝a1，a3＝(1＋)×a1＝a1，a4＝25＝a3＝×a1＝a1，解得a1＝24. 5. B　当n＝1时，a2＝2＋＝2－1＝1；当n≥2时，(2＋)(2＋)(2＋)…(2＋)＝an＋1，(2＋)(2＋)(2＋)…(2＋)＝an，所以an＋1＝an(2＋)＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}从第二项起是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n-2＝2n-1(n≥2)，所以an＝2n-1－1(n≥2).综上所述，an＝由an≥2 022，得2n-1－1≥2 022，所以2n-1≥2 023.因为210＝1 024，211＝2 048，所以n－1≥11，所以n≥12，所以n的最小值为12. 6. B　由题意可得从2013年到2022年，每年的进出口累计总额构成等比数列{an}，其中a1＝10.9，公比q＝1＋6.4%＝1.064，故2022年进出口累计总额约为a10＝a1q9＝10.9×1.0649≈10.9×1.75≈19.1(万亿). 7. B　由{an}是等差数列，得a6＝，由{bn}是等比数列，得b6＝，则a6－b6＝－＝(a1＋a11－2).因为a1＝b1，a11＝b11，所以a6－b6＝(b1＋b11－2)＝(－)2.又{bn}为正项数列，且q≠1，b1≠b11，所以(－)2>0，即a6>b6. 8. B　由题意，得an>0，设公比为q，则0<q<1，所以Tn有唯一的最大值T7的充要条件为a7>1且a8<1.若a3a13≥a9，则a3a13＝a9a7≥a9.又因为a9>0，所以a7≥1.因为a3a13＝a8a8≥a9＝a8q，即a8a8≥a8q，且a8>0，所以a8≥q，故a3a13≥a9不能推出Tn有唯一的最大值T7.若Tn有唯一的最大值T7，则a7>1且a8<1.因为a7>1，a9>0，所以有a7a9>a9.又因为a3a13＝a9a7，所以a3a13>a9，此时可推出a3a13≥a9成立，所以“a3a13≥a9”是“Tn有唯一的最大值T7”的必要不充分条件． 9. BCD　由a－an＋1＝a＋an(n∈N*)，可得(a－a)－(an＋1＋an)＝0，即(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.若对任意n∈N*，有an＋1＝－an且a1＝1，此时数列{an}是公比为－1的等比数列；若对任意n∈N*，有an＋1－an＝1且a1＝1，此时数列{an}是公差为1的等差数列．取数列{an}各项为1，－1，0，1，－1，0，…，则数列{an}满足条件，此时数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，故B，C，D正确；若数列{an}为常数列，不妨设an＝c(c为常数)对任意n∈N*恒成立．由a－an＋1＝a＋an(n∈N*)，可得c2－c＝c2＋c，解得c＝0，与a1＝1矛盾，所以数列{an}不可能是常数列，故A错误．故选BCD. 10. BD　由题意，得an＝2n－1，bn＝2n-1.对于A，因为<，故A错误；对于B，由等差数列的性质，得若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则am＋an＝2ap.又数列{an}中各项均为正数，所以2ap＝am＋an≥2，即aman≤a，故B正确；对于C，若ak，bk，ak＋1成等比数列，则b＝akak＋1，即22k-2＝4k2－1，显然k＝1时不成立，当k≥2时，等式左边为偶数，右边为奇数，所以等式不成立，故C错误；对于D，因为b8＝128<a65，b9＝256>a128，且a1＝b1＝1，所以c100＝a93＝185，故D正确．故选BD. 11. 　由a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)q3＝4q3＝32，可得q＝2.又a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝7a1＝4，解得a1＝. 12. 220　由题意可得a1a2a3…a30＝··a3···a6…··a30，所以＝＝230，解得a3a6…a30＝220. 13. 16　2n+1　由题意可知an＋1＝2bn，bn＋1＝an，且a2＝2b1＝2，b2＝a1＝1，则an＋2＝2bn＋1＝2an，可得a2n＝a2·2n-1＝2n，b2n＋1＝a2n＝2n，所以a6＋a7＝8＋8a1＝8＋8＝16，a2n＋b2n＋1＝2n+1. 14. (1) 由an＋2＝6an＋1－9an， 得an＋2－3an＋1＝3an＋1－9an＝3(an＋1－3an)， 且a2－3a1＝5－3＝2， 所以数列{an＋1－3an}为等比数列，且首项为2，公比为3. (2) 由(1)，得an＋1－3an＝2×3n-1， 等式左右两边同时除以3n+1可得－＝， 即－＝，且＝， 所以数列为等差数列，且首项为，公差为， 所以＝＋(n－1)×＝， 所以an＝×3n＝(2n＋1)×3n-2. 15. (1) 设污水中污染物的初始含量为a0，n h后残留在池中的污染物含量为an， 则 可知数列{an}是以0.88a0为首项，0.88为公比的等比数列， 故an＝0.88na0. 因为a24＝0.8824a0≈0.05a0， 所以一天后污染物含量大约降低到原来的5%. (2) 由an＝0.88na0＝0.5a0， 得n＝log0.880.5≈5.42， 故使污染物含量减半至少要6 h. 16. (1) 因为an＋1＝，a1＝，所以an>0， 所以－1＝－1＝(－1), 即bn＋1＝bn. 又b1＝－1＝， 所以{bn}是首项为，公比为的等比数列． (2) 由(1)知，bn＝()n， 由题意知，bn＋1＝bn＋(n＋2－1)dn，即dn＝＝. 假设存在3项dm，dk，dp成等比数列， 则d＝dmdp， 所以[]2＝·. 因为m＋p＝2k， 所以化简可得k2＝mp, 所以k＝m＝p，这与已知条件m，k，p互不相等矛盾， 所以不存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 学科网（北京）股份有限公司 $