第05讲有关数轴上动点问题-2026年北师大版七年级数学寒假教学讲义

第05讲 有关数轴上动点问题 【学习目标】 1.数轴上动点问题一般都是行程相遇或追击问题，一定要会用方程的思想，找到等量关系去求解． 2．一定要会分类讨论问题，数轴上动点问题，分左右两侧，经常会出现2种情况． 【基础知识】 一、常用公式 （1）路程=速度×时间 （2） ①相遇问题（或相向问题）：相遇路程=速度和×相遇时间 甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：追及路程=速度差×追及时间 第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程 （3）求数轴上两点之间的距离方法是右边点所表示的数减去左边点所表示的数． 二、分类讨论 （1）两点的距离，一定要考虑左右两侧． （2）一个动点或2个动点问题，点在移动时，会在线段的内侧或者外侧2种情况． 【考点剖析】 考点一：数轴上一个动点移动 1．如图,数轴上两点A、B所表示的数分别为-3、1. (1)写出线段AB的中点M所对应的数； (2)若点P从B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动,运动时间为秒: ①用含的代数式表示点P所对应的数； ②当BP=2AP时,求值． 2．如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，则该动点运动到第2022秒时所对应的数是（    ） A． -405 B．-406 C．-1010 D．-1011 考点二：数轴上2个动点同时移动 3．如图，已知数轴上点A表示的数为6，且AB＝10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t＞0）． （1）数轴上点B表示的数为　　　　，当t＝2时，点P表示的数为　　　　； （2）动点R从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问经过多长时间P，R两点相遇？ （3）动点R从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多长时间P，R两点相距2个单位长度？ 【真题演练】 6．如图1，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点． （1）求线段MN的长度； （2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC=a，其他条件不变，求MN的长度； （3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？ 7．如图，数轴上有三个点A，B，C，表示的数分别是﹣4，﹣2，3． （1）若使C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动　 　个单位； （2）点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒a个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒： ①点A、B、C表示的数分别是　 　、　 　、　 　　（用含a、t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当a为何值时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求此时5d1﹣3d2的值． 8．已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是4，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的4倍． （1）a＝　 　，b＝　 　，AB＝　 　； （2）动点M、N分别从点A、B的位置同时开始在数轴上做没有折返的运动，已知动点M的运动速度是1个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒． ①若点M和点N相向而行，经过几秒点M与点N相遇？ ②若点M和点N都向左运动，经过几秒点N追上点M？ ③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒M、N相距6个单位长度？ 9．如图，已知数轴上点A表示的数为a，B表示的数为b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）写出数轴上点A表示的数是____________，点B表示的数是______，点P表示的数是____________（用含t的式子表示）； （2）当点P在点B的左侧运动时，M、N分别是PA、PB的中点，求PM－PN的值 （3）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，点P运动多少秒时P、Q两点相距4个单位长度？ 【过关检测】 13．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题： （1）当时，A点表示的数为_________，此时_________； （2）当运动到（单位长度）时，求运动时间t的值； （3）P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：________． 14．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，请解答以下问题： （1）当AC＞BC时，点D在线段　 上； 当AC＝BC时，点D与　 　重合；当AC＜BC时，点D在线段　 　上； （2）若AC＝18cm,BC＝10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s, 设运动时间是t（s）, 求当t为何值，三角形PCD 的面积为10？ （3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm，求CB的长度． 15．如图，相距千米的两地间有一条笔直的马路，地位于两地之间且距地千米，小明同学骑自行车从地出发沿马路以每小时千米的速度向地匀速运动，当到达地后立即以原来的速度返回，到达地停止运动，设运动时间为t (时)，小明的位置为点. (1)当时，求点间的距离 (2)当小明距离地千米时，直接写出所有满足条件的值 (3)在整个运动过程中，求点与点的距离(用含t的代数式表示) 16．已知数轴上，点A和点B分别位于原点O两侧，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且|a－b|＝7 （1）若b＝－3，则a的值为__________； （2）若OA＝3OB，求a的值； （3）点C为数轴上一点，对应的数为c．若O为AC的中点，OB＝3BC，求所有满足条件的c的值．    17．已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D，E在直线AB上，点D在点E的左侧． （1）若AB＝15，DE＝6，线段DE在线段AB上移动． ①如图1，当E为BC中点时，求AD的长； ②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，CF＝3，求AD的长； （2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，求的值．      19．如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为-2和7，用符号“AB”来表示点A和点B之间的距离． （1）求AB的值； （2）若在数轴上存在一点C，使，求点C表示的数； （3）点P和点Q是数轴上的两个动点，点P从A出发以2个单位/秒的速度向右运动，同时点Q从B出发以1个单位/秒的速度向左运动，设运动时间为t秒，当时，请直接写出t的值： 23．数轴上点A表示，点B表示10，点C表示18，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，点M、N表示的数分别是m、n，我们把m、n之差的绝对值叫做点M，N之间友好距离，即，那么我们称点A和点C在折线数轴上友好距离为28个长度单位．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半：点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当秒时，P、Q两点在折线数轴上的友好距离为______个单位长度． （2）当P、Q两点在折线数轴上相遇时，求运动的时间t的值． （3）是否存在某一时刻使得P、O两点在折线数轴上的友好距离与Q、B两点在折线数轴上的友好距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）-1；（2）①1-2x；②x=或x=4． . 【分析】（1）根据中点的公式计算可得； （2）①根据两点间的距离公式求解可得；②分P运动到A、B之间和运动到BA的延长线上两种情况，根据“BP=2AP”列出方程，解之可得． 【详解】解：（1）线段AB的中点M所对应的数为 =-1； （2）①点P对应的数为1-2x； ②若P运动到A、B之间，则1-（1-2x）=2[1-2x-（-3）]，解得x=； 若P运动到BA的延长线上时，则1-（1-2x）=2[-3-（1-2x）]，解得x=4． 综上，当BP=2AP时，x=或x=4． 【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上两点的距离公式：若点A表示a，点B表示b时，AB=|xb-xa|． 2．B 【分析】一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，可知该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位，2022÷5＝404…2，即可求解． 【详解】解：∵一个动点从原点O开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴该点运动周期为5秒，每5秒向左运动一个单位， ∵2022÷5＝404…2， ∴该点运动到2020秒时对应的数为−404， ∴第2022秒再向左运动2个单位得−406， 故选：B． 【点睛】根据题意利用运动周期找出规律，解题关键是抓住运动周期5秒． 3．（1），2；（2）2秒；（3）或秒． 【分析】（1）根据点A表示的数为6，且AB＝10，点B在点A的左则，列出算式求解即可；根据点P从点A出发，每秒2个单位长度向左匀速运动，列出算式求解即可； （2）设经过秒后P，R两点相遇，根据题意列出方程求解即可； （3）根据两种情况：当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度；当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度，据此根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：（1）点表示的数为； 当时，点P表示的数为：； 故答案是：，2； （2）设经过秒后P，R两点相遇， 依题意得：， 解之得：； ∴经过2秒后P，R两点相遇； （3）设P，R两点运动的时间是 当P，R两点还没有相遇，相距2个单位长度， 依题意得：， 解之得：； 当P，R两点相遇后再相离，相距2个单位长度， 依题意得：， 解之得：； 综上所述，或秒后，P，R两点相距2个单位长度 【点睛】 本题考查了两点间的距离，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，要注意分类讨论． 4．(1) (2)存在，x的值为2或 (3)24 【分析】（1）根据题意可得，利用中点解题； （2）此题分为三种情况，当P在之间时，当点P在B的右边时，当点P在A的左边时，分别列出方程求解即可； （3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：进而求出即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴， ∴点P对应的数为； （2）解：①当P在AB之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合，由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴，解得， ∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置． 5．(1)见解析 (2)40 (3)13秒或27秒 【分析】（1）画出数轴，标出A、B两点，即可求解； （2）先求出A、B两点之间的距离：，再求出M点到A、B两点的距离：，然后借助数轴即可求出M点； （3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上画出表示A、B的点，如下图： （2）解：A、B两点之间的距离：， 所以M点到A、B两点的距离为， 观察数轴得：与A，B两点距离相等的M点对应的数为40； （3）解：相遇前：（秒）， 相遇后：（秒）， 则经过13秒或27秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度． 【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是要分两种情况：相遇前和相遇后． 6．（1）8厘米；（2）a；（3）t=4或或． 【分析】（1）（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC=5厘米，CN=BC=3厘米， ∴MN=CM+CN=8厘米； （2）∵点M，N分别是AC，BC的中点， ∴CM=AC，CN=BC， ∴MN=CM+CN=AC+BC=a； （3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得 10﹣2t=6﹣t，解得t=4； ②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t﹣10=16﹣3t，解得t=； ③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t=3t﹣16，解得t=； ④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10=t﹣6，解得t=4（舍）， 综上所述：t=4或或． 【点睛】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 7．（1）1或9（2）①﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t；②19. 【分析】（1）由AB=2，结合数轴即可得出点C向左移动的距离； （2）①结合路程=时间×速度写出答案； ②先求出d1=3t+5，d2=（a+2）t+2，从而得出5d1﹣3d2=（9﹣3a）t+19，进一步根据题意即可求出结果. 【详解】（1）由数轴可知：A、B两点的距离为2，B点、C点表示的数分别为：﹣2、3， 所以当C、B两点的距离是A、B两点的距离的2倍时，需将点C向左移动1或9个单位； 故答案是：1或9； （2）①点A表示的数是﹣4﹣at；点B表示的数是﹣2+2t；点C所表示的数是3+5t． 故答案是：﹣4﹣at；﹣2+2t；3+5t； ②∵点A以每秒a个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴d1=3t+5，d2=（a+2）t+2， ∴5d1﹣3d2=5（3t+5）﹣3[（a+2）t+2]=（9﹣3a）t+19， ∵5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，∴9﹣3a=0，解得a=3， 故当a为3时，5d1﹣3d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时5d1﹣3d2的值为19． 【点睛】考查了数轴与绝对值以及整式的加减运算，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 8．（1）-4，16，20；（2）①5秒，②10秒，③秒或秒或7秒或13秒 【分析】（1）根据数轴上点的位置及两点之间的距离解答即可． （2）①相遇问题，两者的路程和等于两点间的距离； ②追及问题，两者的路程差等于两点的距离； ③分类讨论，根据相向运动及同时向左运动，然后分相遇前和相遇后，根据数轴上两点间距离，列方程求解即可． 【详解】解：（1）已知AB两点对应的数分别为a，b， ∵A在原点的左侧，且距离为4， ∴a＝-4． 当B在原点的右侧，且到原点的距离是A到原点距离的4倍， ∴b＝|a|×4＝16， ∴AB＝|AO|+|OB| ＝4+16 ＝20． 即a＝-4，b＝16，AB＝20． 故答案为：-4，16，20． （2）①若M，N相向而行，设x秒相遇， 则1×x+3x＝20，解得x＝5． ∴5秒M与N相遇． 答：5秒M与N相遇． ②当M，N都向左运动， 设x秒相遇， 则3×x-x×1=20，解得x＝10． 答：10秒点N追上点M． ③当M，N运动方向不限时， 设y秒M，N相距6个单位长度． 有两种情况：①当M，N相向运动，相遇前相距6个单位长度． 则20﹣y×1﹣y×3＝6，解得y＝， 当M，N相向运动，相遇后相距6个单位长度． 则y×1+y×3=20+6， 解得y= ②当M，N都向左运动，N追上M前相距6个单位长度． 则3y+6-1×y=20，解得y=7． 当M，N都向左运动，N追上M后相距6个单位长度． 则3y-1×y=20+6，解得y=13， 综上所述，当M，N相向运动时秒或秒时，M，N相距6个单位；当M，N均向左运动时，7秒或13秒时M，N相距6个单位． 【点睛】本题一元一次方程的应用和相遇知识点，利用数形结合思想解题是关键． 9．（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5 【分析】（1）根据非负数的和等于0，则=0，=0，进而即可求解； （2）分别用含t的代数式表示PM=4t，PN=4t-8，进而即可求解； （3）分别表示出P、Q所在点表示的数，再列出方程，即可求解． 【详解】解：（1）∵，≥0，≥0， ∴=0，=0，即：a=10，b=-6， ∴A表示的数是10，点B表示的数是-6， ∵动点P从点A出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是：10-8t， 故答案是：10，-6，10-8t； （2）当点P在点B的左侧运动时，PA=8t，PB=8t-16， ∵M、N分别是PA、PB的中点， ∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8， ∴PM－PN=4t-（4t-8）=8； （3）设运动t秒，P所在点表示的数为：10-8t，Q所在点表示的数为：-6-4t， ∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，用代数式表示出两点间的距离公式，是解题的关键． 10．（1）-1；1；5；（2）不变，BC-AB=2． 【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值； （2）先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2． 【详解】解：（1）∵b是最小的正整数， ∴b=1． 根据题意得：c-5=0且a+b=0， ∴a=-1，b=1，c=5． 故答案为：-1；1；5； （2）不变．理由如下： t秒时，点A对应的数为-1-t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5． ∴BC=（5t+5）-（2t+1）=3t+4，AB=（2t+1）-（-1-t）=3t+2， ∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 11．（1）16；；（2）10；-10；（3），，或 【分析】（1）利用绝对值和完全平方的非负性求解即可； （2）结合（1）的结论，结合点P和点Q的速度直接列式求解即可； （3）根据（1）的结论，分情况讨论①当0≤t≤8时，②当8＜t＜16时，分别用含的代数式OP，OQ，进而根据题意列一元一次方程解决问题． 【详解】解：（1）由非负性知，，， 解得：，， 故答案为：16；； （2）由（1）可知，点A表示的数为16，点B表示的数为-8， 当时，点P表示的数为16-2×3=10， 点Q表示的数为-8-2×1=-10， 故答案为：10；-10； （3）由（1）可知，AB=16-(-8)=24， ∴24÷3=8秒，即：点P从A到B用时8秒， ①若， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P、点Q与原点的距离之和为22， ∴， ∵， ∴，即：， 1）当时，， 解得：； 2）当时，， 解得：； ②若， 点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点P、点Q与原点的距离之和为22， ∴， ∵， ∴，即：， 1）当时，， 解得：； 2）当时，， 解得：； 综上分析，当，，或时，满足点P、点Q与原点的距离之和为22． 【点睛】本题考查了数轴上的点的距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 12．（1）-30，-10；（2）①；②4或 【分析】（1）由AB，BC的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数； （2）①由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数； ②由①结合PQ＝8，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）∵AB＝BC＝20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧， ∴点B对应的数为10﹣20＝﹣10，点A对应的数为﹣10﹣20＝﹣30， 故答案为：﹣30；﹣10． （2）①当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t﹣30，点Q对应的数是t﹣10， 故答案为：4t﹣30；t﹣10． ②依题意，得：|t﹣10﹣（4t﹣30）|＝8， ∴20﹣3t＝8或3t﹣20＝8， 解得：t＝4或t＝． ∴t的值为4或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据线段AB，BC的长度，找出点A，B对应的数；（2）①用含t的代数式表示出点P，Q对应的数；②利用两点间的距离公式，找出关于t的一元一次方程． 13．（1），16；（2）或；（3）或 【分析】（1）用加上点运动1秒的路程可得点表示的数；分别求出、两点运动1秒后在数轴上表示的数，再利用两点间的距离公式即可求出； （2）设运动秒时，（单位长度），然后分点在点的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）随着点的运动，分别讨论当点和点重合、点在点和之间及点与点重合时的情况． 【详解】解：（1）当时，点表示的数为； 、两点运动1秒后在数轴上表示的数为，， 此时． 故答案为：，16； （2）设运动秒时，（单位长度）， ①当点在点的左边时， 由题意得：， 解得：； ②当点在点的右边时， 由题意得：， 解得：． 综上所述，当运动到（单位长度）时，运动时间的值为或； （3）设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为， 则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， ， ， ， 即：， ①当点在点右侧时， ， ， ； ②当点在点左侧时， ， ， ； 的长有2种可能，即或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程的应用和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解． 14．（1）AC，C，BC； (2) s；（3）CB的长度是4 cm 或28cm. 【详解】试题分析：（1）根据图形以及阅读材料所给的信息直接填空即可；(2)如图4，先表示PC=2t，由折中点的定义得AD=14，根据三角形的面积公式列式可求t的值；（3）分当点D在线段AC上与BC上两种情况求解即可. 试题解析： (1)当AC>BC时，如图1，点D在线段AC上； 当AC=BC时，如图2，点D与C重合； 当AC<BC时，如图3，点D在线段BC上； 因此，本题正确答案是：AC，C，BC. （2）如图4，根据题意得：PC=2t， ∵AC=18，BC=10 cm， ∴AC+BC=18+10=28 cm， ∵D点是折中点， ∴AD=14cm， ∴CD=18-14=4cm， ∵∠ACB=90°， ∴， 即， 解得， 则当t为秒时，三角形PCD的面积为10cm2； (3)分两种情况： ①点D在线段AC上时，如图5， ∵E为线段AC中点,EC=8 cm, ∴AC=2CE=16cm， ∵CD=6cm， ∴AD=AC-CD=16-6=10cm， ∵D为折中点， ∴AD=CD+BC， ∴BC=AD-CD=10-6=4cm； ②点D在线段BC上,如图6, ∵E为线段AC中点，EC=8cm， ∴AC=2CE=16cm， ∴AD=AC+CD=16+6=22cm， ∴BD=AC+CD=22cm， ∴BC=BD+CD=22+6=28cm. 综上所述，CB的长度是4 cm 或28 cm. 15．（1）1.5k；（2）；（3）5，20-5t 【分析】(1)根据速度，求出t=0.5时的路程，即可得到P、C间的距离； (2)分由A去B，B返回A两种情况，各自又分在点C的左右两侧，分别求值即可； (3)PA的距离为由A去B，B返回A两种情况求值. 【详解】(1)由题知: 当时,，即 当小明由A地去B地过程中： 在AC之间时， （小时）， 在BC之间时， （小时）， 当小明由B地返回A地过程中： 在BC之间时， （小时）， 在AC之间时， （小时）， 故满足条件的t值为： (3)当小明从A运动到B的过程中，AP=vt= 5t, 当小明从B运动到A的过程中，AP= 20-vt= 20- 5t. 【点睛】此题考查线段的和差的实际应用，掌握题中运用的行程题的公式，正确理解题意即可正确解题. 16．（1）4；（2）a＝±5.25；（3）C点对应±2.8，±4． 【分析】（１）根据|a－b|＝7，a、b异号，即可得到a的值； （２）分两种情况讨论，依据OA＝3OB，即可得到a的值； （３）分四种情况进行讨论，根据O为AC的中点，OB＝3BC，即可求出所有满足条件的c的值． 【详解】（1）∵|a﹣b|＝14， ∴|a+3|＝14， 又∵a＞0， ∴a＝4， 故答案为：4； （2）设B点对应的数为a+7．    3（a+7﹣0）＝0﹣a， 解得a＝﹣5．25； 设B点对应的数为a﹣7．    3[0﹣（a﹣7）]＝a﹣0， 解得a＝5．25， 综上所得：a＝±5．25； （3）满足条件的C有四种情况： ①如图：3x+4x＝7，    解得x＝1， 则C对应﹣4； ②如图：x+2x+2x＝7，    解得x＝1．4， 则C对应﹣2．8； ③如图：x+2x+2x＝7，    解得x＝1．4， 则C对应2．8； ④如图：3x+4x＝7，    解得x＝1， 则C对应4； 综上所得：C点对应±2．8，±4． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用和数轴的知识，用到知识点还有线段的中点，关键是根据线段的和差关系求出线段的长度． 17．（1）①AD的长为6.5；②AD的长为或；（2）的值为或 【分析】（1）根据已知条件得到BC＝5，AC＝10， ①由线段中点的定义得到CE＝2.5，求得CD＝3.5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD； ②如图2，当点F在点C的右侧时，如图3，当点F在点C的左侧时，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段BC之间时，①如图4，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，表示出CD、BD，即可求解；②当点E在点A的左侧，如图5，与①类似的步骤可求解；③当点D、E都在点C的右侧，如图6，与①类似的步骤可求解，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝15， ∴BC＝5，AC＝10， ①∵E为BC中点， ∴CE＝2.5， ∵DE＝6， ∴CD＝3.5， ∴AD＝AC﹣CD＝10﹣3.5＝6.5； ②如图2，当点F在点C的右侧时，    ∵CF＝3，AC＝10， ∴AF＝AC+CF＝13， ∵AF＝3AD， ∴AD＝； 如图3，当点F在点C的左侧时，    ∵AC＝10，CF＝3， ∴AF＝AC﹣CF＝7， ∴AF＝3AD， ∴AD＝＝； 综上所述，AD的长为或； （2）①当点E在线段BC之间时，如图4，    设BC＝x， 则AC＝2BC＝2x， ∴AB＝3x， ∵AB＝2DE， ∴DE＝1.5x， 设CE＝y， ∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y， ∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y， ∵， ∴， ∴y＝x， ∴CD＝1.5x﹣x＝x，BD＝3x﹣(0.5x+y)＝x， ∴＝＝； ②当点E在点A的左侧，如图5，    设BC＝x，则DE＝1.5x， 设CE＝y， ∴DC＝EC+DE＝y+1.5x， ∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x， ∵＝，BE＝EC+BC＝x+y， ∴， ∴y＝4x， ∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x， ∴， ③点D、E都在点C的右侧时，如图6，    设BC＝x，则DE＝1.5x， 设CE＝y， ∴DC＝EC-DE＝y-1.5x， ∴AD＝DC+AC＝y-1.5x+2x＝y+0.5x， ∵＝，BE＝EC-BC＝y-x， ∴， ∴y＝-4x（舍去） 综上所述的值为或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，线段的和差，线段的中点，以及分类讨论的数学思想，比较难，分类讨论是解答本题的关键． 18．（1）-1，4；（2）①12秒；②4秒；（3）10或12 【分析】（1）数轴上点移动对应的数变化规律：左移减，右移加，结合路程=时间×速度即可得出答案； （2）①根据点B、点M随运动时间为t（秒）变化规律表示出对应的数，根据边与边重合得点B、点M所对应的数相等列方程求解即可； ②同①求出点A、点N重合时，所需要时间即可解答； （3）根据两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，得出重合部分边长为，再分正方形在后和在面两种情况求出t，进而求出点B对应的数． 【详解】解：（1）∵点B对应．∴正方形以每秒1个单位的速度向右运动2秒后，运动路程为2个单位，此时点B对应的数是-3+2=-1； 同理可得：点M对应的数是3+1=4； 故答案为：-1，4； （2）①设运动时间为t（秒），则点B在运动时所对应的数为：-3+t，点M在运动时所对应的数为：， 依题意得：， 解得：（秒） ②设运动时间为t（秒），则点A在运动时所对应的数为：-4+t，点N在运动时所对应的数为：， 依题意得：， 解得：（秒） ∴正方形从刚好赶上正方形到完全超过需要时间=16-12=4（秒）； （3）因为两个正方形重合部分的面积（阴影面积）与空白部分面积的和之比为，而两块空白部分面积相等，所以阴影面积与每一块空白面积相等；故此时重合部分边长为， 当正方形在后时，点B在点M前个单位，则有：，解得：（秒），此时点B所对应的数为； 当正方形在前时，点B在点N前个单位，则有：，解得：（秒），此时点B所对应的数为； 故答案为：10或12． 【点睛】此题考查了实数与数轴，也考查了一元一次方程的应用（行程问题），根据点的运动路程确定其对应的数是解题关键，利用点的位置关系和点所对应的数相等列方程是难点． 19．（1）9；（2）4或16；（3）或 【分析】（1）数轴上点B在点A的右侧，故用电B的坐标减去点A的坐标即可得AB的值； （2）设点C表示的数为x，根据AC=2BC，列绝对值方程求解即可； （3）利用两点间距离公式用含t的式子表示出PB和AQ，再列方程即可． 【详解】解：(1)数轴上两点A，B表示的数分别为-2，7， ∴AB= 7-(-2)= 9， 答：A B的值为9； (2)设点C表示的数为x，由题意得： | x-(-2)|= 2|x- 7|， ∴|x+2|=2|x- 7|， ∴x=16或x=4． .答:点C表示的数为4或16； (3)t秒后，PB= |2t- 2- 7|= |2t- 9|， AQ =|7- t+ 2|= |9- t|， 当PB+ AQ = 12时， |2t- 9|+|9-t|= 12， 当0≤t≤4.5时，解得：t=2； 当4.5 < t≤9时，解得：t= 12(舍)； 当t>9时，解得：t=10； 所以，t = 10或2． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，需利用一元一次方程和绝对值方程来求解，解题的关键是根据题意列出方程． 20．（1）﹣6；12；（2）①3；②点T从点M开始沿数轴正方向运动，点T的运动速度是每秒个单位长度． 【分析】（1）直接根据绝对值的非负性，偶次方的非负性即可得出答案； （2）①设点M表示的数为m，然后根据和谐点的定义求解即可； ②设运动的时间为x秒，P、Q两点的和谐点T表示的数是y，点T运动的速度是每秒v个单位长度，则点P表示的数是－6＋2x，点Q表示的数是12－x，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵（2a＋b）2＋|b﹣12|＝0， ∴， ∴，， 故答案为：﹣6；12； （2）①设点M表示的数为m， 根据题意得m＋6＝12－m， 解得m＝3， 所以A、B两点的和谐点M在数轴上对应的有理数是3． ②设运动的时间为x秒，P、Q两点的和谐点T表示的数是y，点T运动的速度是每秒v个单位长度， 则点P表示的数是－6＋2x，点Q表示的数是12－x， 所以y＝（－6＋2x＋12－x）＝3＋x， 因为y随x的增大而增大，且3＋x＞3， 所以点T从点M开始沿数轴正方向运动， 取x＝2，则y＝4， 由题意得2v＝4－3， 解得v＝， 所以点T的运动速度是每秒个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值以及偶次幂的非负性的应用，熟练掌握数轴上有理数的表示方法，数轴上两点之间的距离是解本题的关键． 21．（1）60，15；（2）甲，乙在数轴上的﹣28点相遇；（3）10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度；（4）甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20 【分析】（1）根据A，B两点之间的距离AB＝|﹣40﹣20|，根据题意即可求解； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到结论； （4）设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇，根据题意得方程解方程即可． 【详解】（1）A、B两点的距离为AB＝|﹣40﹣20|＝60，乙到达A点时共运动了60÷4＝15秒； 故答案为：60，15； （2）设甲，乙经过x秒会相遇，根据题意得：x+4x＝60， 解得 x＝12， ﹣40+x＝﹣28． 即甲，乙在数轴上的﹣28点相遇； （3）两种情况： 相遇前，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度， 根据题意得，y+4y＝60﹣10， 解得y＝10； 相遇后，设y秒时，甲、乙相距10个单位长度，根据题意得， y+4y﹣60＝10， 解得：y＝14， 即10秒或14秒时，甲、乙相距10个单位长度； （4）乙到达A点需要15秒，甲行驶了15个单位长度， 设甲到达B点前，甲，乙经过a秒在数轴上相遇 根据题意得方程：4(a-15)=15+1×（a-15） 解方程得：a=20 由于甲到达B点需要时间为60秒，而20<60 此时甲运动的个单位长度为：20×1=20 此时甲在数轴上的位置表示的数为：-40+20=-20 故甲，乙能在数轴上相遇，相遇点表示的数是﹣20． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． 22．（1）1，6；（2）-10，20；（3）25秒或35秒或5秒或7秒 【分析】（1）根据“左减右加”的规律即可求出点B表示的数，利用“大数减小数”即可求出两数间的距离； （2）根据“左减右加”的规律a-10+70=50，即可求出a的值，到A、B两点距离相等的点为A、B两点中间的点，利用规律“两数相加除以2”即可求出； （3）设当运动x秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度，分析电子蚂蚁Q的运动方向：向左运动时两只蚂蚁的位置分别为-10-4t和50-6t；向右运动时两只蚂蚁的位置分别为-10+4t和50-6t，再利用“大数减小数”求出两数间的距离为10即可； 【详解】（1）终点B表示的数是-5+6=1，A、B两点间的距离是1-（-5）=6； （2）依题意有a-10+70=50，解得a=-10；  A、B两点中间的点表示的数为（-10+50）÷2=20； （3）设当它们运动x秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度， 电子蚂蚁Q向左运动，依题意有（-10-4t）-（50-6t）=10，解得t=35；或（50-6t）-（-10-4t）=10，解得t=25； 电子蚂蚁Q向右运动， 依题意有（-10+4t）-（50-6t）= 10，解得t=7； 或（50-6t）-（-10+4t）=10，解得t=5． 故当它们运动25秒或35秒或5秒或7秒时间时，两只蚂蚁间的距离为10个单位长度25秒或35秒或5秒或7秒 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离以及一元一次方程的应用，能正确的用数轴上的点表示有理数是解题的关键． 23．（1）5；（2）；（3）存在，或 【分析】（1）根据路程等于速度乘时间，可得点P、Q运动的路程，从而可求出点P、Q与点O相距的距离，进一步求得P、Q友好距离； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得当P、Q两点相遇时，运动的时间t的值； （3）由路程、速度、时间三者关系，根据PO=QB分类求出三种情况下的时间为2秒或秒． 【详解】解：（1）当t=14秒时，点P和点O在数轴上相距（14-10÷2）×1=9个长度单位，点Q和点O在数轴上相距18-1×14=4个长度单位，P、Q友好距离9-4=5个单位长度． 故答案为：5； （2）依题意可得：10+（t-5）+t=28， 解得． 故运动的时间t的值为； （3）当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得： 10-2t=8-t， 解得：t=2， 当点P、Q两点都在OB上运动时， t-5=t-8， 无解， 当P在OB上，Q在BC上运动时， 8-t=t-5， 解得：t=； 即PO=QB时，运动的时间为2秒或秒． ∴存在，t的值为2或． 【点睛】本题考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，重点掌握一元一次方程的应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $