精品解析：山东省烟台市蓬莱区（五四制）2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期期中学业水平考试初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列变量之间的关系中，是函数关系的是 ( ) A. 人的体重与年龄 B. 正方形的周长与边长 C. 长方形的面积与长 D. 中，y与x 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，是自变量．根据函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A、人的体重与年龄不成函数关系，故不正确； B、正方形的周长边长，则正方形的周长与边长成函数关系，故正确； C、长方形的面积长宽，有两个变量，故不正确； D、中，y与x不成函数关系，故不正确． 故选：B． 2. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ） A. 的值越大，梯子越陡 B. 的值越大，梯子越陡 C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数定义与性质，熟记“值越大越大；值越小越大；值越大越大”是解决问题的关键．据此逐项判断即可求解． 【详解】解：A.的值越大，梯子越陡，故原选项判断正确，符合题意； B.的值越小，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； C.的值越大，梯子越陡，故原选项判断错误，不合题意； D.陡缓程度与的三角函数值有关，故原选项判断错误，不合题意． 故选：A 3. 下列各式中，一定是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要反比例函数的定义，掌握形如（为常数且）或（）的函数是反比例函数成为解题的关键． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，即，符合的形式，且，因此一定是反比例函数，符合题意； B．，属于正比例函数（），不是反比例函数，不符合题意； C．，若未明确，当时，，因此不一定是反比例函数，不符合题意； D．不满足的形式，因此不是反比例函数，不符合题意． 故选：A． 4. 若的余角是，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数，求特殊角三角函数值．根据度数之和为90度的两个角互余，据此可得的度数，再根据特殊角三角函数值求解即可． 【详解】解：∵的余角是， ∴， ∴， 故选：A． 5. 已知反比例函数，其部分对应值如下表： … 1 2 … … … 下列判断不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由表格可知，若，根据函数的增减性可知，y随x的增大而减小，故，原说法正确，不符合题意； B、由表格可知，若，根据函数的增减性可知，y随x的增大而增大，故，原说法正确，不符合题意； C、由表格可知，若，根据函数图象分布可知，y随x的增大而增大，故，原说法错误，符合题意； D、由表格可知，若，根据函数图象分布可知，y随x的增大而减小，故，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线构造平行线． 取格点G，使，可得，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，取格点G，使， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 反比例函数图象经过点 B. 当时， C. 该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D. 若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 8. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，且， 故选：A． 9. 如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义．解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H，证明四边形和四边形都是矩形，得出，，根据反比例函数k值意义可得，设，则，得出，求出，得出答案即可；解法二：设，两点的坐标分别为、，根据点与点的纵坐标相同，点与点的纵坐标相同，得到，，由，，得到，根据与的距离为1，把代入中，即可求解． 【详解】解：解法一：过A、B、C、D分别向x轴做垂线，垂足为E、F、G、H， 则轴， ∵轴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， 根据反比例函数k值意义可得： ， ∵与之间的距离为1， ∴设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 解法二：设，两点的坐标分别为、， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同，即，解得， 点与点的纵坐标相同，即，解得， ∵，， ∴，解得， ∵与的距离为1， ∴ ， 把代入中，得， 故选：C． 10. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点F的坐标，可得MB=1，AB=2，连接AC，CM，交BD于点N1，连接A N1，此时MN+AN的最小值=M N1+A N1=CM，根据菱形和直角三角形的性质可得CM=，DN1=，进而即可得到答案． 【详解】解：∵图象右端点F的坐标为，M是AB的中点， ∴BD=，MN+AN=AB+MB=3MB=3， ∴MB=1，AB=2， 连接AC，CM，交BD于点N1，连接A N1，此时MN+AN的最小值=M N1+A N1=CM， ∵在菱形ABCD中，∠C＝120°， ∴∠ABC=60°， ∴是等边三角形， ∴CM⊥AB，∠BCM=30°， ∴BC=2×1=2，CM=， ∵AB∥CD， ∴CM⊥CD， ∵∠ADC=∠ABC=60°， ∴∠BDC=30°， ∴DN1=CD÷cos30°=2÷=， ∴E的坐标为， 故选C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，函数的图像，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0，由此可得2x﹣3≠0， 解得． 故答案为：． 【点睛】考点：分式有意义的条件. 12. 函数是二次函数，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：3． 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查反比例函数：根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积均等于比例系数k，由此建立等式并求解． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 14. 已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质、待定系数法求二次函数解析式，利用点求出常数项，由点B和点C纵坐标相同得出对称轴为，从而得到一次项系数与二次项系数的关系，再代入点坐标求出a和b的值，即可获得答案． 【详解】解：设该抛物线解析式为， 将点代入，得，即， ∴该函数解析式为， 由于点和点的纵坐标相同，故点B与点C关于抛物线的对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为， 又∵抛物线的对称轴公式为， ∴， 将点代入解析式，得，即， 将代入，可得，即， 解得， ∴， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：． 15. 如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题、仰角俯角问题．如图过点B作交于点D，过于点E，由题意求得，由平行可求得，再根据三角形外角的性质进而求得，由平行线的性质得，进而得，根据等角对等边得，设，在中，利用锐角三角函数求得， ，进而可得，再求解即可． 【详解】解：过点B作交于点D，过于点E，如图所示， 斜坡的坡度， ， ， ， ， ， ，竖直向上， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， 在中，，， 即，， ， ， ， ， 解得，， ， 故答案为：． 16. 一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 下列关于这个二次函数的结论不正确的是______．（填序号） ①二次函数的图象开口向下；②二次函数图象的对称轴是直线；③当时，y随x的增大而增大；④当时，． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 先将点、、代入中可得，由此可求得二次函数的解析式为，进而再根据二次函数的图象与性质一一分析各结论即可求解． 【详解】解：将点、、代入中， 得方程组：， 代入，得，即， 解得，， 故二次函数解析式为， ① ，函数图象开口向上，故结论①错误； ② 对称轴，故结论②正确； ③ 函数开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，因此当时，随的增大而减小，故结论③错误； ④ 当时，，故结论④错误； 因此，二次函数的结论不正确的：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. （1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可． 【详解】解：（1）原式 （2）且是锐角， ， ． 18. 如图，在中，分别是边上的高， ，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用求出的度数，进而利用求出的度数． 【详解】在中，． ∴ 在中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1）， 描点，画出函数图象如下： （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与横轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象； （2）利用二次函数图象和坐标轴的交点确定不等式的解集即可； （3）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：当时，得或， ∵点位于x轴正半轴， ∴； 列表得： 0 1 2 3 3 0 0 3 【小问2详解】 解：由图象得，当时，； 【小问3详解】 解：如图所示， 当时，． 20. 2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象 图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 （1）如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； （2）求机器人脖子点到水平面的距离． 【答案】（1）机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为 （2）机器人脖子点到水平面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，合理添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键： （1）易得，进而得到，解，求出的值即可； （2）过点作交的延长线于点，交于点，作交于点，分别解，，，根据线段的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，则， 在中， ∵cm，， ∴． 答∶机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离约为； 【小问2详解】 ∵， ∴脖子点到水平面的距离为． 如图，过点作交的延长线于点，交于点，作交于点， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵，由(1)知：， ∴． 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵cm，， ∴， 在中，∵，cm，， ， ∴， ∴． 答∶机器人脖子点到水平面的距离约为． 21. 已知二次函数（、为常数）． （1）若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值； （2）若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据题意得到平移后的表达式为，然后根据平移规律求解即可； （2）首先得到二次函数开口向上，然后分和两种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 根据题意得，平移后的表达式为 ∴原二次函数表达式为 ∵二次函数 ∴，； 【小问2详解】 ∵二次函数中二次项系数为 ∴开口向上， ∵点，在二次函数的图象上，且， ∴当时，即时， 解得 ∴ 当时， 解得 综上所述，． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足时x的取值范围． （3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查数形结合思想的运用． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可求出函数的解析式； （2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案； （3）过C点作轴，交直线于D，求出D的坐标，即可求得，然后根据 即可求出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，解得， ， 即反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由图象和两函数交点坐标，可知， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：如图，过点C作x轴的平行线交直线于点D， 由反比例函数图象的中心对称性质可知， ∵，在一次函数的图象上， ，解得， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴， 23. 近年来，大众不仅时刻关注环境空气质量的好坏，也逐渐重视饮用水水质的要求，于是净水器行业迎来了它的春天．某厂家生产和销售简易水龙头净水器，每台成本为元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，如表所示： （元） （万件） （1）当销售单价为多少元时，该厂商每月能获得万元的利润？ （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种简易水龙头净水器的销售单价不能高于元，如果厂商要获得每月不低于万元的利润，那么每月的最低生产成本需要多少万元？ 【答案】（1）销售单价为元或元时，该厂商每月能获得万元的利润； （2）当每月的销售单价为元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是万元； （3）每月的最低生产成本需要万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值，第小题关键是确定的取值范围． 根据表格中的数据求出每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系为，设每月获得的利润为，可得：，当时，可得方程，解方程即可求出销售单价； 把配方可得：，根据二次函数的性质可知，当每月的销售单价为元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是万元； 由二次函数的性质可知厂商要获得每月不低于万元的利润，则需要满足，根据一次函数的性质可知：当时，需要生产的件数最少，即成本最低，根据每件的成本为元，计算求出此时的成本即可． 【小问1详解】 解：设每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系为， 把，代入， 可得：， 解得：， 每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系为， 设每月获得的利润为， 则有， 整理得：， 解方程， 可得：，， 答：当销售单价为元或元时，该厂商每月能获得万元的利润； 【小问2详解】 解：由可知， 配方得：， 当时，有最大值，最大值为， 答：当每月的销售单价为元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是万元； 【小问3详解】 解：由可知的对称轴是， ， 抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大， 简易水龙头净水器的销售单价不能高于元， ， 一次函数中随的增大而减小， 当时，每月的成本最低， 最低成本是(万元)， 答：每月的最低生产成本需要万元． 