4.2.1 等差数列的概念（8大题型）（训练）-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第二册

4．2．1 等差数列的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断一个数列是否为等差数列 2 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 3 题型三：利用定义法证明等差数列 4 题型四：等差中项问题 6 题型五：实际应用问题 6 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 8 题型七：等差数列的性质 9 题型八：对称设项法的妙用 10 02 重难点拓展 11 题型一：判断一个数列是否为等差数列 1．（多选题）（2025·高二·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 2．（多选题）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 【答案】AD 【解析】由题意，∵， ∴A中数列是公差为6的递增等差数列.故A正确. ∵，∴B中数列不是等差数列.故B错误. ∵，∴C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.故C错误. ∵，∴D中数列是公差为3的递增等差数列.故D正确. 故选：AD. 3．（多选题）（2025·高二·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 4．（多选题）（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 【答案】AC 【解析】选项A，，则，所以，所以A正确； 选项B，，则通项公式为，所以B错误； 选项C，由选项A知，所以C正确； 选项D，由选项B知，则当时，解得，而，所以D错误. 故选：AC. 5．（多选题）（2025·高二·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 6．（多选题）（2025·高二·湖北孝感·期末）已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ） A．数列的公差为 B． C．数列是公差为的等差数列 D． 【答案】ABC 【解析】由题意知，又， 故可看出方程的两根， ∵数列为递减数列， ，． 公差，故A正确； 又， ，故B正确； 由上可知，则当时，， 当时，， 数列是首项为，公差为的等差数列，故C正确； 由C选项知：，故， ∵， ，故D错误． 故选：ABC 题型三：利用定义法证明等差数列 7．（2025·高二·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【解析】（1）由，则， 则，即，又， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，则. 8．已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 【解析】（1）因为， 可得，即， 所以是以公差为的等差数列． （2）由（1）知的公差为， 又因为，即，可得， 所以． 9．（2025·高二·重庆·月考）已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 【解析】（1）设等差数列的公差为d，，， 所以， （2）证明：因为 所以是公差为的等差数列. 题型四：等差中项问题 10．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】设数列的公差为，又，即， 整理得，解得或， 当时，；当时， 又， 因此或. 故选：B. 11．（2025·高二·重庆·月考）若三个数成等差数列，则 （   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【解析】由题意有：， 故选：D. 12．（2025·高二·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【解析】因为数列与均为等差数列，且，， 所以 所以， 则. 故选：. 题型五：实际应用问题 13．（2025·高三·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【解析】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天， 故答案为：； 14．（2025·高二·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 【答案】 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，， 则根据题意有， 解得，所以戊所得为. 故答案为：. 15．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘 蒽 并四苯 … 并n苯 结构简式 … … 分子式 … … 由此推断并十苯的分子式为 . 【答案】 【解析】因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是： 所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为： ， 稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为2，所以通项公式为： ， 所以并n苯的分子式为：， 因此当时，得到并十苯的分子式为：. 故答案为： 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 16．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知等差数列{}的首项，公差，当||最小时，n＝ ． 【答案】16 【解析】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 17．（多选题）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【解析】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 18．（多选题）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（    ）. A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【解析】， ，所以是递增数列，故①正确， ，当时，数列不是递增数列，故②不正确， ，当时，不是递增数列，故③不正确， ，因为，所以是递增数列，故④正确， 故选： 题型七：等差数列的性质 19．（2025·高二·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由等差数列可知：， 故选：C. 20．（2025·高二·福建漳州·月考）在等差数列中，，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】C 【解析】由等差数列的性质可知，，解得． 故选：C． 21．（2025·高二·贵州遵义·月考）等差数列中，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由于数列是等差数列， 所以， 故． 故选：B 题型八：对称设项法的妙用 22．已知有四个数成等差数列，和为36.若将这四个数顺次加上2，4，8，15后成等比数列，则此四个数为 . 【答案】. 【解析】设四个数分别为， 则，. 四个数顺次加上2，4，8，15后为，成等比数列 所以且 解得 所以这四个数为 23．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为 ． 【答案】 【解析】由等差数列，设三数依次为，为公差． 由题意得：，解得． 故答案为： 1．（2025·高二·福建漳州·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，，， ，为常数列，，， 这与相矛盾，故假设不成立，故对于任意的都成立， ，， ，是首项为，公差为的等差数列， ，，. 故选：C. 2．（2025·高二·江苏南京·月考）设数列是等差数列，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】在等差数列中，若，则成立，故充分性满足； 下面讨论必要性：取，若，则不一定成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 【答案】B 【解析】因为数列为正项等差数列， 则，即， 可得，，，， 累乘可得. 故选：B. 4．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可知是以18为首项，以-3为公差的等差数列， 所以 ，即， 所以通过数列图象上所有点的直线方程为， 故选：D 5．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 【答案】D 【解析】为等差数列，，，， ，，，. 故选：D. 6．（2025·高二·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 【答案】 【解析】当时， ，两式作差得： 即 因此，奇数项和偶数项分别构成公差为 的等差数列， 奇数项：，公差 ，故 ， 当 为奇数时，令 ，解得 ，代入得 故答案为： . 7．（2025·高二·河南新乡·月考）在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 【答案】16 【解析】数列首项为，通项公式为. 当时，，满足通项公式. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 当时，，所以. 通过观察可知，奇数项构成公差为2的等差数列，通项公式为. 令，则，所以. 故答案为：16. 8．（2025·高二·内蒙古通辽·月考）在数列中，，，且数列是等差数列，则 ． 【答案】/ 【解析】设数列的公差为d，因为，， 则，所以， 所以， 因此，解得. 故答案为：. 9．在等差数列中，，，，则数列的公差为 ． 【答案】 【解析】设的公差为d，则，则， ∴， 而，即， ∴. 故答案为： 10．（2025·高二·天津滨海新·月考）已知数列中，，则 ，数列的通项公式是 . 【答案】 /0.5 【解析】由得. 因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列. 所以. 所以数列的通项公式是. 所以. 故答案为：①，②. 11．已知正项数列满足，且，则 ． 【答案】27 【解析】由，，① ，② ②①得，即， 所以是以为首项，3为公差的等差数列， 令，得，又，， 所以，解得， . 故答案为：27. 12．已知数列满足：，则通项 ． 【答案】 【解析】取倒数后得，即， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以， 所以， 故答案为：. 13．已知数列的首项为2，前n项和为，且． (1)求的值； (2)设，求数列的通项公式． 【解析】（1）∵，且， ∴，解得； （2）由（），得①，则②， 由①－②得，，故， ∴，即，即（）， 又，故数列是首项为，公差为1的等差数列， ∴的通项公式为. 14．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【解析】（1）数列中，由，得， 显然，否则，矛盾，则， 所以数列是等差数列. （2）由（1）知，等差数列的首项为，公差为， 则，整理得， 所以数列的通项公式为. 15．（2025·高二·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【解析】（1）因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 16．（2025·高二·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 【解析】（1）设的首项为，公差为， 因为， 所以，解得， 所以. （2）令，所以， 所以，所以项数有项， 所以中有项在到之间. 17．（2025·高二·海南海口·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【解析】（1）证明：将  两边同时除以，得，当 时， ， 所以  是以 1 为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得  ，整理得，则 ， 也符合 ，所以 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．2．1 等差数列的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：判断一个数列是否为等差数列 2 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 2 题型三：利用定义法证明等差数列 3 题型四：等差中项问题 3 题型五：实际应用问题 4 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 4 题型七：等差数列的性质 5 题型八：对称设项法的妙用 5 02 重难点拓展 6 题型一：判断一个数列是否为等差数列 1．（多选题）（2025·高二·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列数列是递增的等差数列的是（    ） A． B． C． D．数列满足 3．（多选题）（2025·高二·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 题型二：等差数列通项公式的求法与应用技巧 4．（多选题）（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知等差数列，则下列结论正确的是（   ） A．等差数列的公差为 B．等差数列的通项公式为 C．等差数列是一个单调递增的数列 D．若，则 5．（多选题）（2025·高二·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2025·高二·湖北孝感·期末）已知等差数列为递减数列，且，，则下列结论中正确的有（ ） A．数列的公差为 B． C．数列是公差为的等差数列 D． 题型三：利用定义法证明等差数列 7．（2025·高二·吉林长春·期中）已知数列满足，若. (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式. 8．已知函数，数列的通项由（且）确定． (1)求证：是等差数列； (2)当时，求． 9．（2025·高二·重庆·月考）已知是等差数列，若，． (1)求的通项公式； (2)证明是等差数列． 题型四：等差中项问题 10．（2025·广东·模拟预测）已知数列是首项为1的等差数列，且，则（    ） A． B．或 C． D．或 11．（2025·高二·重庆·月考）若三个数成等差数列，则 （   ） A．7 B．6 C．5 D．4 12．（2025·高二·广东·期末）已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 题型五：实际应用问题 13．（2025·高三·福建福州·开学考试）百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 14．（2025·高二·湖南长沙·期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种质量单位）．这个问题中，戊所得为 钱． 15．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘 蒽 并四苯 … 并n苯 结构简式 … … 分子式 … … 由此推断并十苯的分子式为 . 题型六：等差数列的单调性与最值的应用 16．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知等差数列{}的首项，公差，当||最小时，n＝ ． 17．（多选题）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 18．（多选题）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为（    ）. A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 题型七：等差数列的性质 19．（2025·高二·吉林长春·期中）已知等差数列满足，则等于（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 20．（2025·高二·福建漳州·月考）在等差数列中，，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 21．（2025·高二·贵州遵义·月考）等差数列中，，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型八：对称设项法的妙用 22．已知有四个数成等差数列，和为36.若将这四个数顺次加上2，4，8，15后成等比数列，则此四个数为 . 23．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为 ． 1．（2025·高二·福建漳州·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·江苏南京·月考）设数列是等差数列，“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（2025·江苏·模拟预测）已知正项等差数列满足，则（   ） A．670 B．675 C．2025 D．4050 4．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知，则通过数列图象上所有点的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高二·江苏连云港·期中）已知为等差数列，，，则（   ） A．6 B．5 C．12 D．8 6．（2025·高二·上海·月考）已知数列，则 （用数字作答） 7．（2025·高二·河南新乡·月考）在数列中，，若数列是公差为2的等差数列，则 ． 8．（2025·高二·内蒙古通辽·月考）在数列中，，，且数列是等差数列，则 ． 9．在等差数列中，，，，则数列的公差为 ． 10．（2025·高二·天津滨海新·月考）已知数列中，，则 ，数列的通项公式是 . 11．已知正项数列满足，且，则 ． 12．已知数列满足：，则通项 ． 13．已知数列的首项为2，前n项和为，且． (1)求的值； (2)设，求数列的通项公式． 14．已知数列满足，（）． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 15．（2025·高二·重庆·期中）在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 16．（2025·高二·江苏常州·期中）已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)数列中有多少项在到之间. 17．（2025·高二·海南海口·月考）已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $