精品解析：湖北省武汉市汉阳区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列图案在自然界及生活、生产中常见，属于中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 下列各数是方程的根的是（ ） A. B. C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键；通过因式分解或求根公式求得根，再与选项对比即可． 【详解】解： ， 解得：； 故选A． 3. 你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数除法的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据年轮的特点即可列式求解． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 4. 下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判断各选项是否为整式方程且最高次数是否为． 【详解】解：∵ 一元二次方程必须是整式方程，且未知数的最高次数为2； A、，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； B、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； C、，分母含有未知数，不是整式方程，符合题意； D、，展开并化简得，是整式方程，最高次数，是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 5. 对于抛物线的开口方向、对称轴和顶点表述正确的是（ ） A. 开口向上，对称轴是，顶点是 B. 开口向下，对称轴是，顶点是 C. 开口向上，对称轴是，顶点是 D. 开口向下，对称轴是，顶点是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的顶点式 的性质，判断开口方向，对称轴和顶点坐标即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； 故选B． 6. 如图，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则下列不是旋转角的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角． 【详解】解：A．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故A不符合题意； B．旋转后的对应边为OD，故可以作为旋转角，故B不符合题意； C．旋转后的对应边为，故可以作为旋转角，故C不符合题意； D．旋转后的对应边为不是，故不可以作为旋转角，故D符合题意； 故选：D． 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≤5 C. m＞2 D. m＜5 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的情况即可列出不等式，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴b2﹣4ac＝1﹣4（）≥0， 解得：m≤5 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据一元二次方程根的情况，求参数的取值范围，掌握一元二次方程根的情况与△的关系是解决此题的关键． 8. 把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 【详解】解：设较短一段长为，则 较长一段长为， 由题意得，， 整理得，， 故选：． 9. 如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是正确作出垂线．连接，过点作于点，由垂径定理可得，再由勾股定理可得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴（舍去负值）， ∴ 故选：C． 10. 如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（　　） A. 比开始高0.8m B. 比开始高0.4m C. 比开始低0.8m D. 比开始低0.4m 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象具有对称性即可解答本题． 【详解】解：由题意可得， 运动员出手的位置距地面的高度应该与篮圈中心距地面的高度一样， 运动员出手的位置距地面的高度为， ， 要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得比开始高， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数图象的对称性解答． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置． 11. 如果2是方程的一个根，那么常数的值为 ________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵2是方程的一个根， ∴， 解得：． 故答案为：4． 12. 以原点为中心，把逆时针旋转，得到点B，求点B的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一个点绕原点旋转后对应的点的坐标，掌握旋转的性质，画出旋转后的对应点的位置是解题的关键． 在坐标系内描出点 连接 画出绕点逆时针旋转的线段 再根据的位置可得答案． 【详解】解：如图，以原点为旋转中心，把点逆时针旋转，得到点，则点 故答案为：． 13. 如图，的半径为5，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是__________． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理和垂径定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：连接， ∵的半径为5， ∴ ∵圆心到弦的距离的长为3， 由垂径定理知，点M是的中点，， 由勾股定理可得，， ∴． 故答案为：8 14. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，则水管应有_____； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及应用，用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与轴交点，根据题目条件找到抛物线的顶点坐标及抛物线与轴交点坐标是解关键．根据题意，点是抛物线的顶点，抛物线与轴交点坐标为，设抛物线的顶点式为，将点代入求抛物线的解析式，求当时的值． 【详解】解：抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的顶点式为， 将点代入求抛物线的解析式，得， 解得，， 抛物线的解析式为， 当时，， 水管高为． 故答案为： 15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______． 【答案】15 【解析】 【分析】延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE，可证明△ABD≌△CED，所以CE=AB，再利用勾股定理的逆定理证明△CDE是直角三角形，即△ABD为直角三角形，进而可求出△ABD的面积． 【详解】解：延长AD到点E，使DE=AD=6，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△CED中， ， ∴△ABD≌△CED（SAS）， ∴CE=AB=5，∠BAD=∠E， ∵AE=2AD=12，CE=5，AC=13， ∴CE2+AE2=AC2， ∴∠E=90°， ∴∠BAD=90°， 即△ABD为直角三角形， ∴△ABD的面积=AD•AB=15． 故答案为15． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 16. 已知抛物线的顶点坐标为，下列说法：（1）若，则点一定在抛物线上；（2）方程一定有两个不相等的实数根；（3）；（4）若，则将抛物线向下平移个单位长度后，得到的新抛物线一定经过点；（5）若抛物线过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，连，，过点分别作，所在直线的垂线，垂足分别为点，，当点运动时，为定值．其中正确结论的序号为___________． 【答案】（1）（2）（4）（5） 【解析】 【分析】根据题意得，抛物线的解析式为，代入到抛物线解析式，再令，求出对应的的值可判断（1）；计算判别式可判断（2）；由题意得，结合可判断（3）；根据二次函数的平移得到新抛物线的解析式为，可判断（4）；代入到抛物线解析式，求得，进而得到，利用勾股定理得到，再利用以及三角形的面积公式求出的值，可判断（5），即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， （1）若，则， 当时，， ∴点在抛物线上，故（1）正确； （2）， ， ∴抛物线与轴有2个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故（2）正确； （3）， ∴， ∴，故（3）错误； （4）将抛物线向下平移个单位长度后，新抛物线的解析式为， 当时，， ∴新抛物线经过点，故（4）正确； （5）代入到，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 如图，连接， 则， ∴， ∴， ∴，故（5）正确； ∴综上所述，正确结论的序号为（1）（2）（4）（5）； 故答案为：（1）（2）（4）（5）． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、二次函数的平移、二次函数与几何综合、勾股定理、三角形的面积公式，运用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 三、解答题（8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程： 解：，____________，____________； ____________； ____________； ____________，____________． 【答案】，，，，，． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的步骤，根据公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，， 故答案为：，，，，，． 18. 在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： （1）看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； （2）若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 【答案】（1）①，，；②，；③左，，下， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标，图象的平移以及图象围成的三角形的面积等知识点，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）①根据函数解析式求图象和坐标轴的交点坐标即可，根据二次函数和一元二次方程的关系求出方程的根即可； ②根据顶点坐标公式求解即可； ③根据顶点的坐标，确定平移即可； （2）假设与轴交于点，求出直线的解析式，然后求出点坐标，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴与轴交点坐标为，即； 当时，， 解得， ∴与轴交点坐标为； ∵与轴的交点坐标为和， ∴方程的两根为，； 故答案为：，，； ②抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 抛物线的顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为； 故答案为：，； ③∵， ∴若将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位得到的图象； 故答案为：左，，下，； 【小问2详解】 解：如图所示，假设与轴交于点，根据题意可得，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若时，则求的值及方程的另一个实数根； （2）若方程有实数根，求的取值范围； （3），是方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1），另一个根为 （2）m为任意实数 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，根的定义，解题的关键是掌握以上定义和公式． （1）将根代入方程可求的值，然后再解一元二次方程即可； （2）利用根的判别式进行求解即可； （3）利用根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ， 解得， ∴方程为， ∴， ∴，另一个根为； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴m为任意实数时，方程有实数根； 【小问3详解】 解：根据根与系数的关系得，当时， 即， 解得． 20. 内接于，，分别为，中点，，连，于． （1）如图，点与点重合，求证：四边形为正方形； （2）如图，圆心在外边的左侧，连，，过点作的垂线，交于点，垂足为，交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线． （1）先由圆周角定理得到，然后可先证明四边形为矩形，再由垂径定理可得为的中位线，可得为等腰直角三角形，则，那么，即可证明其为正方形； （2）连接，延长交于点， 由上可得，可证明均为等腰直角三角形，则，然后证明四边形为矩形，则，，同（1）由垂径定理可得，由勾股定理可得，则，那么． 【小问1详解】 证明：由题意得，此时为直径， ∴， ∵， ∴， ∵，分别为，中点， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴， ∵，经过圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为正方形； 【小问2详解】 解：连接，延长交于点， ∵为中点，经过圆心， ∴， ∵， ∴， 由上可得， ∴， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 同（1）由垂径定理可得， ∴， ∴， ∴． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，，是格点，点为格线上一点，为平面直角坐标系的原点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，先画点关于轴的对称点，再画点关于轴的对称点，连，，得，直接说明与间的变化关系； （2）在图2中，将线段绕点顺时针旋转得线段，画线段，画点关于直线的对称点，连，，得，我们发现：与间存在一种变换关系，直接写出这种变化关系． 【答案】（1）作图见解析，沿轴翻折得到 （2）作图见解析，将绕点顺时针旋转得到 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中的图形的几何变化，涉及对称轴变换，旋转变化，使用无刻度直尺作图，解题的关键是熟练掌握轴对称和旋转的性质． （1）在点右侧数个格点即为点，取格点，连接并延长交轴于点，连接与格线交点即为点，再顺次连接，则即为所求；可得直线是的垂直平分线，则，那么是轴对称图形，再由轴对称图形的特征可得关于轴对称，此时为关于轴对称的图形，故沿轴翻折可得到； （2）根据网格特征即可得到线段，取格点，连接并延长交于点，取格点，连接与点上方的横格线交点即为点，再连接，即可得到，根据正方形的轴对称性可得点与点关于对角线对称，由轴对称的性质可得，由旋转的性质可得，则将绕点顺时针旋转可得到． 【小问1详解】 解：如图，点，即为所求，沿轴翻折得到， 【小问2详解】 解：如图，线段，点，即为所求，将绕点顺时针旋转得到； 22. 某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面的长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． （1）用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． （2）若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； （3）若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 【答案】（1）， （2）正方形景观空地的面积为 （3）矩形的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确的列出方程和函数解析式，是解题的关键： （1）根据矩形花坛的长比宽多，求出矩形花坛的长，分割法求出铺设地砖的面积即可； （2）令（1）中铺设地砖的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据矩形的面积列出二次函数求最值即可． 【小问1详解】 解：由题意，每个矩形花坛长为，中间正方形的边长为， 故铺设地砖面积为； 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意，， 解得（不合题意，舍去）； ∴正方形景观空地的边长为， ∴正方形景观空地的面积为； 【小问3详解】 由题意，， 由图可知：， 解得， ∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当时，最大，此时； 故当矩形的长为，宽为时，最大． 23. 中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 【答案】画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 动手操作：根据旋转的性质画出旋转后的图形即可； 实践运用： 过点作于点，于点，证得，进而证得四边形是正方形，设正方形的边长为，列方程求解即可． 【详解】解：动手操作：旋转后的三角形如图： 实践应用： 过点作于点，于点， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， 四边形是正方形， ， 设， 、， ， 、， ， 在中，， 即， 解得或， 当时， 在中，、、， 满足，即， 则符合题意， 当时， 在中，、、， 由于，与矛盾， 则不符合题意，故舍去， ， ， 答：的长为． 24. 操作观察：某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）将问题特殊化，取， ①自变量的取值范围是全体实数，，的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 4 6 6 4 6 0 … 请将表中缺失的数据填完整： 在时，___________；在时，__________；在时，__________． ②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出函数图象的另一部分； ③由图象知，方程有两个实数根，它们分别为：__________，或__________； （2）若直线与函数的图象有三个交点，求的值． （3）函数图象最高点为，交轴于点，交轴于点连接，以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，求的值． 【答案】（1）①，，；②图象见解析；③， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）①将值代入函数计算即可； ②根据表格中的点，在平面直角坐标系中，描点连线即可； ③从表中数据可知，或时，，据此进行解答即可； （2）联立直线方程和抛物线方程得，，分情况讨论，当和时，两根情况，进行计算求解的值即可； （3）根据抛物线图象性质得到点A的坐标，令、得到点、点的坐标，根据以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，函数， 在时，， 在时，， 在时，， 故答案为：，，； ②函数图象为： ③由图象知，方程有两个实数根， 从表中数据可知，当时，，当时，， 因此方程的两个实数根为：或， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由图象可知，函数关于轴对称，直线 当时，函数， 则 整理得 由于直线经过点， 则是方程的一个根， 解得另一个根为， 根据得，， 解得； 当时，函数， 则， 整理得， 同样，由于直线经过点， 则是方程的一个根，设另一个根为， 由韦达定理得，， 解得， 综上所述，； 【小问3详解】 解：由（1）知，该抛物线图象开口向下，关于轴对称， 则对称轴为，即， 顶点纵坐标为： 则函数图象的最高点为的坐标为， 令得，， 解得， 由于， 则， 令得，， 因此，点的坐标为，点的坐标为， 以为直径的圆的圆心为的中点， 则圆心坐标为， 根据以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，得： 解得或（舍去） 答：的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 下列图案在自然界及生活、生产中常见，属于中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各数是方程的根的是（ ） A. B. C. 0 D. 4 3. 你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以知道树木的年龄，把树干的横截面看成圆形的，如果一棵20年树龄的树的树干直径是，这棵树的半径平均每年增加（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于抛物线的开口方向、对称轴和顶点表述正确的是（ ） A. 开口向上，对称轴，顶点是 B. 开口向下，对称轴是，顶点是 C. 开口向上，对称轴是，顶点是 D. 开口向下，对称轴是，顶点是 6. 如图，把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，则下列不是旋转角的为（ ） A B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A. m≥2 B. m≤5 C. m＞2 D. m＜5 8. 把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半径为5和的两个圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于，两点，若，则的大小为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 10. 如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（　　） A. 比开始高0.8m B. 比开始高0.4m C. 比开始低0.8m D. 比开始低0.4m 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请直接填写在答题卡指定的位置． 11. 如果2是方程的一个根，那么常数的值为 ________． 12. 以原点为中心，把逆时针旋转，得到点B，求点B的坐标______． 13. 如图，的半径为5，圆心到弦的距离的长为3，则弦的长是__________． 14. 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，则水管应有_____； 15. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，则△ABD的面积是______． 16. 已知抛物线的顶点坐标为，下列说法：（1）若，则点一定在抛物线上；（2）方程一定有两个不相等的实数根；（3）；（4）若，则将抛物线向下平移个单位长度后，得到的新抛物线一定经过点；（5）若抛物线过点，交轴于另一点，点为线段上一动点，连，，过点分别作，所在直线的垂线，垂足分别为点，，当点运动时，为定值．其中正确结论的序号为___________． 三、解答题（8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程： 解：，____________，____________； ____________； ____________； ____________，____________． 18. 在同一平面直角坐标系画了三个函数的图象，这三个函数为，，，请完成以下问题： （1）看图说话： ①与轴交点坐标为______；与轴交点坐标为________；与轴的交点坐标为和，方程的两根为_________；________． ②抛物线的顶点坐标为________；抛物线的顶点坐标为________． ③这三个函数的图象都可看作由抛物线经过平移而得到；若将抛物线先向_______平移______个单位，再向_______平移______个单位得到的图象； （2）若抛物线，，的顶点分别为，，，连，，，则直接写出的面积________． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若时，则求的值及方程的另一个实数根； （2）若方程有实数根，求的取值范围； （3），是方程的两个实数根，满足，求的值． 20. 内接于，，分别为，中点，，连，于． （1）如图，点与点重合，求证：四边形为正方形； （2）如图，圆心在外边的左侧，连，，过点作的垂线，交于点，垂足为，交于点，若，，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，，是格点，点为格线上一点，为平面直角坐标系的原点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中，先画点关于轴的对称点，再画点关于轴的对称点，连，，得，直接说明与间的变化关系； （2）在图2中，将线段绕点顺时针旋转得线段，画线段，画点关于直线的对称点，连，，得，我们发现：与间存在一种变换关系，直接写出这种变化关系． 22. 某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面长，宽，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多，设每个矩形花坛的宽均为． （1）用的式子表示：每个矩形花坛的长为_______m；铺设地砖的面积为________． （2）若铺设地砖的面积为，则求正方形景观空地的面积； （3）若四个角的矩形花坛面积之和为，则求出当面积最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 23. 中，，，点在内． 动手操作：如图1，将绕点顺时针旋转，使点的对应点为，画出旋转后的对应三角形； 实践运用：如图2，连，将绕点逆时针旋转得线段，连，射线交于点，连．若，，求的长． 24. 操作观察：某班“数学兴趣小组”对函数图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）将问题特殊化，取， ①自变量的取值范围是全体实数，，的几组对应值列表如下： … 0 1 2 3 4 … … 0 4 6 6 4 6 0 … 请将表中缺失的数据填完整： 在时，___________；在时，__________；在时，__________． ②根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出函数图象的另一部分； ③由图象知，方程有两个实数根，它们分别为：__________，或__________； （2）若直线与函数的图象有三个交点，求的值． （3）函数图象的最高点为，交轴于点，交轴于点连接，以为直径的圆在轴上截得的弦刚好以点为中点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $