第二十一章 一元二次方程 单元检测试题 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十一章一元二次方程单元培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.关于的一元二次方程的一个根是，则的值是(    ) A. B. C. D. 或 4.一元二次方程配方后可化为  (    ) A. B. C. D. 5.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 6.用公式法解方程时，，，的值分别为(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7.方程的解是(    ) A. B. C. 或 D. 或 8.若，是方程的两个实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 9.定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是  (    ) A. B. C. D. 10.如图，在长为，宽为的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，草坪的面积为若设道路的宽为，根据题意所列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.已知是关于的一元二次方程，则的值为          ． 12.如果是方程的一个根，那么代数式的值为          ． 13.如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是          ． 14.已知为实数，若，则          ． 15.若，是方程的两个实数根，则的值为          ． 16.设与为一元二次方程的两根，则的值为          ． 17.若，则          ． 18.某药品经过两次降价，每瓶零售价由元降为元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为，根据题意列方程得          ． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.（本小题10分）用合适的方法解下列方程： ． 20.本小题分 已知关于的方程． 当为何值时，此方程是一元一次方程？ 当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 21.本小题分 定义：如果关于的一元二次方程有一个根是，那么我们称这个方程为“方程”． 判断：一元二次方程 ______填“是”或“否”为“方程”． 已知关于的一元二次方程． 当、满足什么关系时，该方程是“方程”； 若方程是“方程”，求代数式的最小值． 22.本小题分 已知关于的一元二次方程． 求证：无论取任何实数值，方程总有实数根； 若等腰的一边长为，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 23.本小题分 阅读材料并解答问题： 为解方程，我们可以将看成一个整体，然后设，则原方程可化为，解得，当时，，，解得当时，，，解得，原方程的根为，，，． 在由原方程得到方程的解题过程中，利用          法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想． 请利用以上方法解方程：；                                           ． 24.本小题分 某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元． 若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； 若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 25.本小题分 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． 材料理解：一元二次方程的两个根为，，则          ，          ； 类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是          ； 思维拓展：实数，满足，，且，求的值． 答案和解析 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17.   18.   19. 解：因式分解，得， 于是得或， ，． 方程两边同除以，得， 于是得， ，． ，，， ， 方程有两个不相等的实数根 ， ，． 移项，得， 因式分解，得， 于是得或， ，．   20. 解：根据题意，得且． 解得． 所以当时，此方程是一元一次方程； 根据题意，得． 解得． 此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．  21. 解：当时，， 一元二次方程是“方程”； 故答案为：是； 该方程是“方程”， 即为方程的解， ， ； ， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 22. 【小题】 证明：，无论为何值，方程总有实数根； 【小题】 解：由知．，．是等腰三角形，由题意知可分三种情况：当时，三边是，，，此时周长是；当时，三边是，，，不能构成三角形；当时，三边是，，，此时周长是．综上所述，的周长是或． 23. 【小题】 换元 【小题】 设，则原方程可化为，解得，当时，，无实数根；当时，，解得．原方程的根为，  设，则原方程可化为，解得，当时，，解得；当时，，解得．原方程的根为，，，  24. 【小题】 解：设每次下降的百分率为，由题意，得， 解得或舍去． 答：每次下降的百分率为； 【小题】 设每千克应涨价元，由题意，得， 解得，．，． 答：每千克应涨价元．  25. 【小题】      【小题】 【小题】 解：由题意，得，是一元二次方程的两根，，． ． ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $