贵州省凯里市第一中学2025-2026学年高三上学期期中检测数学试题

凯里市第一中学2025-2026学年高三上学期期中检测数学试卷 命题学校：凯里市第一中学 注意事项: ．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3.请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液等。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数若在上单调递增，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 2.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是(    ) A. 圆柱的侧面积为 B. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 C. 圆锥的侧面积为 D. 圆柱的侧面积与球表面积相等 3.双曲线的左焦点到右顶点的距离为(    ) A. B. C. D. 4.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 5.若直线与曲线相切，则实数(    ) A. B. C. D. 6.若函数不存在极值，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 7.满足条件，，的等差数列共有个． A. B. C. D. 8.已知是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知数列是公差为的等差数列，其前项和为，若，，则下列说法正确的有(    ) A. B. C. D. 时，取最大值 10.三棱锥的各棱长均为，其内切球半径为，外接球半径为，下列说法正确的是(    ) A. B. C. 内切球与各面相切于重心 D. 该三棱锥的体积为 11.对于的展开式，下列说法正确的是(    ) A. 展开式共有项 B. 展开式的各项系数之和为 C. 展开式中的常数项是 D. 展开式的各二项式系数之和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的倍，则 ______． 13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球设各层球数构成一个数列，则 ______， ______． 14.已知复数为虚数单位，则 ______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知集合，． 若，求的取值范围； 如果是的真子集，求的取值范围． 16.本小题分 某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法学期末，对两个学校的高一年级的学生期末考试成绩进行了分析，成绩分为优秀分及以上和非优秀分以下两个等级，以下是实验结果的列联表： 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 乙校 合计 请根据以上信息，完成列联表； 根据列联表中的数据，使用卡方检验判断是否有的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关？ 参考数据： ，其中，是总样本数． 17.本小题分 某学校有两个学生食堂，学生在就餐时，一食堂有种套餐选择，二食堂有种套餐选择；一食堂距离教学楼相比于二食堂要近很多，经调查发现，名不同性别的学生在选择食堂就餐时，有如下表格： 男 女 在一食堂就餐 在二食堂就餐 某天甲、乙两名同学选择同一套餐的概率是多少？ 能否有的把握认为性别与选择食堂之间有关系？ 附；． 18.本小题分 多样性指数是生物群落中种类与个体数的比值在某个物种数目为的群落中，辛普森多样性指数，其中为第种生物的个体数，为总个体数当越大时，表明该群落的多样性越高． 已知、两个实验水塘的构成如下： 绿藻 衣藻 水绵 蓝藻 硅藻 若从、中分别抽取一个生物个体，求两个生物个体为同一物种的概率 比较、的多样性大小 (ⅱ)根据(ⅰ)的计算结果，分析可能影响群落多样性的因素． 19.本小题分 对于正整数，如果个整数满足， 且，则称数组为的一个“正整数分拆”记均为偶数的“正整数分拆”的个数为均为奇数的“正整数分拆”的个数为． Ⅰ写出整数的所有“正整数分拆” Ⅱ对于给定的整数，设是的一个“正整数分拆”，且，求的最大值 Ⅲ对所有的正整数，证明：并求出使得等号成立的的值． 注：对于的两个“正整数分拆”与，当且仅当且时，称这两个“正整数分拆”是相同的 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：，，， 若在上单调递增，则在恒成立， 即，，， 令，， 其对称轴为，所以的最大值为， 故只需即． 故答案为：． 根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 本题考查利用函数的单调性求参，属于中档题． 2.【答案】  【解析】解：根据题意可得圆柱的侧面积为，所以选项正确； 所以圆柱的表面积为， 又圆锥的高为， 所以圆锥的侧面积为，所以选项正确； 所以圆锥的表面积为， 又球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球表面积相等，所以选项正确； 综合可得三个几何体的表面积中，圆锥的表面积最小，所以选项错误． 故选：． 根据圆柱，圆锥，球的几何性质，即可求解． 本题考查圆柱，圆锥，球的几何性质，属基础题． 3.【答案】  【解析】解：双曲线的，， ， 可得右顶点为，左焦点为， 可得左焦点到右顶点的距离为． 故选：． 求得双曲线的，，由，可得，即可得到左焦点和右顶点，进而得到它们的距离． 本题考查双曲线的左焦点和右顶点的距离，注意运用双曲线方程求得基本量，，，考查运算能力，属于基础题． 4.【答案】  【解析】解：因为，所以， 因为，所以， 又因为， 所以． 故选：． 根据题意，由条件可得，，，即可得到结果． 本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，属于基础题． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查倒数的几何意义，属于基础题． 设切点为，对函数求导，利用导数的几何意义计算即可． 【解答】 解：设切点为，则由题意可知， 所以即 故选： 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用导数根据极值求参，属于基础题． 求出函数的导函数，依题意恒成立，则，即可求出参数的取值范围． 【解答】 解：因为的定义域为， 且， 又函数不存在极值， 则没有变号零点， 所以恒成立，则，解得， 即的取值范围是． 故选： 7.【答案】  【解析】解：等差数列中， ，，， 由，得． 设等差数列的公差为， 则， 当时，由，得或，此时或； 当时，由，得，此时； 当时，由，得或，此时或． 满足题意的等差数列共有个． 故选：． 由得，根据枚举法列出所有的情况，即可求解． 本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8.【答案】  【解析】解：因为定义在上， 所以中的式子要有意义，需满足，解得， 因为，所以，即， 设函数，则在定义域上单调递减． 要求， 则当，即时，，即， 所以，解得或，所以； 当，即时，，即， 所以，解得， 在中， 令得，而在中，当时，有，显然成立； 综上，的解集为． 故选：． 由已知不等式特点构造函数，对其求导，结合导数与单调性关系即可求解． 本题主要考查了导数与单调性关系在不等式求解中的应用，属于中档题． 9.【答案】  【解析】解：，， 则，， 故，， 所以，故AB正确， ， 则，即，故C正确； 由，，， 则时，取最大值，故D正确． 故选：． 根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，求出，，再结合等差数列的性质，求出，再结合等差数列前项和的定义，即可求解． 本题主要考查等差数列的前项和公式，属于基础题． 10.【答案】  【解析】解：因为三棱锥的各棱长均为，则该三棱锥为正四面体． 因此根据勾股定理，底面的高为则底面三角形的外接圆半径为， 因此该四面体的高为． 因此正四面体的外接球半径为，故B选项正确． 因为正四面体的外接球球心和内切球球心重合，正四面体的高为顶点到底面的距离且经过球心， 正四面体外接圆半径是顶点到球心的距离，而内切圆半径是球心到底面的距离，因此有，那么内切球半径为故A选项错误． 因为正面体的内切球是切于各面的重心的，因此选项正确． 因为，因此该三棱锥的体积为，故D选项正确． 故选：． 首先根据已知条件判断该三棱锥是正四面体，然后结合正四面体的结构特征和性质逐一判断选项即可． 本题考查棱锥的体积，属于中档题． 11.【答案】  【解析】解：对于，，故展开式共有项，A错误； 对于，令，则，B正确； 对于，展开式中的通项是， 令，则，故常数项为，C错误； 对于，展开式的二项式系数和为，D正确． 故选：． 利用二项式展开式的性质即可求解，利用赋值法即可求解，由二项式系数和的性质即可求解，根据通项特征即可求解． 本题考查二项式定理的应用，属于基础题． 12.【答案】  【解析】解：二项式的展开式中含项的系数为，展开式的常数项为， 则由已知可得，解得， 故答案为：． 根据二项式定理分别求出展开式中含项的系数以及常数项，根据已知建立方程，由此即可求解． 本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题． 13.【答案】   【解析】解：由题意可知，，，， ， ， ， ． 故答案为：；． 根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数与层数的关系，得到即可得解． 本题考查各层球的数与层数的关系、数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 根据复数的四则运算法则计算即可． 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 15.【答案】解：当时，，即时，满足； 当时，由可得， 解得， 综上所述：实数的取值范围是； 因为是的真子集，所以， 解得， 即的取值范围为  【解析】当时，满足；当时，根据子集关系列式可得结果； 根据真子集关系列式可求出结果． 本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题． 16.【答案】答案见解析；   有的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关，理由见解析．  【解析】 学校 成绩 合计 优秀 非优秀 甲校 乙校 合计 根据题意可知，得到： ， 故有的把握认为“推广新课改与成绩是否优秀”有关． 分析数据，完善列联表，得到答案； 计算出卡方，与比较后得到答案． 本题考查了独立性检验，属于基础题． 17.【答案】；   有的把握认为性别与选择食堂之间有关系．  【解析】一共有种套餐，甲和乙选择一种，共有种方法， 甲和乙两名同学选择同一种套餐有种方法， 所以甲、乙两名同学选择同一套餐的概率； 零假设：：性别与选择食堂之间独立， ， 所以推断不成立，犯错的概率不超过， 即有的把握认为性别与选择食堂之间有关系． 根据古典概型概率公式，即可求解； 首先根据表格的信息计算，再和临界值比较，即可判断． 本题考查古典概型的概率公的应用，独立性检验原理的应用，属基础题． 18.【答案】解： 从，中分别抽取一个生物个体，，这两个生物个体为同一物种的概率为 由题，因为， ， 所以的多样性较高； 由，水塘的多样性较高，对比表格数据， 水塘的衣藻，水绵相对于水塘的较少，且绿藻较多，如这种竞争导致不同物种的生态化分化将增加群落间的物种多样性．  【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中等题． 利用互独立事件的概率乘法公式计算从，中分别抽取相同的生物的概率，再相加即可； 由题直接计算出，对应的辛普森多样性指数，对比即可得到答案； 从数据对比分析即可． 19.【答案】Ⅰ，，，，；Ⅱ为偶数时，，为奇数时，；Ⅲ证明见解析，，  【解析】【分析】 Ⅰ根据题意直接写出答案． Ⅱ讨论当为偶数时，最大为，当为奇数时，最大为，得到答案． Ⅲ讨论当为奇数时，，至少存在一个全为的拆分，故，当为偶数时， 根据对应关系得到，再计算，，得到答案． 【详解】Ⅰ整数的所有“正整数分拆”为：，，，，． Ⅱ当为偶数时，时，最大为； 当为奇数时，时，最大为； 综上所述：为偶数，最大为，为奇数时，最大为． Ⅲ当为奇数时，，至少存在一个全为的拆分，故； 当为偶数时，设是每个数均为偶数的“正整数分拆”， 则它至少对应了和的均为奇数的“正整数分拆”， 故． 综上所述：． 当时，偶数“正整数分拆”为，奇数“正整数分拆”为，； 当时，偶数“正整数分拆”为，，奇数“正整数分拆”为， 故； 当时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为的奇数拆分外，至少多出一项各项均为的“正整数分拆”，故． 综上所述：使成立的为：或． 【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $