精品解析：陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年度第一学期期中考试高二年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数为纯虚数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 已知在数列中，，则（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 1 B. 0.79 C. 0.7 D. 0.21 6. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18 D. 已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 10. 已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 11. 已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（ ） A. 该四面体相对的棱两两垂直 B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心 C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线） D. 该四面体三组对棱平方和相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是偶函数，则_____． 13. 若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_____． 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 16. 已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 19. 已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的下焦点为，若，求； （3）记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年度第一学期期中考试高二年级数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设复数为纯虚数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义，结合共轭复数的定义求解. 【详解】复数为纯虚数，则，解得，则， 所以. 故选：A 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出方程的解，得到集合，再利用交集的运算求解. 【详解】的解为或或，则集合， ， . 故选：D. 3. 已知是单位向量，则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由为单位向量，可得，结合向量数量积公式计算即可得. 【详解】由为单位向量，则， 故. 故选：C. 4. 已知在数列中，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】逐项计算可得数列周期性，利用周期性即可得解. 【详解】由，则， 又，故，，， ，， 故数列以为周期，则. 故选：A. 5. 已知事件相互独立，且，则（ ） A. 1 B. 0.79 C. 0.7 D. 0.21 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件的性质计算可得，再利用并事件概率公式计算即可得. 【详解】由事件相互独立，故， 则. 故选：B. 6. 已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可. 【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件， 故选C. 【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将已知等式进行化简，得到关于的表达式，再换元利用二倍角公式求出的值. 【详解】由可得. 因为，变形为.得到. 两边同时平方得，即. 设，则，即.解得或. 当时，，得到，. 当时，，得到， 由于，这种情况舍去. 故选：D. 8. 已知椭圆方程为，长轴的左右两个顶点分别为，，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出点，再表示出，，，结合椭圆方程与离心率定义代入计算即可得. 【详解】如图，设，则，有，即， 则，，， 则有， 则. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，某个个体被抽到的概率是0.2 B. 若样本数据的平均值为8，则数据的平均值为15 C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的50%分位数是18 D. 已知一组数据的平均数为4，则这组数据的方差是5 【答案】ABC 【解析】 【分析】借助概率公式计算可得A；借助平均数公式计算可得B；借助百分位数定义计算可得C；借助平均数公式与方差公式计算可得D. 【详解】对A：，故某个个体被抽到的概率是0.2，故A正确； 对B：， 故数据的平均值为15，故B正确； 对C：将这组数据从小到大重新排列： 12，14，15，17，19，23，27，30， 由，故50%分位数是，故C正确； 对D：，解得，则这组数据的方差为： ， 故这组数据的方差是，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】将点的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式即可判断B；由三点共线及斜率性质可得，再利用抛物线方程计算可判断C；利用及焦半径公式即可判断D. 【详解】由在抛物线上，则有，即，故抛物线方程为； 对A：由抛物线方程为，则准线方程为，故A正确； 对B：由抛物线方程为，则， 则，，， 由，则，即， 又，，， 则，故B正确； 对C：若三点共线，则，即， 即有，故， 整理得，即，则或， 若，由，可得，故； 若，则； 综上可得：，故C错误； 对D：设的中点为，则， 又，则，故， 则，故，即的中点到轴距离的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（ ） A. 该四面体相对的棱两两垂直 B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心 C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线） D. 该四面体三组对棱平方和相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用向量法AD选项，用几何法判断BC选项． 【详解】选项A，如图，四面体中，是所在棱中点，， 设，则 ， ， ，即，所以， 所以 ，即，所以，即，所以，同理，A正确； 选项B，设平面，是垂足，平面，所以， 又，平面，所以平面，而平面，所以，同理，所以是平面垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B错； 选项C，如上图，平面， 平面，平面，是垂足，先证明相交， 平面，平面，所以，又，平面，所以平面，同理平面， 所以平面和平面重合，即共面，它们必相交，设，下面证明平面， 与证明平面同理可证得平面，又平面，所以，同理由平面可证得，而是平面内两相交直线，所以平面，因此与重合，同理可证平面，C正确； 选项D，由选项A的讨论同理可得， ， ， 所以，同理，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是偶函数，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求解. 【详解】函数的定义域为R，由是偶函数， 得， 而不恒为0，因此，所以. 故答案为：1 13. 若数列满足，则称数列为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是_____． 【答案】100 【解析】 【分析】根据题设易知正项数列为等差数列，公差为，应用等差数列前n项和公式得，应用基本不等式求最大值. 【详解】由题意，正项数列为“调和数列”，则（为常数）， 所以正项数列为等差数列，公差为， 则，则， 则（当且仅当时等号成立）， 所以的最大值是100. 故答案为：100. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点. （1）求点到直线的距离； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. 【小问1详解】 建立如图所示空间直角坐标系 得,,,, 所以, 所以点到直线的距离为 【小问2详解】 设平面的一个法向量为 由（1）可知,, 易知 令，得 所以 所以点到平面的距离为 16. 已知圆过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）经过点的直线与圆相切，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分直线的斜率不存在和存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：设圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得， 则直线的方程为，即. 故直线的方程为或. 17. 已知数列的前项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助与的关系，结合等差数列定义计算即可得； （2）分与进行讨论即可得. 【小问1详解】 当时，， 当时， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以； 【小问2详解】 设数列的前项和为， 由，则当时，，， 此时， 当时，， 所以； 综上所述，数列的前项和． 18. 记的内角的对边分别为，已知． （1）求的值； （2）的角平分线交于点 ①证明：； ②若，求的最大值． 【答案】（1）2 （2）①的角平分线交于点，， 即，由，得， 由余弦定理得：， 则，所以. ②． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦及正弦定理角化边求解. （2）①由结合角平分线，利用三角形面积公式，结合余弦定理推理得证；②由①的信息，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理及， 得 . 【小问2详解】 ①略 ②由①得， 当且仅当，即时取等号，所以取得最大值. 19. 已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的下焦点为，若，求； （3）记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1） （2） （3）证明：由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 【解析】 【分析】（1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 由双曲线的定义可得， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $