精品解析：辽宁省大连市瓦房店市2025-2026学年九年级上学期学情调研数学试卷

2025-2026学年度第一学期学情调研 九年级数学 2025.11 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时长120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，中心对称图形的定义：旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误； B、不是中心对称图形，故该选项错误； C、不是中心对称图形，故该选项错误； D、是中心对称图形，故该选项正确， 故选：D． 2. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵的半径为．点P在内， ∴， ∴的长可以是． 故选：D． 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”规律进行解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线为， 故选：A 4. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，选项A、B、C均不一定发生，选项D是几何定理，一定成立． 【详解】解：A、太阳从西边升起是不可能事件，故该选项错误； B、三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，到三边的距离不一定相等，故该选项错误； C、抛掷1枚硬币，硬币落地时可能正面朝上，也可能反面朝上，故该选项错误； D、直径所对的圆周角是直角（圆周角定理），该事件一定发生，属于必然事件，故该选项正确， 故选：D． 5. 如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据正方形的性质得出直角，确定旋转角度，根据旋转的性质得出为等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， 根据旋转的性质得，旋转角为，即， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故选：C． 6. 如图，、是的弦，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”，熟练掌握圆周角定理是解题关键．根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵、是的弦，， ∴， 故选：D． 7. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D 8. 不解方程，判断方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上说法都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：∵ 方程 中，, , , ∴ 判别式 , ∵ , ∴ 方程有两个不相等的实数根； 故选：C 9. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（ ） A. 13寸 B. 26寸 C. 12寸 D. 24寸 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确添加辅助线构造直角三角形是解题关键．连接，由得到点E为的中点，设圆O的半径的长为x，在中，根据勾股定理求出x的值，即为圆的半径． 【详解】解：如图，连接， ， 寸， 寸， 设圆O的半径的长为x，则， ， ， 在中，根据勾股定理得，， 解得， 半径的长度是13寸， 故选：A． 10. 如图，抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象和图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，①根据抛物线与y轴的交点位置可判断c的符号；②由抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线，可得抛物与x轴的另一个交点坐标为，当时，即可判断；③由，可得点，关于直线对称，即可判断． 【详解】解：①由图中可知函数与y轴的交点在负半轴， ，故①错误； ②抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线， 抛物与x轴的另一个交点坐标为， 当时，，即， 故②正确； ③点，都在该抛物线上，且， 点，关于直线对称， ， 故③正确， 综上，②③正确，共有2个， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解题的关键是熟记“关于原点的对称点，横纵、坐标都互为相反数”． 12. 二次函数图象与轴的交点坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，y轴上的点的横坐标为0．把代入即可求得． 【详解】解：把代入得，， 所以二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故答案为：． 13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350 盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0.473 0.472 0.471 0.470 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率知识，熟练掌握频率估计概率的知识是解答本题的关键，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝下”的概率接近， 故答案为：． 14. 某停车场入口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，那么扇形的面积为：．根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，部分扫过的图形面积=， 故答案为：． 15. 如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形性质，熟知切线的性质与圆周角定理是解题的关键． 连接，利用切线的性质得到，根据直角三角形两锐角互余得到，即可利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题的关键． （1）先将方程变形，再利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 解：，，， ， ， ，． 17. 已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位） （1）在网格中画出，使与关于原点对称，写出点坐标； （2）判断四边形的形状，并求出其面积． 【答案】（1）作图见解析，点坐标为 （2）四边形是平行四边形，四边形的面积为 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称图形作图、对称点坐标特征以及平行四边形的判定与面积计算，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定定理是解答本题的关键． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）确定的坐标，再通过找对称点作图； （2）根据中心对称的性质（对角线互相平分）判定四边形形状，再用割补法结合坐标计算平行四边形的面积． 【小问1详解】 （1）分别找到点、、关于原点对称的点、、，连接三个点即可； 如图所示，即为所求，出点坐标为； 【小问2详解】 （2），， ，， 四边形是平行四边形． 四边形的面积． 18. 元旦节期间电影院热映了3部电影、、，李华和王明两央分别从热映3部电影中任意选择1部观看，李华和王明选择以上3部电影的可能性相同． （1）求李华选择电影的概率； （2）请通过画树状图的方法，求李华和王明选择同一部电影的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）根据画树状图列出所有等可能结果数，再根据概率公式求解即可． 本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 【小问1详解】 李华选择电影有三种结果，且选择可能性相同． ∴； 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中恰好选择同一部电影的结果有：，共3种， 恰好选择同一部电影的概率为． 19. 如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． （1）求证：； （2）当E为弧中点时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由圆的半径相等可知，因此，，由四边形是菱形，得到，推出，即可得出结论； （2）由菱形的性质可知，因此，再根据，得到，所以，再根据圆周角定理可得，推出，进而即可求出的度数． 【小问1详解】 证明： ， ，， 在菱形中，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 为弧中点， ， ，设， ∴，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，圆的相关性质：圆的半径相等、在同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等，熟练掌握相关知识并灵活运用是解答的关键． 20. 图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 【答案】（1） （2）石块能飞越防御墙 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； （2）把代入函数解析式，求得y的值，与10作比较即可得解． 【小问1详解】 解：当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 点的坐标为， ， 解得： 抛物线的表达式为 【小问2详解】 当 时，，即石块能飞越防御墙 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点D．连接，与相交于点E． （1）如图1，连接，求，的度数； （2）如图2，若点D为的中点，且，求的长． 【答案】（1）， （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理得，由四边形是圆O的内接四边形得，进而即可求出的度数； （2）根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求的度数，再由弧长公式即可求解． 【小问1详解】 解：，O是的中点 ∴， ∵四边形是圆O的内接四边形， ∴， ； 【小问2详解】 解：连接， ，为中点， ， ， 为等边三角形， ， ， 的长为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求此抛物线的顶点坐标及点A，B的坐标； （2）点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G．当点M在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； （3）设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求n的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为，A点，B点 （2）的值为 （3）n<或n=或n= 【解析】 【分析】（1）利用配方法求得顶点坐标，令，解一元二方程即可求得A、B的坐标； （2）由题意设，，分当和时两种情况讨论，再结合题意确定符合条件的m值即可； （3）分情况讨论，结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线解析式为， 令，得：， 解得：或， ∴顶点坐标为，A点坐标为，B点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意得：抛物线对称轴为直线， ∵当时，， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵点M在x轴上方， ∴， 当时，如图1， 此时，点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，顶点处取最大值， ， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，如图2， 点离对称轴最远，其纵坐标是最小值，点离对称轴最近，其纵坐标是最大值， ， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述：图象的最高点与最低点的纵坐标差为6时，的值为； 【小问3详解】 解：如图3，当点D在E点上方时， ， ∴， 只有F在抛物线上满足要求， ∴， ， 把F点代入抛物线解析式得： ， 得，（舍）， 当点E在点D上方时， ， ∴， 如图4，当点G抛物线上时，满足要求， 此点G的纵坐标与上一情况的纵坐标相等， ∴， 如图5，当B在上时，有两个交点， ∴， ∴当时，正方形与抛物线只有一个交点， 综上：当或或时，与抛物线有且只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形中，，点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点落在的延长线上． （1）如图，若，，求证：； （2）如图，当点在边上时，（）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）如图，当点在延长线上时，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）成立，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（）证明即可求证； （）作，交于，则，同理（））证明即可求证； （）在上取点，使，连接，过点作于，可证为等边三角形，进而证明，得到，再利用勾股定理和直角三角形的性质解答即可求解． 【小问1详解】 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（）中的结论是否成立，证明如下： 如图，作，交于，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，在上取点，使，连接，过点作于， ∵为平行四边形 ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期学情调研 九年级数学 2025.11 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时长120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 平面内，的半径为，若点P在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线向左平移1个单位长度得到抛物线为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 明天太阳从西边升起 B. 三角形的外心到三边的距离相等 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 直径所对圆周角是直角 5. 如图，点E是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、是的弦，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 不解方程，判断方程的根的情况是（　　） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 以上说法都不正确 9. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点E，寸，寸，则半径的长度是（ ） A. 13寸 B. 26寸 C. 12寸 D. 24寸 10. 如图，抛物与x轴的一个交点A的坐标为，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若点，都在该抛物线上，则．其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 点（1，2）关于原点的对称点的坐标为__． 12. 二次函数图象与轴交点坐标为__________． 13. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝下次数 22 46 94 143 236 473 944 1413 2350 盖面朝下频率 0.440 0.460 0.470 0.477 0.472 0473 0.472 0.471 0.470 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝下”的概率约为______．（精确到0.01） 14. 某停车场入口栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到的位置，已知，若栏杆的旋转角，则线段扫过的图形面积为_____________．（结果保留） 15. 如图，已知是的直径，点D在的延长线上，切于点C，若，则的度数为________（用含的式子表示）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16 解方程： （1）． （2）． 17. 已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位） （1）在网格中画出，使与关于原点对称，写出点坐标； （2）判断四边形的形状，并求出其面积． 18. 元旦节期间电影院热映了3部电影、、，李华和王明两央分别从热映的3部电影中任意选择1部观看，李华和王明选择以上3部电影的可能性相同． （1）求李华选择电影的概率； （2）请通过画树状图的方法，求李华和王明选择同一部电影的概率． 19. 如图，菱形，以A为圆心，长为半径的圆分别交边于点E，F，G，H． （1）求证：； （2）当E为弧中点时，求的度数． 20. 图①是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．如图②，将发石车置于地面的点处，石块从发石车竖直方向上离地面米的点处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为米时达到最大高度，其最大高度是米．以点为原点，水平方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）在点处建有垂直于地面的防御墙，且米，米．通过计算说明石块能否飞越防御墙． 21. 如图，在中，，以为直径作，与相交于点D．连接，与相交于点E． （1）如图1，连接，求，的度数； （2）如图2，若点D为的中点，且，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． （1）求此抛物线的顶点坐标及点A，B的坐标； （2）点M、点N均在这个抛物线上（点M在点N的左侧），点M的横坐标为m，点N的横坐标为．将此抛物线上M、N两点之间的部分（含M、N两点）记为图象G．当点M在x轴上方，图象G的最高与最低点的纵坐标差为6时，求m的值； （3）设点，点，将线段绕点D顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形，当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，求n的取值范围． 23. 如图，在平行四边形中，，点在射线上，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的对应点落在的延长线上． （1）如图，若，，求证：； （2）如图，当点在边上时，（）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）如图，当点在延长线上时，连接，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $