17.2用公式法分解因式 教学设计2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学“用公式法分解因式”教学设计，聚焦平方差公式与完全平方公式的逆向运用，通过整式乘法逆向设问结合草坪改造面积计算的生活情境，衔接旧知，构建从已知到未知的学习支架。 此设计以分层探究（平方差与完全平方公式分类剖析）、几何验证（面积模型直观理解公式）和小组竞赛互动为特色，培养逻辑推理、直观想象与数学运算素养，例题覆盖基础到综合，助学生掌握“一提二套三查”步骤，提升分解能力，为教师提供清晰教学路径。

17.2用公式法分解因式 教学设计 一、核心素养目标 1.数学抽象：通过对平方差公式、完全平方公式逆向运用的探究，抽象出公式法分解因式的结构特征，理解公式中“a”“b”的广泛含义，将具体多项式转化为“因式乘积”的数学模型，提升抽象概括能力。 2.逻辑推理：经历“公式正向回顾→逆向猜想→验证应用→归纳方法”的推理过程，理解公式法分解因式与整式乘法的互逆关系，培养逆向思维、合情推理与演绎推理能力。 3.数学运算：熟练掌握平方差公式、完全平方公式在分解因式中的应用，能准确判断多项式是否符合公式结构，规范完成分解过程，规避符号、系数等运算错误，提升运算精准度。 4.直观想象：结合平方差公式、完全平方公式的几何意义，建立多项式结构与几何图形的关联，通过图形直观理解公式的合理性，深化数形结合思想。 5.数学建模：运用公式法分解因式解决代数式化简、求值等实际问题，将复杂多项式转化为简单因式乘积形式，体会数学运算的简化价值，建立高效运算模型。 6.数学思想：体会“逆向思考”“化繁为简”“分类讨论”的数学思想，形成“先判断结构，再选择公式”的分解思路，为后续分式运算、方程求解奠定基础。 二、教学重难点 （一）教学重点 1.公式法分解因式的核心公式：掌握平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)、完全平方公式a²±2ab+b²=(a±b)²的逆向运用，明确公式的结构特征。 2.公式的适用条件：能准确判断多项式是否符合平方差公式（两项、异号、均为平方形式）或完全平方公式（三项、首尾为平方、中间为两倍积）的结构特征。 3.公式的熟练应用：能根据多项式结构选择对应公式，正确确定“a”“b”，完成分解因式，并确保分解彻底。 （二）教学难点 1.公式适用条件的精准判断：在复杂多项式中，如含系数、负号或多项式项的式子，难以快速识别是否符合平方差或完全平方公式结构，易出现公式误用。 2.“a”“b”为复杂代数式时的运算：当“a”“b”是含系数的单项式（如2x）、多项式（如x+y）或含负号的代数式（如−3m）时，难以准确确定“a”“b”，导致平方或两倍积计算错误。 3.分解因式的彻底性：分解后剩余因式仍可继续分解时，易停止运算，如将4x⁴−1分解为(2x²+1)(2x²−1)后，未进一步分解2x²−1。 4.多种方法的综合运用：当多项式需先提公因式再用公式法时，难以把握“先提公因式，再用公式”的顺序，如分解3x²−12，易直接用平方差公式而非先提公因式3。 5.符号问题的处理：完全平方公式中中间项符号与因式符号的关联，平方差公式中负号的转化，易出现符号错误，如将−x²+y²误分解为−(x+y)(x−y)而非(y+x)(y−x)。 三、教学环节 （一）情境导入：逆向设问，唤醒旧知 1.旧知回顾：出示整式乘法计算题，学生快速完成并口述依据：（1）(x+3)(x−3)（2）(2a−b)²（3）(m+2n)(m−2n)。学生回答后，教师板书结果：（1）x²−9（2）4a²−4ab+b²（3）m²−4n²。 2.逆向设问：教师将板书内容反转，变为：（1）x²−9=？（2）4a²−4ab+b²=？（3）m²−4n²=？提问：“已知这些多项式，如何转化为几个整式的积的形式？这种变形就是我们今天要学的——用公式法分解因式。” 3.生活情境：学校要对一块边长为x米的正方形草坪进行改造，计划从一侧减少3米，另一侧增加3米，改造后草坪面积为x²−9平方米，如何快速表示改造后草坪的长和宽？引导学生得出x²−9=(x+3)(x−3)，长为(x+3)米，宽为(x−3)米，体会分解因式的实际意义。 4.师生互动：教师总结：“我们之前学过的平方差公式、完全平方公式，正向运用是整式乘法，逆向运用就是分解因式，这节课我们就来探索如何用这两个公式分解因式。” （二）探究新知：分类探究，构建方法 1.平方差公式法分解因式 （1）公式推导与结构分析 教师引导：“由整式乘法可知(a+b)(a−b)=a²−b²，逆向运用这个等式，就得到平方差公式的分解形式：a²−b²=(a+b)(a−b)。” 师生互动：组织学生小组讨论：“什么样的多项式能用平方差公式分解因式？”结合实例x²−9、m²−4n²、25a²−16b²，学生总结后，教师提炼适用条件：①多项式为二项式；②两项符号相反（一正一负）；③两项均能表示为某个整式的平方形式（即“平方差”结构）。 结构拆解：以x²−9为例，x²是x的平方，9是3的平方，两项异号，符合“a²−b²”结构，其中a=x，b=3，故分解为(x+3)(x−3)。强调“a”“b”可以是数、单项式、多项式。 （2）几何验证 出示边长为a的大正方形，在其中剪去一个边长为b的小正方形（b<a），剩余部分面积为a²−b²。将剩余部分拼成一个长方形，长为(a+b)，宽为(a−b)，面积为(a+b)(a−b)。教师引导：“同一图形面积两种表示相等，验证了a²−b²=(a+b)(a−b)，让我们从几何角度理解了公式的合理性。” （3）例题示范与练习 例1：分解因式：（1）4x²−25（2）−16m²+9n²（3）(x+y)²−(x−y)² 师生互动：（1）引导学生判断4x²−25符合平方差结构，4x²=(2x)²，25=5²，a=2x，b=5，结果为(2x+5)(2x−5)；（2）先提取负号，转化为−(16m²−9n²)=−[(4m)²−(3n)²]=−(4m+3n)(4m−3n)，强调两项异号的处理；（3）将(x+y)看作a，(x−y)看作b，结果为[(x+y)+(x−y)][(x+y)−(x−y)]=(2x)(2y)=4xy，强调整体思想。 即时练习：学生独立分解因式：（1）9a²−1（2）−x²+16（3）(a+2)²−9，教师巡视指导，重点纠正符号错误。 2.完全平方公式法分解因式 （1）公式推导与结构分析 教师引导：“由整式乘法可知(a±b)²=a²±2ab+b²，逆向运用就得到完全平方公式的分解形式：a²±2ab+b²=(a±b)²。” 师生互动：组织学生小组讨论：“什么样的多项式能用完全平方公式分解因式？”结合实例x²+6x+9、4a²−4ab+b²、m²+4mn+4n²，学生总结后，教师提炼适用条件：①多项式为三项式；②首尾两项是某个整式的平方形式，且符号相同；③中间项是首尾两项底数乘积的两倍，符号与左边二项式的符号一致（即“完全平方式”结构）。 结构拆解：以x²+6x+9为例，首尾x²=x²、9=3²，中间项6x=2·x·3，符合“a²+2ab+b²”结构，a=x，b=3，故分解为(x+3)²。以4a²−4ab+b²为例，首尾4a²=(2a)²、b²=b²，中间项−4ab=−2·2a·b，符合“a²−2ab+b²”结构，a=2a，b=b，故分解为(2a−b)²。 记忆口诀：引导学生总结“首平方，尾平方，首尾积的两倍放中央，符号跟着中间项，完全平方准能上”的口诀，强化结构记忆。 （2）几何验证 出示边长为(a+b)的大正方形，面积为(a+b)²，其由边长为a的正方形、边长为b的正方形及两个长a宽b的长方形组成，面积和为a²+2ab+b²，验证a²+2ab+b²=(a+b)²。同理，通过边长为(a−b)的正方形面积推导a²−2ab+b²=(a−b)²，实现数形结合理解。 （3）例题示范与练习 例2：分解因式：（1）x²−8x+16（2）25m²+30mn+9n²（3）−x²−2xy−y² 师生互动：（1）判断x²−8x+16为完全平方式，首尾x²=x²、16=4²，中间项−8x=−2·x·4，结果为(x−4)²；（2）25m²=(5m)²、9n²=(3n)²，中间项30mn=2·5m·3n，结果为(5m+3n)²；（3）先提取负号，转化为−(x²+2xy+y²)=−(x+y)²，强调首尾符号相同的重要性。 即时练习：学生独立分解因式：（1）a²+4a+4（2）9x²−12xy+4y²（3）−2ab+a²+b²，教师重点点评中间项符号与系数的处理。 3.综合方法：先提公因式，再用公式 教师提问：“如果多项式各项含有公因式，能否直接用公式法分解？”出示例子：分解因式3x²−12。学生可能直接用平方差公式，教师引导：“先观察是否有公因式，3x²−12的公因式为3，应先提公因式再用公式。” 例题示范：分解因式：（1）3x²−12（2）2a³−12a²+18a 解：（1）3x²−12=3(x²−4)=3(x+2)(x−2)（先提公因式3，再用平方差公式）；（2）2a³−12a²+18a=2a(a²−6a+9)=2a(a−3)²（先提公因式2a，再用完全平方公式）。 师生总结：分解因式的一般步骤为“一提（提公因式）、二套（套公式）、三查（查彻底）”，确保分解结果中每个因式都不能再继续分解。 （三）例题讲解：分层突破，强化应用 例3：基础型——公式直接应用 分解因式：（1）16x⁴−81y⁴（2）(a−b)²−6(a−b)+9 师生互动：（1）16x⁴=(4x²)²，81y⁴=(9y²)²，先分解为(4x²+9y²)(4x²−9y²)，再将4x²−9y²分解为(2x+3y)(2x−3y)，最终结果为(4x²+9y²)(2x+3y)(2x−3y)，强调分解彻底；（2）将(a−b)看作整体，符合完全平方式，结果为(a−b−3)²，强调整体思想。 例4：提升型——公式综合应用与代数式求值 （1）分解因式：x²−y²+2x+2y；（2）已知x+y=5，xy=4，求x²y+xy²−x−y的值。 师生互动：（1）分组分解，x²−y²=(x+y)(x−y)，2x+2y=2(x+y)，公因式为(x+y)，结果为(x+y)(x−y+2)；（2）先分解因式：x²y+xy²−x−y=xy(x+y)−(x+y)=(x+y)(xy−1)，代入x+y=5，xy=4，得5×(4−1)=15，强调分解因式简化求值的优势。 例5：易错型——符号与结构辨析 判断下列多项式能否用公式法分解因式，若能，写出分解结果；若不能，说明理由：（1）x²+y²（2）x²−2xy−y²（3）−a²−4b²+4ab 师生互动：（1）x²+y²是平方和，不是平方差，不能用公式；（2）x²−2xy−y²首尾符号相反，不符合完全平方式首尾同号的条件，不能用公式；（3）先整理为−(a²−4ab+4b²)=−(a−2b)²，能用品完全平方公式，强调符号与结构的调整。 （四）课堂互动练习：小组竞赛，即时反馈 组织学生以“小组竞赛”形式完成练习，每组推选1名代表上台板演，其他学生在练习本上完成，完成后小组间交换批改，教师针对共性问题集中讲解。 1.分解因式：（1）25−4x²（2）x²+14x+49（3）−3x²+6xy−3y² 2.分解因式：（1）(x²+1)²−4x²（2）a³b−ab³（3）(x−1)²−2(x−1)+1 3.先分解因式，再求值：4a²−12ab+9b²，其中a=3，b=1。 师生互动：重点点评第2题（1），学生易分解为(x²+1+2x)(x²+1−2x)后停止，需提醒继续分解为(x+1)²(x−1)²；第3题强调先分解为(2a−3b)²再代入求值，避免直接计算繁琐。对符号错误、分解不彻底等问题进行集中纠正。 （五）重点知识归纳概括 1.核心公式与结构特征 （1）平方差公式：①形式：a²−b²=(a+b)(a−b)；②适用条件：二项式、两项异号、均为平方形式；③关键：找准“a”“b”（平方后的底数），符号相反是前提。 （2）完全平方公式：①形式：a²±2ab+b²=(a±b)²；②适用条件：三项式、首尾为平方（同号）、中间为两倍积（符号随中间项）；③关键：验证“中间项=2×首项底数×尾项底数”，符号与中间项一致。 2.分解因式的一般步骤 第一步：提公因式——先观察多项式各项是否有公因式，若有，先提取公因式（提公因式是分解因式的首选步骤）； 第二步：套公式——若剩余因式是二项式，判断是否为平方差结构，用平方差公式；若剩余因式是三项式，判断是否为完全平方结构，用完全平方公式； 第三步：查彻底——检查分解后的每个因式是否还能继续分解，若能，继续分解至每个因式为最简整式； 第四步：验结果——用整式乘法将分解结果展开，与原多项式对比，验证正确性。 3.关键技巧与易错点规避 （1）整体思想应用：当“a”“b”为多项式时，将其看作一个整体，如(x+y)²−(x−y)²中，a=x+y，b=x−y。 （2）符号处理技巧：①平方差公式：两项异号，可提取负号转化为“正平方−负平方”，如−x²+y²=y²−x²=(y+x)(y−x)；②完全平方公式：首尾符号必须相同，若为负，先提取负号，如−x²−2xy−y²=−(x²+2xy+y²)。 （3）分解彻底性判断：①平方差公式分解后，若因式仍为平方差形式，继续分解，如x⁴−1=(x²+1)(x²−1)=(x²+1)(x+1)(x−1)；②完全平方公式分解后，因式为一次二项式，无需再分解。 （4）常见易错点：①平方差公式与完全平方公式混淆，如将x²−2xy+y²误分解为(x+y)(x−y)；②漏提公因式，如将2x²−8误分解为(√2x+2√2)(√2x−2√2)而非2(x²−4)=2(x+2)(x−2)；③中间项系数错误，如将x²+4x+4误分解为(x+4)²而非(x+2)²。 （六）教学小结 1.知识层面：本节课我们学习了用平方差公式和完全平方公式分解因式，明确了两种公式的适用条件与结构特征，掌握了“一提、二套、三查”的分解步骤，能根据多项式结构选择合适公式，确保分解彻底。 2.方法层面：经历了“逆向思考”的探究过程，理解了公式法分解因式与整式乘法的互逆关系，体会了整体思想、数形结合思想在分解因式中的应用，形成了“先判断结构，再选择方法”的解题思路。 3.应用层面：公式法分解因式是简化代数式运算的重要工具，在代数式求值、分式化简等问题中具有重要作用，需熟练掌握两种公式的应用技巧，规避符号、分解不彻底等错误。 （七）课后练习（含答案解析） 1.下列多项式能用平方差公式分解因式的是（） A.x²+y²B.−x²−y²C.x²−y³D.−x²+y² 2.多项式x²−6x+9分解因式的结果是（） A.(x+3)²B.(x−3)²C.(x+3)(x−3)D.(x−6)² 3.分解因式2a³−8a的结果正确的是（） A.2a(a²−4)B.2(a³−4a)C.2a(a+2)(a−2)D.2a(a−2)² 4.若x²+mx+16是完全平方式，则m的值为（） A.8B.−8C.±8D.±4 5.分解因式： （1）36x²−49y²（2）x²−10x+25（3）−4x²y+12xy²−9y³（4）(a+b)²−4a² 6.分解因式： （1）x⁴−16（2）a²−2ab+b²−c²（3）2x²−4x+2 7.先分解因式，再求值：(x²+y²)²−4x²y²，其中x=3，y=1。 8.已知a−b=3，ab=2，求代数式a³b−2a²b²+ab³的值。 答案解析 1.答案：D解析：A是平方和，B可化为−(x²+y²)是平方和的相反数，C中y³不是平方形式，D可化为y²−x²，是平方差，能用平方差公式。 2.答案：B解析：x²−6x+9符合完全平方式，x²=x²，9=3²，中间项−6x=−2·x·3，故分解为(x−3)²。 3.答案：C解析：2a³−8a先提公因式2a得2a(a²−4)，再用平方差公式分解为2a(a+2)(a−2)，A、B未分解彻底，D公式误用。 4.答案：C解析：x²+mx+16是完全平方式，可化为(x±4)²=x²±8x+16，故m=±8。 5.解析： （1）36x²−49y²=(6x)²−(7y)²=(6x+7y)(6x−7y)； （2）x²−10x+25=x²−2·x·5+5²=(x−5)²； （3）−4x²y+12xy²−9y³=−y(4x²−12xy+9y²)=−y[(2x)²−2·2x·3y+(3y)²]=−y(2x−3y)²； （4）(a+b)²−4a²=(a+b)²−(2a)²=[(a+b)+2a][(a+b)−2a]=(3a+b)(b−a)。 6.解析： （1）x⁴−16=(x²)²−4²=(x²+4)(x²−4)=(x²+4)(x+2)(x−2)； （2）a²−2ab+b²−c²=(a−b)²−c²=(a−b+c)(a−b−c)（分组分解后用平方差公式）； （3）2x²−4x+2=2(x²−2x+1)=2(x−1)²（先提公因式，再用完全平方公式）。 7.解析：原式=(x²+y²+2xy)(x²+y²−2xy)=(x+y)²(x−y)²；代入x=3，y=1，得(3+1)²(3−1)²=16×4=64。 8.解析：原式=ab(a²−2ab+b²)=ab(a−b)²；代入a−b=3，ab=2，得2×3²=2×9=18。 （八）教学反思 1.亮点之处：本节课以整式乘法逆向思考引入，自然衔接旧知与新知，符合学生认知规律；将公式法分为平方差公式和完全平方公式两类探究，结构清晰，便于学生理解；例题设计兼顾基础、提升与易错类型，覆盖“直接用公式、先提公因式再用公式、整体思想应用”等场景，分层突破难点；课堂采用小组竞赛形式，充分调动学生参与度，即时反馈并纠正错误，提升教学效率。 2.不足之地：对“分组分解后用公式”的讲解不够深入，如a²−b²+2a+2b，部分学生难以想到分组方法；对公式综合应用的练习量不足，学生在面对含多个字母或复杂结构的多项式时，仍难以快速判断公式适用类型；对学困生的个别指导不够，导致部分学生在符号处理、分解彻底性上仍存在问题。 3.改进方向：后续教学中，增加“分组分解”的专项练习，总结“分组后能提公因式或用公式”的分组原则；设计“多项式结构辨析表”，让学生通过表格对比平方差、完全平方及其他多项式的结构特征，提升判断能力；建立“错题档案”，收集学生常见错误，通过集中评讲、一对一辅导等方式突破难点；课后作业设计分层任务，基础题巩固公式应用，提升题侧重综合分解，满足不同层次学生需求。 学科网（北京）股份有限公司 $