11.3 实际问题与一元一次方程 （古代问题专题） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册

11.3 实际问题与一元一次方程 （古代问题专题） 2025-2026学年人教版（五四制）数学七年级上册 一、单选题 1．盈不足问题作为我国数学的古典名题，在2000多年前的《九章算术》一书中有很多详尽而深刻的阐述，如书中的“共买鸡问题”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数，物价各几何．题目大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，买鸡的人数、鸡的价格各是多少？设有人买鸡，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．程大位的《直指算法统宗》中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大、小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，求大、小和尚各有多少人．下列结果正确的是（　　） A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人 C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人 3．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”大意：若干人共同出资买羊，每人出5钱，则差45钱；每人出7钱，则差3钱，人数和羊价各是多少？设人数为人，则下列说法正确的是（   ） A．依题意， B．依题意， C．人数为20人 D．羊价为150钱 4．文化情境·数学文化中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”这道题的意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 5．《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：今有空车日行八十里，重车日行六十里；今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何?译文如下：有人用车把米从太仓运到上林，空车时每天行驶80里，装米时每天行驶60里，载货去，空车返回，5天往返3次．问太仓到上林的距离是 （   ） A．里 B．里 C．里 D．里 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱．问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为 ． 8．我国古代《孙子算经》记载了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车有几何？意思是”每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，则车有 辆． 9．我国古代问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，问绳长井深各几何？”其题意是：用绳子测量水井深度，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若假设井深为x尺，则符合题意的方程是 ． 10．《九章算术》中记载这样一道题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”大意是：现在有一头牛、一匹马、一只羊吃了别人家的禾苗．禾苗的主人要求这些动物的主人共计赔偿五斗粟米．羊的主人说：“我家羊只吃了马吃的禾苗的一半．”马的主人说：“我家马只吃了牛吃的禾苗的一半．"按此说法，羊的主人应当赔偿给禾苗的主人多少斗粟米？设羊的主人赔x斗，根据题意，可列方程为 ． 11．古代中国的数学专著《九章算术》中有一题：“今有生丝三十斤，干之，耗三斤十二两．今有干丝一十二斤，问生丝几何？”意思是：“今有生丝斤，干燥后耗损斤两（古代中国斤等于两）．今有干丝斤，问原有生丝多少？”则原有生丝为 斤． 12．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’不知客几何？”译文：“人同吃一碗饭，人同吃一碗羹，人同吃一碗肉，共用个碗，问有多少客人？”，则客人的个数为 ． 三、解答题 13．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》) 题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？ 有多少两银子？ (1)设人数为，请求解此题； (2)设银子总数为两，请求解此题． 14．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图，如图所示的幻方中，横着的，竖着的及斜着的三个数之和均相等，求的值． 2 7 8 15．《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 16．《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六． 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元．有几人？鸡的价格是多少元？ 17．《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题． 18．古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题考查古代数学问题，设有人买鸡，根据如果每人出9钱，就多出11钱；如果每人出6钱，就还差16钱，列一元一次方程即可得到答案，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设有人买鸡， 则 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设大和尚有x人，则小和尚有人，根据有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．列出方程，解方程即可． 【详解】解：设大和尚有x人，则小和尚有人， 依题意得：， 解得：， ， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． 故选：A． 3．D 【分析】设人数为x人，根据羊的价格相同，列出方程即可．本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 【详解】解：设人数为x人， 由题意，得：；故A、B选项不符合题意； 则， 解得，故C选项不符合题意； 则， ∴羊价为150钱 故选D． 4．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出方程是解题的关键． 本题包含的等量关系为总人数不变，故可设有辆车，根据总人数列方程即可． 【详解】解：设有辆车． 每 3 人乘一车，剩余 2 辆车， 总人数为； 每 2 人乘一车，剩余 9 人无车， 总人数为； ． 故选：． 5．A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设太仓到上林的距离是里，根据题意可得往返1次的时间为天，再根据5天往返3次建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设太仓到上林的距离是里， 由题意得：， 解得， 即太仓到上林的距离是里， 故选：A． 6．A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程，理解题意，找准等量关系是解题的关键．　 根据题意，每株椽的价钱为文，少拿一株椽后，剩下的椽数量为株且运费为文，根据“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”可列出方程； 【详解】解：设这批椽的数量为株， 由题意得， 两边同时乘以得； 故选：A． 7． 【分析】根据题中钱的总数列一元一次方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 8．15 【分析】利用人的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设共有x辆车，则有人， 根据题意得， 解得，， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程解决实际问题，正确列出一元一次方程是解题的关键． 9． 【分析】设井深为x尺，根据绳子的长度固定不变，列关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：设井深为x尺， 依题意，得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式． 10． 【分析】设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设羊的主人赔x斗，则马的主人赔2x斗，牛的主人赔4x斗，根据题意得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 11． 【分析】设原有生丝斤，根据题意列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设原有生丝斤，依题意， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程解题的关键． 12． 【分析】设有个客人，根据题意列出方程，解出方程即可得到答案． 【详解】解：设有个客人， 根据题意，得：， 解得：， 即客人的个数为72， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键． 13．(1)有人，两银子 (2)有人，两银子 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设人数为，利用银子的两数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即人数，再将其代入中，即可求出银子的两数； （2）设银子总数为两，利用分银子的人数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即银子的总数，再将其代入即可求出人数． 【详解】（1）解：设人数为， 根据题意得：， 解得：， （两）． 答：有人，两银子； （2）设银子总数为两， 根据题意得： 解得：， （人）． 答：有人，两银子． 14． 【分析】由横着的、竖着的及斜着的三个数之和均相等，列出方程，解方程组求出、的值，即可解决问题． 【详解】解：由题意，得，， 解得，， 所以． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15．醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶 【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数． 【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：醇酒有瓶，薄酒有瓶． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 16．9人；70元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数元元=总人数元元，设一共有x人，列方程为，然后解出方程即可． 【详解】解：设一共有x人．根据题意得： ， 解得， ∴（元） 答：有9人；鸡的价格是70元． 17．小和尚有人，大和尚有人． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人， 由题意得，， 解得， （人）， 答：小和尚有人，大和尚有人． 18．壶中原来有斗酒． 【分析】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【详解】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【点睛】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $