精品解析：吉林长春市第十七中学2025-2026学年高二下学期第三学程考试数学试卷

长春市第十七中学2025－2026学年度下学期 高二第三学程考试数学试卷 出题人：张莉静，刘雪峰 校对人：刘妍妍，郑帅，刘立波 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集和补集的定义直接计算即可. 【详解】由题意得，所以， . 故选：A 2. 设, 则 “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由一定可得出；但反过来，由不一定得出，如，故选A. 【考点定位】本小题主要考查充分必要条件、不等式的性质等基础知识，熟练掌握这两部分的基础知识是解答好本类题目的关键. 3. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解． 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可. 【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则， 因此，解得． 故选：A． 5. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知方程有实数解，即求. 【详解】由题知方程有实数解， ∴， 解得， 故选：B. 6. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性与单调性比较大小. 【详解】是偶函数，， 在上单调递增，. 故选：A 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 8. 定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】构造函数，，则， 由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以， 所以， 则不等式等价于， 故，即，所以不等式的解集为. 二、多选题（每题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特值法判断A；根据不等式的性质判断B；利用作差法判断CD. 【详解】对于A，当，，，时，满足且，此时，故A错误； 对于B，，则，所以，故B正确； 对于C，，则， ，则，故C正确； 对于D，，则，， ， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 11. （多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（ ） A. 的周长为4a B. 当直线垂直于轴时， C. 若，，则椭圆的离心率为 D. 当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用焦点三角形边长关系可得的周长；B选项，当直线垂直于轴时，可以将横坐标代入椭圆方程，得到纵坐标，从而得到；C选项，利用，，可得，，分别在和中，计算，可得，从而得到离心率；D选项假设存在满足条件的点，可求得即可. 【详解】对于选项A，的周长，故A正确； 对于选项B，当直线垂直于轴时，将代入，得，，故B正确； 对于选项C，，，， ，，，，. 在中， 在中，，得， ，，故C错误； 对于选项D，假设存在满足条件的点，过点向圆引两条切线，设切点为和， 因为，，，， 所以四边形为正方形，所以. 所以当时，椭圆上存在点满足题意，故D正确． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数（且）的图象恒过定点是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出时，为定值，从而求出函数图象所过定点. 【详解】当，即时，为定值，此时， 故（且）的图象恒过定点. 故答案为： 13. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 【答案】19 【解析】 【详解】已知从第五层开始，塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列， 将第五层的塔的数目设为，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为， 则， 则第十二层对应． 14. 已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，并得到；根据切线互相垂直可得，由此得到，令，根据二次函数的性质求范围，从而得解. 【详解】当时，，， ，， ∴在处的切线方程为，即， 令可得，； 当时，，，所以，， 所以在处的切线方程为：，即， 令可得，， ∵两条切线互相垂直，，， ， 令，，. 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设集合，非空集合． （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，再根据交集和并集的定义计算即可； （2）若，，则根据集合的包含关系求出参数的范围即可. 【小问1详解】 ． 因为，所以， 所以，． 【小问2详解】 由于且， 故，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 已知定义域为的函数为奇函数. （1）求和的值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质可得，可得，又由可得出关于的等式，由此可解得实数的值，即可求解； （2）由（1）的结论，分析可得在上是增函数且为奇函数，进而可以将不等式转化为，结合函数的单调性即可得，求解即可． 【小问1详解】 由题意知函数为定义在上的奇函数， 则有，解得， 所以， 因为函数为奇函数，则， 而， 所以，整理可得， 即对任意的恒成立，解得， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可得，所以在上单调递增， 由可得， 所以，所以， 即，解得， 所以不等式的解集为. 17. 在数列中，为数列的前项和，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若.求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由前n项和求递推关系，应用等比数列定义证明等比求通项公式； （2）应用裂项相消法计算即可. 【小问1详解】 当时，，解得. 当时， 即，易知，所以. 所以是以为首项，以2为公比的等比数列. 故. 【小问2详解】 ， 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点为，由抛物线的性质可直接求出，再求得抛物线C的方程； （2）（ⅰ）联立抛物线与直线方程，使用韦达定理得到，再根据，再求实数的值；（ii）根据三角形重心的坐标公式设点，再由韦达定理表示为的表达式，通过转化求得重心的轨迹方程. 【小问1详解】 由抛物线的焦点为可得 ， 所以抛物线C的方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）联立抛物线与直线的方程可得 ，整理得，故； ，，解得，． （ⅱ）由（i）得，， 设重心坐标为，则即 所以即. 19. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1）讨论函数，的凹凸性； （2）在中，求证：； （3）若个正实数满足，求证：. 【答案】（1）凹函数； （2）证明：由（1）知，当且仅当时等号成立； （3）证明：设，则，在上恒成立，所以在上是凹函数， 个正实数满足，则， 所以， 即 ， 所以． 【解析】 【分析】（1）对再求导得，由的正负得凹凸性； （2）利用凹凸性的性质证明； （3）构造新函数，确定凹凸性后，利用凹凸性证明． 【小问1详解】 ，则，， 当时，， 所以是凹函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题考查学生的创新应用能力，由题意考察函数的凹凸性，只要对函数的导函数再一次求导，然后判断这个导数的正负，得了结论.第（3）小题我们必须从要证明的不等式出发取对数后，引入新函数，然后利用它们凹凸性证明不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第十七中学2025－2026学年度下学期 高二第三学程考试数学试卷 出题人：张莉静，刘雪峰 校对人：刘妍妍，郑帅，刘立波 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设, 则 “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （ ） A. B. C. D. 2 4. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 11. （多选题）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于，两点，则（ ） A. 的周长为4a B. 当直线垂直于轴时， C. 若，，则椭圆的离心率为 D. 当时，椭圆上存在点，使得点向圆所引的两条切线互相垂直 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数（且）的图象恒过定点是______. 13. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 14. 已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于，两点，则的取值范围是________． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 设集合，非空集合． （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知定义域为的函数为奇函数. （1）求和的值； （2）求不等式的解集. 17. 在数列中，为数列的前项和，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若.求数列的前项和. 18. 已知抛物线的焦点为． （1）求抛物线的方程； （2）设直线与抛物线相交于两点， （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）为坐标原点，求重心的轨迹方程． 19. 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凸函数”.若，，，为上任意个实数，满足，则称函数在上为“凹函数”当且仅当时等号成立.也可设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. （1）讨论函数，的凹凸性； （2）在中，求证：； （3）若个正实数满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $