第08讲乘法公式2026年北师大版七年级数学寒假教学讲义

第08讲 乘法公式 【学习目标】 1.掌握乘法公式及变形公式，并在做计算题要学以致用，计算认真，保证正确率． 【基础知识】 一、平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．即（a＋b）（a－b）＝a²－b² 公式的几种变化： ①位置变化：（b＋a）（－b＋a）＝（a＋b）（a－b）＝a²－b² （－a－b）（a－b）＝（－b－a）（－b＋a）＝（－b＋a）（－b－a）＝（－b）²－a²＝b²－a² ②系数变化：（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）²－（3b）²＝4a²－9b² ③指数变化：（a²＋b²）（a²－b²）＝（a²）²－（b²）²＝ ④增项变化：（a－b－c）（a－b＋c）＝（a－b）²－c² ⑤连用公式变化：（a＋b）（a－b）（a²＋b²）＝（a²－b²）（a²＋b²）＝（a²）²－（b²）²＝ ⑥公式逆运算：a²－b² ＝（a＋b）（a－b） 二、完全平方公式 完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍． 即完全平方和 （a＋b）²＝a²＋2ab＋b²     完全平方差 （a－b）²＝a²－2ab＋b²   （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化： ①a²＋b²＝（a＋b）²－2ab ②a²＋b²＝（a－b）²＋2ab ③（a＋b）²＝（a－b）²＋4ab ④ （a－b）²＝（a＋b）²－4ab ⑤（a＋b）²－（a－b）²＝4ab 三、平方差和完全平方差 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a²－b² 完全平方差公式： （a－b）²＝a²－2ab＋b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【考点剖析】 考点一：平方差公式 1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（　　） A．（﹣2x+y）（2x+y） B．（x2﹣y2）（x2+y2） C．（x+y）（﹣y+x） D．（﹣x+y）（x﹣y） 2．下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 3．计算： 考点二：完全平方公式 4．若是关于的完全平方式，则 ． 5．计算： 6．图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形． (1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法： ； 方法： ． (2)观察图写出，，三个代数式之间的等量关系： ． (3)根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 考点三：公式的综合运算 7．计算： 8．已知，，求的值是 ； 9．若干个大小形状完全相同的小长方形，现将其中4个如图1摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40；其中5个如图2摆放，构造出一个长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠不留空），则每个小长方形的面积为（　　） A．5 B．10 C．20 D．30 【真题演练】 10．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．若（x+m）2=x2+kx+16，则m的值为（　　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 12．若x+y＝4，xy＝3，则x2+y2＝（　　） A．7 B．10 C．16 D．22 13．下列关系式中，正确的是（    ） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a＋b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a＋b）2＝a2＋b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2＋2ab＋b2 14．已知，且，则多项式的值是 ． 15．已知a﹣b＝7，ab＝2，则（a＋b）2＝ ． 16．若多项式x2-mx+16是一个完全平方式，则m的值应为 ． 17．已知：，则 ． 18．计算：（1）（2x＋3y）（2x﹣3y）﹣（x﹣2y）（4x＋y） （2） （x﹣3）（3x﹣4）﹣（x﹣2）2 19．已知：，求的值 【过关检测】 20．下列各式，能用平方差公式计算的是（    ） A．（2a＋b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a＋2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a＋3b） D．（）（﹣） 21．若，且，则等于（    ）． A．7 B．6 C．5 D．8 22．若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．0 D． 23．已知x﹣y＝4，xy＝2，那么（x＋y）2的值为（    ） A．24 B．20 C．12 D．8 24．若x+y＝6，x2+y2＝20，求x-y的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．±2 25．已知关于的代数式是完全平方式，则（    ） A． B． C．或 D．无法确定 26．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　） A．16 B．20 C．25 D．30 27．已知（2x＋3y）2＝15，（2x﹣3y）2＝3，则3xy＝（    ） A．1 B． C．3 D．不能确定 28．已知，且，则等于（   ）． A．3 B．5 C．-3 D．1 29．如图所示的是用4个全等的小长方形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为64，小正方形的面积为16，若分别用，表示小长方形的长和宽，则下列关系式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 30．若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝ ． 31．已知，，那么 ． 32．若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝ ． 33．计算： ． 34．计算： 35．若（x2＋y2＋1）（x2＋y2﹣1）＝48，则x2＋y2＝ 36．观察例题，然后回答：例：，则________． 解：由，得，即 所以： 通过你的观察你来计算：当时，求下列各式的值： （1） ； （2）． 37．计算： (1)x（x﹣2）﹣（x＋2）（x﹣2），其中x＝ (2) （2x＋y）（2x﹣y）＋4（x＋y）2 (3) （a﹣3）2﹣a（a＋8） (4)（x﹣2）2﹣x（x＋4） 38．已知有理数x，y满足x＋y，xy＝﹣3 (1)求（x＋1）（y＋1）的值； (2)求x2＋y2的值． 39．乘法公式的探究及应用． （1）如图1，可以求出阴影部分的面积是　 　　（写成两数平方差的形式）； （2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是　 　，长是　 　，面积是　 　．（写成多项式乘法的形式） （3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　．（用式子表达） （4）运用你所得到的公式，计算下列各题： ①10.3×9.7； ②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差：(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2． 【详解】解：A．(﹣2x+y)(2x+y)，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B．(x2﹣y2)(x2+y2)，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C．(x+y)(﹣y+x)，此题符合平方差公式的特征，能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D．(﹣x+y)(x﹣y)，两项均互为相反数，不符合平方差公式的特征，不能用平方差公式计算，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式．关键是掌握平方差公式的特征：两个二项因式中有一项相同，有一项互为相反数． 2．C 【分析】根据平方差公式的特点要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，只有具备以上特点才能进行运算 【详解】解：A．没有相同项，不能用平方差公式进行计算，故此选项错误； B．没有相同项，不能用平方差公式进行计算，故此选项错误； C．符合平方差公式的结构特点，能用平方差公式进行计算，故此选项正确； D．没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方． 3．1 【分析】将原式变形为，再利用平方差公式求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，将变形为是解题的关键． 4．±12 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，完全平方式分两种，一种是完两数和的平方，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是两数差的平方，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央． 5． 【分析】根据，即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是． 6．(1)， (2) (3) 【分析】（1）一种方法是先用m、n表示出阴影部分边长，再用正方形面积公式表示；另一种方法是先表示出大正方形面积和四个长方形的面积，用大正方形面积减去四个长方形的面积表示出阴影部分面积； （2），，三个代数式别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积-四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系； （3）由（2）得出的关系式变形，再代入求值即可得结果． 【详解】（1）根据图形可得： 方法：； 方法：． 故答案为：，． （2）由阴影部分的两个面积代数式相等， 可得： ． 故答案为：． （3）∵，， ． 【点睛】本题主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系，会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到． 7．． 【分析】利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并即可得到结果． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了完全平方公式、多项式乘以多项式及合并同类项得相关知识，熟记完全平方公式是解答此题的关键． 8．43 【分析】根据完全平方公式变形，再由进行计算即可得到答案． 【详解】   故答案为：43． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的变形． 9．A 【分析】设出小长方形的长和宽，根据两种拼图得出两个含有长、宽的等式，变形后得出答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 由图1可得，， 即①， 由图2可得，， 即②， 由①②得，， 所以， 即每个小长方形的面积为5， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，还考查了多项式乘多项式，利用面积之间的关系得到答案是常用的方法． 10．A 【分析】直接运用平方差公式求解即可． 【详解】解： = = = 故选：A． 【点睛】此题主要考查了运用平方差公式进行整式的乘法，熟练掌握平方差公式是解答此题的关键． 11．B 【分析】根据完全平方公式展开之后即可判断出结果． 【详解】∵， ∴根据题意得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，熟记完全平方公式展开后的形式是解题关键． 12．B 【分析】利用完全平方公式（）进行变形运算即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式进行变形运算，熟记公式是解题关键． 13．D 【分析】根据完全平方公式判断即可． 【详解】解：A选项，原式＝a2﹣2ab+b2，故该选项计算错误； B选项，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故该选项计算错误； C选项，原式＝a2+2ab+b2，故该选项计算错误； D选项，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故该选项计算正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2=a2±2ab+b2是解题的关键． 14．3 【分析】直接利用平方差公式，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平方差公式的运用，解题的关键是掌握平方差公式进行计算． 15．57 【分析】根据完全平方公式，可得（a＋b）2= （a﹣b）2+4ab，再代入求值，即可求解． 【详解】解：（a＋b）2= （a﹣b）2+4ab=72+4×2=57， 故答案是：57． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握完全平方公式及其变形公式，是解题的关键． 16．±8． 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】∵x2-mx+16=x2-mx+42， ∴-mx=±2•x•4， 解得m=±8． 故答案为±8. 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 17．7 【分析】两边同时平方，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运算，解题关键是熟练运用完全平方公式进行运算． 18．（1）7xy﹣7y2（2）2x2﹣9x+8 【分析】（1）根据整式的乘法运算法则及乘法公式即可化简求解； （2）根据整式的乘法运算法则及乘法公式即可化简求解． 【详解】(1)（2x+3y）（2x﹣3y）﹣（x﹣2y）（4x+y） ＝（2x）2﹣（3y）2﹣（4x2+xy﹣8xy﹣2y2） ＝4x2﹣9y2﹣4x2﹣xy+8xy+2y2 ＝7xy﹣7y2． (2)解：原式＝3x2﹣9x﹣4x+12﹣（x2﹣4x+4） ＝3x2﹣13x+12﹣x2+4x﹣4 ＝2x2﹣9x+8． 【点睛】此题主要考查整式的乘法运算，解题的关键是熟知其运算法则及公式的运用． 19．10 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，，再根据完全平方公式，即可求解． 【详解】解：， ，， ，， ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，绝对值和平方的非负性，熟练掌握完全平方公式 是解题的关键． 20．B 【分析】根据平方差公式为逐项判断即可． 【详解】A．既没有相同项，也没有相反项，不能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．原式，符合平方差公式，故本选项符合题意； C．原式，只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； D．原式只有相同项，没有相反项，不符合平方差公式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式为是解答本题的关键． 21．B 【分析】根据平方差公式直接可得答案． 【详解】，且 故选B 【点睛】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 22．D 【分析】利用平方差公式先将化简为，再整体代入计算即可． 【详解】解：原式， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握是正确解答的关键． 23．A 【分析】先利用两个完全平方公式可得：，再整体代入求值即可. 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，掌握是解题的关键. 24．D 【分析】先根据完全平方公式求出xy的值，再根据完全平方公式求出（x−y）2，再开方即可． 【详解】解：∵x＋y＝6，x2＋y2＝（x＋y）2−2xy＝20， ∴2xy＝62−20＝16， ∴xy＝8， ∴（x−y）2＝x2＋y2−2xy＝20−2×8＝4， ∴x−y＝±2， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键． 25．C 【分析】根据完全平方公式的结构特征求． 【详解】解：是完全平方式． ． ． 或． 故选：． 【点睛】本题考查完全平方式的应用，正确掌握完全平方式的结构特征是求解本题的关键． 26．C 【分析】利用完全平方公式得到：，然后根据求解即可得到答案. 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 故选C. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式. 27．B 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 28．B 【分析】由两边平方，然后利用完全平方公式展开求即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 故选择B． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助． 29．B 【分析】观察图形可得x、y之间的关系，可得答案． 【详解】解：由图可知：x＋y＝8；x−y＝4；4xy+16=64 ∴xy=12， x2-y2＝（x＋y）（x−y）＝32， 故选：B． 【点睛】本题运用了完全平方公式的知识点，还运用了数形结合的数学思想，掌握数形结合的思想是解题关键． 30．11 【分析】根据x2+y2=(x-y)2+2xy，整体代入解答即可． 【详解】解：因为x-y=3，xy=1， 则x2+y2=(x-y)2+2xy=9+2=11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用．注意整体思想的应用是解此题的关键． 31．1 【分析】根据完全平方公式得a2+b2+2ab=7， a2+b2−2ab=3，两式相减即可求出ab的值． 【详解】解：∵ (a+b)2=7， ∴a2+b2+2ab=7①， ∵(a−b)2=3， ∴a2+b2−2ab=3②， ①−②得4ab=4，解得ab=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式． 32．8 【分析】已知等式利用平方公差式化简，相乘即可求出所求． 【详解】解：∵m2﹣n2＝40， ∴(m+n)(m﹣n)＝40， ∵m﹣n＝5， ∴m+n＝8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 33．1 【分析】将2020×2022变形成平方差公式的形式，然后再计算即可． 【详解】解： ． 故答案是1． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，将2020×2022变形成平方差公式的形式成为解答本题的关键． 34． 【分析】运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握运算法则以及平方差公式是解答此题的关键． 35．7 【分析】首先利用平方差公式将已知化简，进而得出x2＋y2的值． 【详解】解：因为（x2+y2+1）（x2+y2﹣1）＝48， 所以（x2+y2）2﹣12＝48， 所以（x2+y2）2＝49， x2+y2＝±7（负值舍去）． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题的关键． 36．（1）34；（2）32 【分析】①本题需先根据完全平方公式对要求的式子进行整理，再把代入即可求出答案． ②本题需先根据已知条件对要求的式子进行整理，再把代入即可求出结果． 【详解】解：（1） ， 把代入上式得： 原式=36-2 =34； （2） ， 把代入上式得： 原式 =32． 故答案为：34，32． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，在解题时要根据完全平方公式进行计算是本题的关键． 37．(1)﹣2x+4，3 (2)8x2+8xy+3y2 (3)﹣14a+9 (4)﹣8x+4 【分析】（1）先计算乘法，再合并即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并即可求解； （3）先计算乘法，再合并即可求解； （4）先计算乘法，再合并即可求解． 【详解】（1）解：原式＝x2﹣2x﹣（x2﹣4） ＝x2﹣2x﹣x2+4 ＝﹣2x+4， 当x＝时，原式＝﹣1+4＝3． （2）解：(2x+y）（2x﹣y）+4（x+y）2 ＝4x2﹣y2+4（x2+2xy+y2） ＝4x2﹣y2+4x2+8xy+4y2 ＝8x2+8xy+3y2． （3）（a﹣3）2﹣a（a+8） =a2﹣6a+9﹣a2﹣8a ＝﹣14a+9． （4）（x﹣2）2﹣x（x+4）． （x﹣2）2﹣x（x+4） ＝x2+4﹣4x﹣x2﹣4x ＝﹣8x+4． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，整式的混合运算法则是解题的关键． 38．(1) (2) 【分析】（1）（x+1）（y+1）=xy+（x+y）+1，再整体代入计算即可求解； （2）将x2+y2变形为（x+y）2-2xy，再整体代入计算即可求解． 【详解】（1）（1）解：（1）（x+1）（y+1） =xy+（x+y）+1 =-3++1 = ； （2）（2）解：x2+y2 =（x+y）2-2xy =， =． 【点睛】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，解题关键是整体思想的应用． 39．（1）a2﹣b2；（2）a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（4）①99.91；②4m2﹣n2+2np﹣p2 【分析】（1）利用正方形的面积公式就可求出； （2）仔细观察图形就会知道长，宽，由面积公式就可求出面积； （3）建立等式就可得出； （4）利用平方差公式就可方便简单的计算． 【详解】解：（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2； 故答案为：a2﹣b2； （2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）； 故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）； （3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）； 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （4）①解：原式＝（10+0.3）×（10﹣0.3） ＝102﹣0.32 ＝100﹣0.09 ＝99.91； ②解：原式＝[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）] ＝（2m）2﹣（n﹣p）2 ＝4m2﹣n2+2np﹣p2． 【点睛】此题主要考查了平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．对于有图形的题同学们注意利用数形结合求解更形象直观． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $