第二章 有理数及其运算 1 认识有理数-【支点·同步系列】2025-2026学年新教材七年级上册数学（北师大版2024）

第二章 有理数及其运算 1认识有理数 第1课时有理数 要点提示 1.正、负数的概念：大于0的数叫作正数，在正数前面加上“一”号的数叫作负数，0戴不是正数，也不是黄数 2.用正、负数表示相反意义的量：用正数表示一种意义的量，则用负数表示另一种和它素义相反的量， 正整数 整数零 3.有理数及其分类：(1)坠数和分数统称有理数，(2)有理鼓 负整数 正分数 分数 负分数 O1固基础 B.整数和小数统称有理数 C.整数和分数统称有理数 知识点1正数和负数 D.整数、零和小数统称有理数 1.下列各数中，属于负数的是 6.所有分数组成分数集 A.2025B.-2025C.2025 1 分数 负数 D.0 合，所有负数组成负数 第6题图 2.（教材变式)下列各数：一204.3,79,0.104， 集合.如图所示的阴影 部分也表示一个集合，则这个集合可以包含 -20,0, 36.5. 的有理数为 属于正数的有 A.3 B.-2025 c- D.0 属于负数的有 7.(2024一2025抚州南城月考)把下列各数填 知识点2具有相反意义的量 入相应的集合中： 3.(2024山西)中国空间站位于距离地面约 5 3,0,-0.5,-3.14,-5,1. 400km的太空环境中，由于没有大气层保 护，在太阳光线直射下，空间站表面温度可 正数集合：{ …} 高于零上150℃，其背阳面温度可低于零下 负数集合：( …}； 100℃.若零上150℃记作+150℃，则零下 整数集合：{ …}; 100℃记作 ( A.+100℃ B.-100℃ 分数集合：( …} C.+50℃ D.-50℃ ●易错点对有理数的分类认识不清致错 4.如果十20%表示增加20%，那么一6%表示 8.下列关于有理数的分类正确的是( A,有理数分为正有理数和负有理数 知识点3有理数的分类 B.有理数分为整数，正分数和负分数 5.下面的说法中，正确的是 C.有理数分为正有理数、0、分数 A.正有理数和负有理数统称有理数 D.有理数分为正整数、负整数、分数 上册第 02提能力念 记为正数，不足的分数记为负数.小朋得了 98分，应记作 分，小兰的成绩记 9在有理数3.14,3，-20，十0.003-3 作一？分，她的实际得分是 分 一104,6005中，负分数的个数为x,正整数 15.一种商品的标准价格是300元，但随着季 的个数为y,则x十y的值为 ( 节的变化，该商品的价格可浮动土10%. A.3 B.4 C.5 D.6 (1)这里士10%的含义是什么？ 10.一种面粉的质量标识为“25士0.25kg”,则 (2)请你算出该商品的最高价格和最低 下列面粉的质量合格的是 ( 价格。 A.25.30kg B.25.51kg (3)如果以标准价格作为参考，超过标准价 格记作“十”，低于标准价格记作“一”，该商 C.24.80kg D.24.70kg 品价格的浮动范围又可以怎样表示？ 11.古代数学文化我国古代数学名著《九章算 术》中对正负数的概念注有“今两算得失相 反，要令正负以名之”.如粮库把运进30t 粮食记为“十30”，则“-30”表示() A.运出30t粮食B.亏损30t粮食 C.卖掉30t粮食D.吃掉30t粮食 12.(教材变式)下列选项中，所填的数正确的 是 ( ) O3拓思维)念… A正数集合：2,1.5,2… 16观聚-列数：号号一专一多… B.负数集合：{0，一1，一2.5，… (1)请你写出这一列数中的第100个数和 C分数集合-255，… 第2025个数， (2)在前2025个数中，正数和负数分别有 D.整数集合：3 2-5,… 多少个？ 13.下列说法中，正确的是 (3)2024 2025这两个数，哪一个在这 2024 A.“向东走5m”与“向西走10m”不是具有 2025和 一列数中？请说明理由， 相反意义的量 B.如果气球上升25m记作十25m,那么 -15m表示气球下降-15m C.如果气温下降6℃记作一6℃，那么 +8℃表示零上8℃ D.如果将高1m记作0m,高1.20m记作 十0.20m,那么-0.05m所表示的高是 0.95m 14.某班最近一次数学测试的平均成绩为95 分，如果把平均成绩记为0分，超过的分数 叔学七年级B$版 第2课时绝对值 要点提示 1.相反数：(1)如果两个数只有精号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为和反数.0 的相反数是0.(2)一般地，数口的相反数是一a,其中a代表任意有理数。 2.绝对值：(1)一个数袁示的数量多少叫作这个数的绝对值.(2)正数的绝对值是它幸身；负数的绝对值是它畅 a(a>0): 相反越：0的绝对位是0.(3)设为任意有理数，剩|a0(a一0)： -a(a<0). 3.利用绝对值比较有理数的大小：正数大于，负数小于0，正数大于负数.两个负数，糖树值大的反而小， O1固基础● 知识点3利用绝对值比较有理数的大小 7.跨物理学科几种气体的液化温度（标准大 知识点1相反数的概念及性质 气压)如下表： 1.(2024绥化)- 2025的相反数是 气体 氧气 氢气 氨气 氨气 A.2025 B.-2025 液化温度/℃ -183 -253 195.8 -269 1 1 C.一2025 D.2025 其中液化温度最低的气体是 A.氨气B.氮气C.氢气D.氧气 2.下列各组数中，互为相反数的有 8.（教材变式)比较大小（填“>”“<”或“=”）： ①-2与+(-2)： ②+(+1)与-1： (1)- 10 2 ③-(-1)与+(-1)： (2)0 ④+[-(-2)]与-[+(+2)]. A.1组B.2组C.3组D.4组 -引 3.若一a的相反数是-2025，则a- 9.比较下列各组数的大小： 0-35 14 知识点2绝对值的概念及性质 4.(2024成都)-5的绝对值是 2+(-13-7 A.5 B.-5 c日 D.一 (3)0,-1-21. 5.若|x|=3,则x的值为 6.已知a-3|+|2b-4=0. (1)求a与b的值. (2)若|x=2a十4b,求x的相反数. 上册第二章 念O2提能力 17.(教材变式)张师傅要从6个圆形机器零件 中选取2个拿去使用.经过检验，比规定直 10.已知a为有理数，则下列四个数中，一定为 径长的记为正数，比规定直径短的记为负 非负数的是 () 数，记录如下（单位：mm): A.a B.-a C.|-al D.-|-al 1号 2号 3号 4号 5号 6号 11.（2024一2025九江浔阳区月考)若m的绝 零件 零件 要件 零件 要件 零件 对值为一（十5）1，则m的值是( +0.3 -0.1 -0.2 -0.3 +0.4+0.3 A.-5B.5 c-号 D.士5 张师傅会拿走哪2个零件？请你用绝对值 的知识加以解释。 12.下列四个数中，最小的数是 ( A.-2 B.-(-3) C.0 D.-|-5 13.(2024一2025吉安吉州区月考)检测下列4 个足球，其中超过标准质量的克数记为正 数，不足标准质量的克数记为负数.从轻重 的角度看，最接近标准的是 ……念O3拓思维 18.若a,b满足a<|b≤4，且a,b为整数. 14有理数-2，一号0，中，地对位最大的数 (1)直接写出a,b的最大值. (2)当a,b为何值时，a|十b有最小值？ 是 最小值是多少？ 15.给出下列说法：①若a<0,则|a|=一a; ②若1a|-|b|,则a-b:③若|a|+|b1 0,则a=b=0.其中正确的有 (填序号). 16.计算： D-2+1-51-+2 (2)1-7.251×1-4|+|-32÷1-81. 14 叔学七年级B$版 第3课时数轴 要点提示 1.数轴的定义：数轴是规定了原点、单位装准和正方向的直线， 2.数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一~个点来袁示，但敏轴上的点不越表示有理 数，在数抽上，表示互为相反数的两个点，位于原点的西侧，且到原点的颈斋相等。一个数的绝对硫就是这个数 所对应的点到原点的距离 3.利用数轴比较有理数的大小：数轴上的，点表示的数，右边的总比左边的大， O1固基础】念 6.一个点从数轴的原点开始，先向右移动2个 单位长度，再向左移动8个单位长度，到达 知识点1数轴的定义 的终点所表示的数是 1.下列是四位同学所画的数轴，其中正确的是 7.在所给的数轴上描出表示下列各数的点： ( ) -2-1012 0 2-50,-8+5,是 A B 54-3201234 C 0 知识点3利用数轴比较有理数的大小 2.关于数轴，下列说法最准确的是 ( 8.a,b两数在数轴上的位置如图所示，将a,b, A.一条直线 -a,一b用“<”连接，正确的是() B.有原点、正方向的一条直线 C.有单位长度的一条直线 第8题图 D.规定了原点、正方向和单位长度的直线 A.-b<a<-a<bB.a<-b<-a<b 知识点2数轴上的点与有理数的关系 C.a<b<-a<-b D.b<-a<a<-b 3.(2024一2025吉安月考)如图，数轴上被墨水 9.(教材变式)下表记录了某日我国部分城市 遮盖的数的绝对值可能是 的最高气温： 西安 宁波 -2-101234 城市 长春 南京或汉 第3题园 最高气温/℃ -5 2 -3 -1 4 A.-2 R-8 7 (1)用1个单位长度表示1℃，画出数轴，并 用数轴上的点表示这些城市的最高气温： 4.(2024苏州)用数轴上的点表示下列各数，其 (2)用“>”把这些城市的最高气温连接 中与原点距离最近的是 ( 起来 A.-3B.1 C.2 D.3 5.(教材变式)如图，数轴上A,B两点表示的 数互为相反数，且点A与点B之间的距离 为6个单位长度，则点A表示的数为 0 第5题图 上册第二章 ……02提能力 (3)改变原点的位置后，点A,B,C,D表示 的数的大小顺序改变了吗？这说明了数轴 10.(2024一2025吉安青原区月考)有理数a,b 的什么性质？ 在数轴上的位置如图所示，则a十b的值 06 第10题图 A.大于0 B.小于0 C.等于0 D,无法确定 11.数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的 单位长度为1cm.若在数轴上随意画出一 …O3拓思维 条长2025cm的线段AB,则线段AB盖住 14如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸 的整点有 个 面.例如：若数轴上数2表示的点与数一2 12.如下图，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬 表示的点重合，则数轴上数一4表示的点 2个单位长度到达点A,再向右爬3个单位 与数4表示的点重合。 长度到达点B,然后向左爬9个单位长度 54-32-1012345→ 到达点C. 若数轴上数一3表示的点与数1表示的点 重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数 (1)分别写出A,B,C三点表示的数 表示的点重合 (2)如果从点C再向右爬3个单位长度，此 (2)若点A到原点的距离是5个单位长度， 时蚂蚁在什么位置？ 并且A,B两点经折叠后重合，则点B表 示的数是 (3)若数轴上M,N两点之间的距高为 2024,并且M,N两点经折叠后重合，点 M表示的数比点N表示的数大，则M,N 两点表示的数分别是什么？ 13.如下图，数轴上的点A,B,C,D表示的数 分别为-1.5，-3,2,3.5. B A 为45古0士主4出 (1)将点A,B,C,D表示的数用“<”连接 起来 (2)若将点C改为原点，则点A,B,C,D 表示的数分别为多少？将这些数用“<”连 接起来. 叔学七年级B$版第二章有理数及其运算 1认识有理数 第1课时有理数 1.B2.79,0.104,6.5-204.3,-20,-3 3.B4.域少6%5.C6.C 7.解正数集合：之31，“} 负数集合-0.5，-3.14，-5，… 整数集合：{3,0，-5,1，…： 5 分数集合：{2-0.5，一3.14，…} 8.B9.B10.C11.A12.A13.D14.+388 15.解：(1)士10%的含义是在标准价格的基础上，加价和降价 的幅度不超过10%， (2)最高价格是300十300×10%=330（元），最低价格是 300-300×10%=270(元). (3)因为300×10%=30（元）， 所以该商品价格的浮动范固又可以表示为士30元. 16解，0第10个数是贸第20s个数是-0器 (2)正数有1012个，负数有1013个 (3)2024 2025在这一列数中.理由如下： 因为这一列数中，分子是偶数的分数是正数，且分母比分子 大1，改8器在这一列数中 第2课时绝对值 1.D2.C3.-20254.A5.±3 6.解：(1)因为{a-3|十126-4|=0，所以a-3=0,26一4=0 解得a=3,b=2. (2)因为a=3,b=2,所以1x|=2a十4b=2X3十4×2=6+8 =14,所以x=土14，所以x的相反数为一14或14. 7.A8.1)> (2)>(3)= 9.解：(1)因为 -<所以- 1 (2)+(-13)=-13, -引-号 因为正数大于负数， 所以+(-13<-7引 (3)一|一2刚=一2.因为0大于负数， 所以0>一1一21. 10.C11.D12.D13.C14.-215.①③ 16.解：0原式=之+5- 1 =5. (2)原式=7,25×4十32÷8 =29十4 =33. 17.解：张师傅会拿走2号零件和3号零件. 因为|+0.31=0.3，-0.1|=0.1,1-0.21=0.2，-0.31 =0.3,1十0.4=0.4，|十0,31=0.3,0.1<0.2<0.3< 0,4,所以2号零件和3号零件的直径更接近规定直径，所 以张师傅会拿走2号委件和3号零件. 18.解：(1)因为a|<161≤4，且在，6为警数，所以4的最大值 为3，b的最大值为4. (2)固为|a|≥0，所以当a=0时，|a|最小，所以当a=0,方 =一4时，la|十b有最小值，最小值是一4， 170 数学七年级BS版 第3课时数轴 1.C2.D3.C4.B5.-36.-6 7.解：如图. -5 -31 3 -40 2+3.5 8.A 9.解：1)如图 -5-3-1 24 640i35 (2)由图可得4℃>2℃>-1℃>-30>-5℃ 10.B11.2025或2026 12.解：(1)点A表示的数是2，点B表示的数是5，点C表示的 数是一4. (2)蚂蚁在原点的左边1个单位长度处，即数轴上表示一1 的位置. 13.解：(1)-3<-1.5<23.5. (2)若将点C改为原点，则点A,B,C,D表示的数分别为 -3.5,-5,0,1.5. 用“<"连接为-5<-3.5<0<1.5. (3)被有政变，说明数轴上的点表示的数，右边的总比左边 的大. 14.解：1)-5 (2)-7或3 (3)由题意，得数轴上的点关于数一1表示的点对称. 因为M,V两点之间的距离为2024，并且M,N两点经折叠后 垂合，所以M,N两点所表示的数为1011，一1013.又因为点 M表示的数比点N表示的数大，所以点M表示的数是1011， 点N表示的数是一1013. 2有理数的加减运算 第1课时有理数的加法法则 1.A2D3.B4A5.6366.1007.-3 8.A9.D10.D 11.解：(1)a>0,b0,c<0,la1b<1cl. (②)由题意，得a=1,b=一2，c=-3,所以a十b=1十（一2）■ -1,b十c=(-2)十(-3)=-5. 第2课时有理数的加法运算律 1.D2.B3.D4.17005.12 6.解：(1)25 (2)+2-1-2+3-4+1-3+2 3)这8筐水果的总质量为25×8十[（十2）十（一1）十（一2）十（十 3》+(-4)+(+1)+(-3)+(+2)]=200+[(+2)+(-2]+ [(-1)+(十1)]+[(+3)十(-3)]十(-4)十（十2）=200十(-2) =198kg. 7.D 8.解：1)原式=(-2.125)+(-3.5)+5+1.125+4.5 ■(-2.125)十1,125十[(-3.5)十4.5J十5 =(-1)+1+5 =5. 2原式-45叶(-20+写+(-15号)+2号 -=2+[号+号+(-5] =2十(-4) =一2. 9.解：1)(+6)+(-3)+(+10)+（一8）+(+12)+(-7)+（一10） =[(+)十(+12)]十[(-3)+（一8）十（一7）]+[(+10)十( 10)] =(+18)+(-18) =0,