24. 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点． （1）请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式； （2）连接，，求面积的最大值； （3）如图2，连接，过点D作分别交、y轴于M、E两点，当M为线段的中点时，求点D的坐标． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合一次函数与坐标轴的交点问题，得，，再代入进行列式计算，即可作答． （2）先过点D作直线轴，交于一点H，设，，则，故，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）先整理得，再分别求出的解析式为，因为，设的解析式为，设，， 则，得出，即，因为M为线段的中点时， ，再代入，得，解得（舍去），即可作答． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点， ∴令，则，故； ∴令，则，解得 故； ∵抛物线经过A、C两点， ∴把，代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点D作直线轴，交于一点H，如图所示： 由（1）得，， ∵D是第二象限内抛物线上一点． 设，， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、C两点， ∴ 则 ∵ ∴开口向下， ∴在对称轴时，有最大值， 且． 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由（1）得，， ∴令时，则， 即 解得 ∵ ∴ 设的解析式为 把，代入， 得， 解得， ∴的解析式为， ∵， ∴设的解析式为， 即 ∵D是第二象限内抛物线上一点． 设，， 则， ∴， ∵M为线段的中点时， ∴， ∴再把分别代入， 得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， 把代入， 得， 即点D的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的面积问题，一次函数的解析式与平移性质，图象性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学业水平考试初四数学试题 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列变量之间的关系中，是函数关系的是 ( ) A. 人的体重与年龄 B. 正方形的周长与边长 C. 长方形的面积与长 D. 中，y与x 2. 如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为，叙述正确的是（ ） A. 的值越大，梯子越陡 B. 的值越大，梯子越陡 C. 的值越小，梯子越陡 D. 陡缓程度与的函数值无关 3. 下列各式中，一定是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 若的余角是，则的值是（　　） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数，其部分对应值如下表： … 1 2 … … … 下列判断不成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 如图，点均在正方形网格的格点上，交于点，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 反比例函数图象经过点 B. 当时， C. 该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D. 若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 8. 二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 9. 如图，点A，C在反比例函数第一象限的图象上，点B，D在反比例函数第二象限的图象上，轴，，，与之间的距离为1，则的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 8 10. 如图1，在菱形ABCD中，∠C＝120°，M是AB的中点，N是对角线BD上一动点，设DN长为x，线段MN与AN长度的和为y，图2是y关于x的函数图象，图象右端点F的坐标为，则图象最低点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 函数是二次函数，则m的值为______． 13. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和，则的值为________． 14. 已知一条抛物线经过，，，四点，则此抛物线的解析式为______． 15. 如图，某公园内有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵竖直向上的古树，某游人在斜坡起点A处看古树树顶P的仰角为，在斜坡终点B处看古树树顶P的仰角为，则古树的高为______米． 16. 一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 5 0 … 下列关于这个二次函数的结论不正确的是______．（填序号） ①二次函数的图象开口向下；②二次函数图象的对称轴是直线；③当时，y随x的增大而增大；④当时，． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. （1）计算：． （2）已知是锐角，且，求的值． 18. 如图，在中，分别是边上的高， ，求的度数． 19. 在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． （1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； （2）结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； （3）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 20. 2025年春晚的机器人舞蹈《秧》展示了科技与文化的完美融合，机器人通过高精度技术实现精准动作、并与人类舞者默契配合，吸引了全球关注．某科技兴趣小组对此有着浓厚的兴趣，决定对机器人的动作进行研究，并测量一些数据，制作成一份动画作品．请根据表格中提供的信息，解决下列问题．(结果保留一位小数，参考数据∶，) 活动主题 机器人舞蹈动画制作 活动流程 小组成员分别收集了一些春晚机器人舞蹈的视频图片(如图①)，对动作进行逐帧分解，测量确定一些数据，绘制出一些图形，之后利用动画软件进行制作 分解动作与模型抽象 图形绘制与数据测量 将图形绘制抽象为图②，腰部平行于水平面，上半身腰部，大腿与腰部的夹角，与小腿的夹角，足部与水平面的夹角，，，， ，所有点均位于同一平面内 （1）如图②，过机器人腰部点作垂直水平面于点，求机器人膝盖点到机器人腰部点的水平距离； （2）求机器人脖子点到水平面的距离． 21. 已知二次函数（、为常数）． （1）若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值； （2）若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出满足时x的取值范围． （3）连接并延长交的另一支于点C，连接，求的面积． 23. 近年来，大众不仅时刻关注环境空气质量的好坏，也逐渐重视饮用水水质的要求，于是净水器行业迎来了它的春天．某厂家生产和销售简易水龙头净水器，每台成本为元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数，如表所示： （元） （万件） （1）当销售单价为多少元时，该厂商每月能获得万元的利润？ （2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）根据相关部门规定，这种简易水龙头净水器的销售单价不能高于元，如果厂商要获得每月不低于万元的利润，那么每月的最低生产成本需要多少万元？ 24. 如图1，已知直线与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线经过A、C两点，与x轴交于另一点B，D是第二象限内抛物线上一点． （1）请直接写出点A、C的坐标及抛物线的解析式； （2）连接，，求面积的最大值； （3）如图2，连接，过点D作分别交、y轴于M、E两点，当M为线段的中点时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $