精品解析：江苏省南京市鼓楼区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中学情分析八年级 数学 试题 注意：1、本作业共7页，分为必做题和附加选做题两部分，前26题为必做题满分100分． 2、后面4题为附加选做题，满分20分． 3、作业时间100分钟 （必做题部分，满分100分） 一．选择题（共6小题，每题2分） 1. 下列为勾股数的是（ ） A 2，3，4 B. ，， C. 6，7，8 D. 5，12，13 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0.121221222 B. C. D. 3. △ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC= (　 　) A. 6 B. 6 C. 6 D. 12 4. 如图，，若，，则CD的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 5. 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 6. 有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ） A. 甲、乙全等，丙、丁全等 B. 甲、乙全等，丙、丁不全等 C. 甲、乙不全等，丙、丁全等 D. 甲、乙不全等，丙、丁不全等 二．填空题（共10小题，每题2分） 7. 25的平方根是_____． 8. 与最接近的整数为______． 9. 如果直角三角形斜边上的中线长为，那么这个直角三角形的斜边长为______cm． 10. 小亮的体重为，精确到所得近似值为______ ． 11. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D，，则的周长为________． 12. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，MN 过点 O，且MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 MN=5cm，CN=2cm，则 BM=________cm． 13. 下列说法正确的是__________．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 14. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为_________． 15. 如图为一个数值转换器，当输入的x值为________后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 16. 如图①，在中，，，点C沿折叠与上点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为_____． 三．解答题（共10小题，共计68分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 求下列各式中x的值． （1） （2） 19. 在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）△ABC的面积为 ； （2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC的距离相等； （3）画出△ABC关于直线对称图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2． 20. 已知：如图，，，．求证：， 21. 计算图中四边形的面积． 22. 如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 23. 已知， （1）与的大小关系是__________． （2）证明你的结论． 24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 25. 已知直线外一点，请用三种不同方法过点作已知直线的平行线． (要求：i．用直尺和圆规作图；ii．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．) 26. 数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形中，，求度数.（答案：） 例2 等腰三角形中，，求的度数.（答案：或或） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形中，，求的度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解（1）后，小敏发现，度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围. （附加选做题部分，满分共20分） 27. 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和__________． 28. 如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长． 29. 【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 30. 如图①，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） （1）如图②，射线恰好经过点，求出此时的值； （2）当射线与边交于点时， ①请直接写出长的取值范围：__________； ②是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中学情分析八年级 数学 试题 注意：1、本作业共7页，分为必做题和附加选做题两部分，前26题为必做题满分100分． 2、后面4题为附加选做题，满分20分． 3、作业时间100分钟 （必做题部分，满分100分） 一．选择题（共6小题，每题2分） 1. 下列为勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. ，， C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数进行计算可得答案． 【详解】解：A、不是，因为22+32≠42； B、不，因为+≠； C、不是，因为62+72≠82； D、是，因为52+122=132． 故选D. 【点睛】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 2. 下列各数中，无理数是（ ） A. 0.121221222 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、0.121221222是分数，属于有理数，不符合题意． B、，是整数，属于有理数，不符合题意；， C、是分数，属于有理数，不符合题意 D、是无理数，符合题意． 故选：D． 3. △ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，则BC= (　 　) A. 6 B. 6 C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°， ∴BC=AB=6， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 4. 如图，，若，，则CD的长度为（ ） A. 10 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由全等的性质可得，，则由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握对应边相等的性质是关键． 5. 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A. 三角形三条中线的交点 B. 三角形三条高的交点 C. 三角形三条角平分线的交点 D. 三角形三边垂直平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质判断即可． 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点， 故选：D． 6. 有两个三角锥，，其中甲、乙、丙、丁分别表示，，，．若，，则下列叙述何者正确（ ） A. 甲、乙全等，丙、丁全等 B. 甲、乙全等，丙、丁不全等 C. 甲、乙不全等，丙、丁全等 D. 甲、乙不全等，丙、丁不全等 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答． 【详解】解：，，为公共边， ，即甲、乙全等； 中，，即， 虽，， 不全等于，即丙、丁不全等． 综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．找着，即是正确解决本题的关键． 二．填空题（共10小题，每题2分） 7. 25的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 8. 与最接近的整数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断再根据从而可得答案. 【详解】解： 而 更接近的整数是 故答案为：5 【点睛】本题考查的无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键. 9. 如果直角三角形斜边上的中线长为，那么这个直角三角形的斜边长为______cm． 【答案】20 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解题即可． 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线长为， ∴斜边长为：， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查斜边上中线等于斜边的一半这个知识点，熟记知识点是解题关键． 10. 小亮的体重为，精确到所得近似值为______ ． 【答案】43.8 【解析】 【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可． 【详解】解：根据四舍五入可知：，精确到所得近似值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是看清题目要求，掌握相关知识点． 11. 如图，在中，垂直平分线l交于点D，，则的周长为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长为． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故答案为：11． 12. 如图，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的角平分线交于点 O，MN 过点 O，且MN∥BC，分别交 AB、AC 于点 M、N．若 MN=5cm，CN=2cm，则 BM=________cm． 【答案】3cm 【解析】 【分析】根据角平分线的定义及平行线的性质证得∠MBO=∠MOB、∠NOC=∠OCN，根据等腰三角形的判定方法可得BM=MO，ON=CN，由MN=MO+ON=BM+CN即可求得BM的长. 【详解】∵∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点 O， ∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB， ∵MN∥BC，∴∠OBC=∠MOB，∠NOC=∠OCB， ∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠OCN， ∴BM=MO，ON=CN， ∴MN=MO+ON，即 MN=BM+CN， ∵MN=5cm，CN=2cm， ∴BM=5﹣2=3cm. 故答案为 3cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质和平行线性质等知识点，证明△BMO，△CNO 是等腰三角形是解决本题的关键． 13. 下列说法正确的是__________．（填序号） ①负数没有平方根；②负数的立方根是负数；③平方根等于它本身的数是0和1． 【答案】①② 【解析】 【分析】本题考查平方根定义、立方根定义等知识，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键． 根据平方根和立方根的定义及性质进行判断；负数没有实数平方根；负数的立方根是负数；平方根等于它本身的数只有0；从而确定答案． 【详解】解：①由任何实数的平方均为非负数，即可判断①正确； ②由负数的立方是负数，即可判断②正确； ③的平方根是；的平方根是，即可判断③错误； 综上所述，正确的是①②， 故答案为：①②． 14. 如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为_________． 【答案】130° 【解析】 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出点O是三角形三条角平分线的交点，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE， ∴点O是三角形三条角平分线的交点， ∵∠BAC=80°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×100°=50°， 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-50°=130°． 故答案为：130°． 【点睛】本题考查了到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，要注意整体思想的利用． 15. 如图为一个数值转换器，当输入的x值为________后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为． 【答案】625 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意结合算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：当输出的y的值为时，输入的值为， ， ， 所以当输入的x值为625后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为， 故答案为：625． 16. 如图①，在中，，，点C沿折叠与上的点D重合，连接，可以探究得到：；请在这一结论的基础上继续思考：如图②，在中，，，若，点G是边上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质和等腰三角形的性质可得，有，即；作P点关于的对称点，作交于N点，交于点，连接，得出，得出此时的最小值为的长，求出的长即为解答． 【详解】解：如图：关于的对称点，作交于N点，交于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∴，此时的最小值为的长， ∵， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠变换、勾股定理、含30°角的直角三角形、轴对称−路线最短问题等知识点，正确作出辅助线构造轴对称−路线最短问题的基本图形求最短距离是解题的关键． 三．解答题（共10小题，共计68分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）原式利用平方根和立方根的定义计算即可求解； （2）原式平方根的定义，零指数幂以及绝对值的代数意义计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，在计算过程中要注意运算法则． 18. 求下列各式中x的值． （1） （2） 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先将方程移项，然后根据平方根的定义即可求解； （2）先将方程移项，然后根据立方根的定义即可求解． 【小问1详解】 ， ， ， ， 解得：或； 【小问2详解】 ， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了根据平方根与立方根解方程，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根． 19. 在边长为1个单位长度的小正方形网格中，给出了△ABC（顶点是网格线的交点）． （1）△ABC的面积为 ； （2）在直线l上找一点P，使点P到边AB、BC距离相等； （3）画出△ABC关于直线对称的图形△A1B1C1；再将△A1B1C1向下平移4个单位，画出平移后得到的△A2B2C2． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用割补法求解可得； （2）作∠ABC的平分线，与直线的交点即为所求； （3）先作出△ABC关于直线的对称三角形，再向下平移4个单位即可． 【详解】（1）△ABC的面积为4×3-×1×2-×2×3-×2×4=4， 故答案为：4； （2）如图点P即为所找的点； （3）如图△A1B1C1和△A2B2C2即为所画的三角形． 【点睛】本题主要考查了作图-轴对称变换和平移变换，解题的关键是掌握轴对称变换与平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点． 20. 已知：如图，，，．求证：， 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．首先得出，进而利用全等三角形的判定方法得出即可． 详解】证明：， ， 在和中 ， ∴， ． 21. 计算图中四边形的面积． 【答案】四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，连接，由勾股定理得，然后通过勾股定理逆定理可得，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 【答案】20千米处，等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形． 【详解】解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得：， 即； ∴市场E应建在距A的20千米处； ∵，， 在和中， ， 可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形． 23. 已知， （1）与的大小关系是__________． （2）证明你的结论． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，平方差公式；掌握实数的大小比较方法是解题的关键． （1）根据算术平方根的性质，比较被开方数，即可求解； （2）根据题意可得，进而计算，即可得证． 【小问1详解】 【小问2详解】 证明：∵ ， ∴ ， 且 ，，故 ． 又 ∵ ， ∴ ， 即 ． 24. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点． （1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； （2）若∠ABC＝45°，AC＝16时，求EF的长． 【答案】（1）EF⊥AC，理由见详解；（2）EF=8 【解析】 【分析】（1）连接AE、CE，根据题意易得AE=CE，然后根据等腰三角形的性质可证； （2）由题意易得∠AEC=90°，然后根据直角三角形斜边中线定理可求解． 【详解】解：（1）EF⊥AC，理由如下： 连接AE、CE，如图所示： ∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，点E是BD的中点， ∴， ∴AE=CE， ∴△AEC是等腰三角形， ∵点F是AC的中点， ∴EF⊥AC； （2）由（1）可得：△AEC是等腰三角形，AE=BE，BE=EC， ∴∠ABE=∠BAE，∠EBC=∠ECB， ∴∠AED=2∠ABE，∠DEC=2∠EBC， ∵∠ABC=45°=∠ABE+∠EBC， ∴∠AEC=∠AED +∠DEC=2∠ABC=90°， ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴AC=2EF， ∵AC=16， ∴EF=8． 【点睛】本题主要考查直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形的斜边中线定理及等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 已知直线外一点，请用三种不同方法过点作已知直线的平行线． (要求：i．用直尺和圆规作图；ii．保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．) 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，垂直平分线，全等三角形的性质与判定，构造同位角相等，内错角相等，根据垂直于同一条直线的两条直线平行，即可求解． 【详解】解：如图，直线即为所求． 方法一：作，可以推出； 方法二：在直线上任取点A，连接的垂直平分线，直线于点B，交于点O，截取，连接，则； 证明：直线是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ， 内错角相等两直线平行． 方法三：过直线外任意一点作直线的垂线，再过点P作该垂线的垂线， 作根据垂直于同一条直线的两条直线平行，可以推出； 26. 数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形中，，求的度数.（答案：） 例2 等腰三角形中，，求的度数.（答案：或或） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形中，，求的度数. （1）请你解答以上的变式题. （2）解（1）后，小敏发现，的度数不同，得到的度数的个数也可能不同.如果在等腰三角形中，设，当有三个不同的度数时，请你探索的取值范围. 【答案】（1）或或；（2）当且，有三个不同的度数. 【解析】 【分析】（1）分为顶角和为底角，两种情况进行讨论. （2）分①当时，②当时，两种情况进行讨论. 【详解】（1）当为顶角，则， 当为底角，若为顶角，则， 若为底角，则， ∴或或. （2）分两种情况： ①当时，只能为顶角， ∴的度数只有一个. ②当时， 若为顶角，则， 若底角，则或， 当且且，即时， 有三个不同的度数. 综上①②，当且，有三个不同的度数. 【点睛】考查了等腰三角形的性质，注意分类讨论思想在数学中的应用. （附加选做题部分，满分共20分） 27. 如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．若小正方形与大正方形的面积分别是为1、8，则直角三角形两直角边和__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：，还要注意图形的面积和之间的关系．根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面积即可求得的值，根据即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为， 大正方形的面积是， ， ， 直角三角形的面积是， ∴， ， ． 舍去负值． 故答案为：． 28. 如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长． 【答案】20m． 【解析】 【分析】试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】将圆柱表面按一周半开展开呈长方形， ∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm， ∴x2=（1×8+4）2+162=400， ∴登梯至少=20m 故答案为：20m 【点睛】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键． 29. 【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 30. 如图①，在长方形中，已知，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） （1）如图②，射线恰好经过点，求出此时的值； （2）当射线与边交于点时， ①请直接写出长的取值范围：__________； ②是否存在这样的的值，使得？若存在，请求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②存在这样的值，使得，的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质； （1）先证明，得，根据勾股定理得，由，可得结论； （2）①分别计算两个边界点：由（）知：时，，当最小时，，此时，可得结论； （2）分两种情况：点在矩形的内部时，先求解， 再过点作于，过点作于，求解，，再建立方程求解即可；当点在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【小问1详解】 解：如图1， 四边形是长方形， ， ∴， 由轴对称得：， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）可知：当时，与重合，此时， 如图，当时，与重合，此时， ， 故答案为：； ②解：存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时，如图， ∵， 而，由（1）同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，过点P作于H，过点F作于G， ∴， 而， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ， ， 解得：； 当点在长方形的外部时，如图， ， ， ， ， ，（此时与重合）， 综上，存在这样的值，使得，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $