4.2.1 等差数列的概念（十二大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 题型一 判断等差数列 1．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的定义依次验证选项即可. 【详解】是等差数列，则需要满足， 对于A，取等差数列，则,，,则，故A不正确； 对于B，取等差数列，则,,，则，故B不正确； 对于C，取等差数列，则,,,则，故C不正确； 对于D, ,, 所以，， 由于为等差数列，则，所以，故D正确； 故选：D 2．设首项为，公差为1的等差数列的前n项和为，若存在实数，使得数列为等差数列，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出及，再利用等差数列通项的特征分析求解即得. 【详解】依题意，则， 由数列为等差数列，得， 且是的一次式， 而对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立， 即，解得，所以的取值范围为， 故答案为：. 3．在数列中，，点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列的前n项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得到即可求解； （2）通过裂项相消法求和，即可求证； 【详解】（1）点在直线上， ∴， ∴，又， ∴数列为首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1） ，得证. 题型二 利用定义求等差数列通项公式 4．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 5．记为数列的前项之积，已知，则 . 【答案】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，整理可得， 可知数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 6．已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题设易得，即可得到，结合等差数列的定义即可求证； （2）结合等差数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 题型三 验证是否为等差数列中的项 7．等差数列的公差大于0，若都是素数，则的最小值是（    ） A．683 B．769 C．907 D．1271 【答案】C 【分析】由题可分析出不能为2，3，5，然后由，依次验证选项即可得答案. 【详解】由题，设等差数列的公差为，且为整数. 要使最小，则要使最小. 若，则为偶数，不是素数，不满足题意，则； 若，则为比3大的3的倍数，不是素数，不满足题意，则； 若，则为比5大的5的倍数，不是素数，不满足题意，则； 若，，则不是整数，不合题意，故A错误； 若，，则，则为偶数，不合题意，故B错误； 若，，则， 则，经验证均为素数，满足题意，故C正确； 若，，则，不是整数，不满足题意，故D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题条件较少，但因为是选择题，考虑利用排除法或数值验证法，突破口为分析出要使最小，则要使最小. 8．若一个等差数列至少存在两项为质数，则称该数列为K数列．已知等差数列的公差为4，且为K数列，写出满足题意的的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】根据等差数列及K数列定义，取差值为4的整数倍的两质数作为其中两项即可取得. 【详解】同为等差数列及K数列，公差为4，由K数列的定义可得，数列有至少两质数项，差值为4的整数倍，如可取质数7、11作为其中两项，此时该数列取即可. 故答案为：7（答案不唯一） 9．在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 【答案】(1)或； (2)-5或13； (3)详解见解析. 【分析】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和的值，可得公差d，则通项公式可求； （2）分别求出在不同通项公式下的的值； （3）把分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，故是一元二次方程的两个实根， 解得或 当时，公差 数列的通项公式为： 当时，公差， 数列的通项公式为： （2）当时， 当时， （3）当时，由，解得，不合题意， 所以不是数列中的项 当时，由，解得，所以是数列中的第20项. 另解：（1）由，得， 又，所以=7， 设数列的公差为则， 化简整理的，解得 数列的通项公式为：或 下解同前 题型四 等差数列通项公式的基本量公式 10．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式，结合，，列方程组求解首项和公差，最后再求出、即可求解． 【详解】因为，所以，即， 同理，，可得， 联立两式解得，， 所以，，和为． 故选：D 11．已知数列的前项和为，且数列为等差数列，若，则 . 【答案】-7 【分析】先由的关系结合已知等式得到数列为等差数列，再由定义求出通项，然后代入计算可得. 【详解】即 因为数列为等差数列， 数列的公差为1， . 故答案为：-7. 12．设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式代入化简可得，进而可得，代入即可解得，进而可得； （2）构造数列，则，判断数列单调性，分为奇数和为偶数两种情况讨论数列的最小项，即可得解. 【详解】（1）由数列为等差数列，且， 则，则， 所以， 则， 又， 即， 解得或， 又，则， 所以； （2）由（1）得， 又， 设，则， 又，所以恒成立， 则数列为单调递增数列； 当为奇数时，恒成立，即； 当为偶数时，恒成立，即，； 综上所述. 题型五 由递推关系证明数列是等差数列 13．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】说明数列是首项为4，公差为4的等差数列即可求解. 【详解】因为，所以，即． 又，所以数列是首项为4，公差为4的等差数列， 故，即． 故选：C. 14．已知数列满足：，则通项 ． 【答案】 【分析】取倒数得到数列是等差数列，根据数列的通项公式得到数列的通项公式. 【详解】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 15．已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式得到，然后利用得到，最后根据等差数列的定义证明即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）证明：因为，故， 又为等差数列，所以， ， 当时，，， 又，所以数列是一个以为首项，公差为的等差数列； （2）由于，结合（1）知，， ， 所以. 题型六 求等擦中项 16．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据韦达定理与等差中项的性质，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 17．方程的两根的等差中项为 . 【答案】 【分析】根据韦达定理，结合等差中项的定义，即可求解. 【详解】设方程的两根分别为和，，所以两根的等差中项为. 故答案为： 18．已知△ABC的内角的对边分别为，. (1)证明：是与的等差中项； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理得到，从而，从而是与的等差中项； （2）利用正弦定理得，结合得到，利用余弦定理求出，进而得到，从而得到的值. 【详解】（1）由，得， 即，所以，即， 所以是与的等差中项. （2）由，得. 若，则由（1）可得，所以，， 则， 因为，所以. 故. 题型七 等差中项的应用 19．已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，分析计算，即可得答案 【详解】由等差中项的性质可得，故，解得， 故选：C. 20．已知数列为等差数列，若，则的值为 . 【答案】10 【分析】根据等差中项即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 所以， 故答案为：10 21．已知数列的前项和为，满足，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，.求的前13项和. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）由等差中项法可判断数列是等差数列，再结合可求公差，最后利用等差数列的通项公式即可； （2）解法一：先求出，再利用累加法求出，最后结合即可求出； 解法二：构造数列，其为各项是的常数列，求出，其余同法一. 【详解】（1）因，则， 所以数列是首项为的等差数列， 由于，得，则公差为，所以， 则的通项公式为. （2）解法一：由（1）知，，故， 所以，当时，， 又因为，代入化简可得（，）. 因为也符合上式，所以， 注意到， 所以的前13项和为. 解法二： 由（1）知，，故， 即， 又因为，所以数列是各项为的常数列，即， 所以， 注意到， 所以的前13项和为. 题型八 利用等差数列的性质计算 22．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．90 B．100 C．108 D．126 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由，可得，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 23．在等差数列中，.则公差 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，可得,即可求得公差. 【详解】设等差数列的公差为，在等差数列中，，所以,解得:，所以; 故答案为： 24．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 【答案】(1) (2) (3)195 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差及首项即可. （2）利用等差中项的意义求解. （3）利用等差数列性质求解. 【详解】（1）在等差数列中，，则公差， 由，得，因此，， 所以数列的通项公式. （2）由（1）得和的等差中项为. （3）由（1）得. 题型九 等差数列的应用 25．已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质即可得数列是首项为1，公差为20的等差数列，从而得所求. 【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列， 则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故. 故选：C. 26．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 【答案】65 【分析】探索，，，，的关系，确定的值. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为： 27．已知数列中，其前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数m，n，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n；若不存在，请给出证明． 【答案】(1) (2)不存在，证明见详解 【分析】（1）由作差法化简得，整理得，结合叠加法求得，验证可求的通项公式； （2）假设存在正整数m，n，则满足，化简若能找出符合条件的，则存在，否则则不存在. 【详解】（1）因为，即，当时，， 由得， 即，当时，， 即， 所以， ， ， ， ， 分别相加，得，又，所以， 即， 因为，，当时，，解得， 所以，，符合，故得通项公式为，； （2）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列，则满足， 即，化简得，因为， 所以为偶数，为奇数，故，则假设不成立， 即可推出不存在m，n，使得，，成等差数列. 题型十 等差数列的单调性 28．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1， 若为单调递增的数列，则； 若， 则，， ，， 所以，， 则“为单调递增的数列”. 综上所述，“为单调递增的数列”是“”的充要条件. 故选：C 29．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，判断数列的单调性，再利用等差数列通项公式建立函数关系求解即得. 【详解】若等差数列的各项均为正整数， 则数列是严格递增数列， 于是公差， 因此为正整数， 因为关于单调递减，而， 则当时，取得最小值为. 故答案为： 30．已知数列满足，首项. (1)若，求证：对于任意正整数，恒成立； (2)若，且数列从第2项起是等差数列，求所有可能的的值； (3)若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据假设验证法进行推导证明即可. （2）先判断数列是常数列，然后根据等差数列通项公式进行求解即可. （3）记，若，则严格增，且值域为；若，则严格减，值域也为，因此尝试让较小，且较大，进而也较大，，在这个过程中，增大会使得增大，进而增大，会减小，而从的变化过程中会使得从1减小到0，可以与相等. 【详解】（1）① 当时，成立； ② 假设当时，成立，此时， 则当时，，并且，于是也成立； 综上，对于任意正整数，都成立. （2）数列是等差数列，且，说明必须为常数列. 解得， 此时解，得或. （3）设满足方程且，设满足方程且. 设，，此时函数的图像是连续不断的曲线. ， ， 则根据零点存在定理，存在，满足， 此时，即. 此时恒成立且数列不是常数列，满足条件，证毕. 题型十一 求等差数列中的最大（小）项 31．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【解析】由，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断的正负，再利用通项与前n项和关系求解. 【详解】设数列的公差为d， 因为， 所以，即， 因为， 所以， 所以， 当时，，当时，， 所以， 又因为， 所以，故中最大 ， 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于中档题. 32．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 33．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值，最大值3，理由见解析 【分析】（1）求，化简后由等差数列定义证明 （2）先求的通项公式后得出的通项公式，结合单调性求解 【详解】（1）证明：因为，， 所以当时， . 又，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知，则. 设函数，在区间和上单调递减， 结合函数的图象可知， 当时，取得最小值； 当时，取得最大值3. 题型十二 利用等差数量通项公式求数列中的项 34．某学校学术报告厅的座位共有15排，其中前六排满足从第二排起每排比前一排多2个座位；第七排至最后一排满足每排比前一排少1个座位（第七排比第六排少1个座位），已知第一排有16个座位，则最后一排的座位数为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式即可求解. 【详解】由题意知，，，，，构成公差为2的等差数列， 所以，，，，…，构成公差为的等差数列， 所以， 故选：B． 35．已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 【答案】 【分析】先计算出原等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，得到新数列的第项. 【详解】在相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列， 则等差数列的公差为原等差数列公差的． 设等差数列为，公差为， 易知，则， 则的公差为， 则． 所以． 故答案为:. 36．已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意可得，结合等差数列的定义分析证明； （2）由（1）可知公差为，且，结合等差数列的通项公式运算求解. 【详解】（1）因为， 可得，即， 所以是以公差为的等差数列． （2）由（1）知的公差为， 又因为，即，可得， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 等差数列的概念 题型一 判断等差数列 1．已知函数.若对于任意的等差数列，总有是等差数列，则称函数具有“保等差性”.函数可能是（    ） A． B． C． D． 2．设首项为，公差为1的等差数列的前n项和为，若存在实数，使得数列为等差数列，则的取值范围为 . 3．在数列中，，点在直线上 (1)求数列的通项公式； (2)记，证明数列的前n项和. 题型二 利用定义求等差数列通项公式 4．已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 5．记为数列的前项之积，已知，则 . 6．已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 题型三 验证是否为等差数列中的项 7．等差数列的公差大于0，若都是素数，则的最小值是（    ） A．683 B．769 C．907 D．1271 8．若一个等差数列至少存在两项为质数，则称该数列为K数列．已知等差数列的公差为4，且为K数列，写出满足题意的的一个值： ． 9．在等差数列中，已知 (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)是不是数列中的项？ 题型四 等差数列通项公式的基本量公式 10．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 11．已知数列的前项和为，且数列为等差数列，若，则 . 12．设等差数列的公差为，且，令，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设不等式对任意正整数均成立，求实数的取值范围． 题型五 由递推关系证明数列是等差数列 13．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知数列满足：，则通项 ． 15．已知数列中，，前n项和为，且为等差数列. (1)证明：数列是等差数列； (2)已知，，求数列的前n项和. 题型六 求等擦中项 16．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 17．方程的两根的等差中项为 . 18．已知△ABC的内角的对边分别为，. (1)证明：是与的等差中项； (2)若，且，求的值. 题型七 等差中项的应用 19．已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 20．已知数列为等差数列，若，则的值为 . 21．已知数列的前项和为，满足，且. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，.求的前13项和. 题型八 利用等差数列的性质计算 22．记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．90 B．100 C．108 D．126 23．在等差数列中，.则公差 . 24．等差数列的前项和为，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求和的等差中项. (3)求. 题型九 等差数列的应用 25．已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（   ） A．1941 B．1961 C．1981 D．2001 26．2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言可描述为：将数字 顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，……直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 . 例如 时，操作可知 ，则 . 27．已知数列中，其前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数m，n，使得，，成等差数列？若存在，求出m，n；若不存在，请给出证明． 题型十 等差数列的单调性 28．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．已知无穷等差数列的各项均为正整数，且，则的最小值是 . 30．已知数列满足，首项. (1)若，求证：对于任意正整数，恒成立； (2)若，且数列从第2项起是等差数列，求所有可能的的值； (3)若，求证：存在，使得恒成立，且数列不是常数列. 题型十一 求等差数列中的最大（小）项 31．数列是等差数列，，数列满足，，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 32．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 33．已知在数列中，，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项和最小项，并说明理由. 题型十二 利用等差数量通项公式求数列中的项 34．某学校学术报告厅的座位共有15排，其中前六排满足从第二排起每排比前一排多2个座位；第七排至最后一排满足每排比前一排少1个座位（第七排比第六排少1个座位），已知第一排有16个座位，则最后一排的座位数为（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 35．已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列，则数列的第23项为 ． 36．已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $