第09讲整式的除法2026年北师大版七年级数学寒假教学讲义

第09讲 整式的除法 【学习目标】 1．掌握整式除法法则，并在做计算题要学以致用，计算认真，保证正确率． 2．针对符号能够做出正确的判断．在计算时，一定记得带每项前面的符号，在算的结果中首先要先确定符号． 【基础知识】 一、单项式除以单项式 单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑． 二、多项式除以单项式 多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加． 即（a+b+c）÷m=a÷m+b÷m+c÷m 多项式除以单项式其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，另外还要特别注意符号． 多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号． 【考点剖析】 考点一：单项式除以单项式 1．下列计算中，正确的是　　 A． B． C． D． 2．计算 ． 考点二：多项式除以单项式 3． 4．与单项式的积是的多项式是 ． 5．计算： (1)； (2) 考点三：混合运算 6． 先化简，再求值：[（a﹣2b）2﹣（a+2b）（a﹣2b）]÷4b，其中a＝﹣2，b＝1． 7． 先化简，再求值：，其中，． 【真题演练】 8．计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 9．计算的结果是（ ） A． B． C． D． 10．一个长方形的面积是，长是，则宽是　　 A． B． C． D． 11．任意给一个非零数，按下列程序进行计算，则输出结果为　　 A．0 B．1 C． D． 12．已知A=2x，B是多项式，在计算B÷A时，小强同学把B÷A误看了B+A，结果得2x2-x，则B÷A的结果是（      ） A．2x2+x B．2x2-3x C． D． 13．计算 ． 14．直接写出结果： （1）＝ ；     （2）＝ ； （3）＝ ；     （4）÷＝ ； （5）＝ ；     （6）＝ ． 15．直接写出结果： （1）= ； （2）（）÷（）= ； （3） ·（）=． 16．计算 17．计算 (1)； (2)． 【过关检测】 19．下列计算不正确的是（     ） A．＝x B． C． D．＝1 20．的结果是 （    ） A． B． C． D． 21．下列计算正确的是（　　） A．a2+a2=2a4 B．3a2b2÷a2b2=3ab C．（﹣a2）2=a4 D．（﹣m3）2=m9 22．如果□×3ab=3a2b,那么□内应填的代数式是    (　　) A．ab B．3ab C．a D．3a 23．下列计算正确的是（    ）． A．÷ ＝0 B． C． D． 24．太阳的质量约为2.1×，地球的质量约为6×，则太阳的质量约是地球质量的（    ） A．3.5×倍 B．2.9×倍 C．3.5×倍 D．2.9×倍 25．（﹣2xy2）3= ；（﹣2a2b）3÷（4a2b3）= ． 26．学校图书馆藏书约3.6×册，学校现有师生约1.8×人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅 册图书． 27．一个三角形的面积为3xy－4y，一边长是2y，则这条边上的高为 ． 28．已知，，则的值为 ． 29．信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则如图所示，当发送方发出a=2，b=4，则解密后明文的值：mn= ． 30．计算： (1)； (2)． 31．计算下列各题： (1)； (2)． 32．计算： (1)； (2) (3)； (3) 先化简，再求值：，其中． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】根据单项式除以单项式法则解答． 【详解】解：、，正确； 、，故此选项错误； 、，故此选项错误； 、，故此选项错误；故选：A． 【点睛】此题考查了单项式除以单项式法则：系数与系数相除，相同字母与相同字母相除，正确掌握法则是解题的关键． 2． 【分析】先利用积的乘方运算法则化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3． 【分析】根据整式的除法运算顺序和法则计算可得． 【详解】解：原式； ． 【点睛】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握整式的除法运算顺序和法则． 4． 【分析】根据题意求即可得出答案． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查整式的除法，掌握除法法则是解题的关键． 5．(1)； (2)． 【分析】（1）根据多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）根据多项式除以单项式的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，多项式除单项式，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． 6．；． 【分析】根据整式的运算法则，先计算完全平方公式，然后合并同类项，最后计算整式除法，然后将，代入即可得出答案． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【点睛】题目主要考查整式的混合运算及完全平方公式，掌握运算法则及公式是解题关键． 7． 【分析】先根据整式乘除运算法则进行化简，再代入求值即可； 【详解】原式， ， ， 当，时， 原式， ， ． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是掌握整式混合运算的顺序和运算法则． 8．D 【分析】根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：． 故选：． 【点睛】本题考查了整式的除法，解题关键是熟练运用整式除法法则进行准确计算． 9．D 【分析】根据积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法运算法则即可求出答案． 【详解】解： = =， 故选D. 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法，掌握运算法则是解题的关键. 10．B 【分析】根据宽等于面积除以长，即可求解． 【详解】解：由题意长方形的宽可表示为：． 故选：B 【点睛】本题主要考查了多项式除以单项式的应用，熟练掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 11．C 【分析】根据程序图列出算式，再计算即可求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，理解程序图列出算式是解题的关键． 12．D 【详解】∵B+A=2x2−x，A=2x， ∴B=2x2−x−2x=2x2−3x， ∴B÷A=(2x2−3x)÷2x=x−. 故选D. 点睛：本题考查了多项式的乘除以及多项式加减运算，得出多项式B是解题的关键. 13．## 【分析】设所求项为A，则可把等式转化为，可化为 ，计算即可得出A． 【详解】设所求项为A， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的逆运算求出单项式是解题的关键． 14． － 100 【分析】底数互为相反数的先变形为相同的形式，再根据同底数幂的除法法则逐个计算即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）；     （4）÷＝＝100； （5）；     （6）， 故答案为：；－；；100；；． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法法则，熟练掌握同底数幂的除法法则（a≠0，m、n为整数）是解决本题的关键． 15． 【分析】（1）先计算乘方，再计算整式的除法即可； （2）根据整式的除法法则计算即可； （3）根据整式的除法法则计算即可． 【详解】（1）===； （2）（）÷（） =27－5＋1 =； （3）（）÷（） = ． 故答案为：，， 【点睛】本题考查了幂的乘方，多项式除以单项式，熟练掌握整式的除法法则是解题的关键． 16． 【分析】根据同底数幂的乘除法法则进行运算即可. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查的是同底数幂的运算，掌握同底数幂的运算法则是关键. 17．(1) (2) 【分析】（1）用括号中的每一项去除单项式即可； （2）先计算乘方，再按顺序计算乘除法． 【详解】（1）解：原式； ． （2）解：原式 ． 【点睛】此题考查了整式的乘除混合运算，整式的多项式除以单项式运算，正确掌握整式的运算顺序及法则是解题的关键． 18． 【分析】根据平方差公式和完全平方公式先计算括号内的，再根据多项式除以单项式的法则进行计算即可 【详解】原式 ． 【点睛】本题考查了整式的乘除混合运算，掌握乘法公式和多项式除以单项式是解题的关键． 19．B 【分析】利用同底数幂的除法法则计算出正确结果即可判断 【详解】A、，正确，不符合题意； B、，错误，符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法法则是解题的关键． 20．D 【分析】利用单项式除以单项式的运算法则即可解得结果． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查了单项式除以单项式的问题，熟悉运算法则是解题关键． 21．C 【分析】根据合并同类项、单项式除以单项式、幂的乘方的法则逐一进行判断即可 【详解】A、a2+a2=2a2，故此选项错误； B、3a2b2÷a2b2=3，故此选项错误； C、（﹣a2）2=a4，正确； D、（﹣m3）2=m6，故此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项、单项式除以单项式、幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键 22．C 【分析】已知积和其中一个因式，求另外一个因式，可用积除以已知因式，得所求因式． 【详解】解：∵3a2b÷3ab=a， ∴□=a． 故选C． 23．D 【分析】A、根据单项式除以单项式、同底数幂除法法则解题； B、根据多项式除以单项式、同底数幂除法法则解题； C、根据多项式除以单项式、同底数幂除法法则解题； D、根据多项式除以单项式、同底数幂除法法则解题； 【详解】A、÷ ＝1，计算错误，不合题意； B、，计算错误，不合题意； C、，计算错误，不合题意； D、计算正确，符合题意． 故选D 【点睛】此题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24．C 【分析】根据题意，先根据太阳质量除地球的质量求出倍数，然后科学记数法表示即可． 【详解】（2.1×）÷（6×）＝0.35×＝3.5× 故选C． 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 25． ﹣8x3y6 ﹣2a4 【分析】运用幂的乘方和积的乘方法则计算即可；先算积的乘方法，再算单项式除以单项式即可． 【详解】（﹣2xy2）3=﹣8x3y6；（﹣2a2b）3÷（4a2b3）=﹣2a4 故答案为：﹣8x3y6，﹣2a4． 【点睛】本题考查了整式的除法和积的乘方运算法则，正确掌握相关运算法则是解题的关键． 26．20 【分析】根据除法的意义，用书的总量除以师生人数，即可求解． 【详解】由题意得：． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了单项式的除法，注意：单项式除以单项式是按系数、同底数幂、被除式中单独有的字母三个步骤进行的． 27．3x－4 【分析】利用面积公式计算即可得到答案． 【详解】设这条边上的高为a， 由题意得：， ∴ay=3xy-4y， ∴a=3x-4， 故答案为：3x-4． 【点睛】此题考查多项式除以单项式法则：用多项式中的每一项分别除以单项式，再把结果相加． 28． 【分析】将已知等式进行变形，求出的值，再代入所求代数式中计算即可 【详解】解：， ． ， ． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查同底数幂的除法和负整数指数幂，综合应用这些知识点是解题关键． 29．120 【分析】先化简n=（4a2b-2a3）÷（-2a）2，再将a=2，b=4，代入计算求出m、n的值，即可得到答案． 【详解】解：n=（4a2b-2a3）÷（-2a）2 =（4a2b-2a3）÷（4a2） =b-a， 将a=2，b=4代入： n=b-a =4-×2 =3， m=a2+ab2+b2=22+2×42+×42 =4+32+4 =40， ∴mn=40×3=120， 故答案为：120． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出m、n的值． 30．(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方，再计算除法，最后合并，即可求解； （2）先算乘方，再算除法，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，多项式除以单项式，熟练掌握幂的混合运算法则，多项式除以单项式法则是解题的关键． 31．(1)-3 (2)-6x (3)4y-3xz 【分析】（1）先化简零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，绝对值，然后再计算； （2）先利用积的乘方运算法则计算乘方，然后利用整式乘除法运算法则从左往右依次计算． （3）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂，掌握积的乘方（ab）n=anbn运算法则，整式的除法，理解a0=1（a≠0），（a≠0），牢记法则是解题关键． 32．(1)-1 (2) (3) (4)，－25． 【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂计算，再合并即可求解； （2）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解； （3）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解； （4）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式= = =， 当=－5时，原式=－25． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键． 33． 【分析】先根据单项式除以单项式得到商，再用此商去乘以多项式除以单项式的答案即可还原． 【详解】解：． ． 故原式为： 【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $