11.5 因式分解（2）课件 2025-2026学年 华东师大版数学八年级上册

11.5 因式分解（2） 华东师大版（2024）八年级上册 新知导入 1、下列等式从左到右是因式分解的是（ ） A、（x+2）（x-1）=x2+x-2 B、（a+3）2-4=（a+5）（a+1） C、12-m2+3m=12-m（m-3） D、6+4y+y2=（y+1）（y+3）+3 2、下列因式分解正确的是（ ） A、2k3-3k2+k=k（2k2-3k） B、5s+5t+5=5（s+t） C、-4a2b+12ab2+16ab=-4ab（a+3b+4） D、3y2+4y+1=（3y+1）（y+1） B D 一、练习 新知导入 3、把下列多项式分解因式 （1）ax2-bx2+cx2 （2）-18a4b2+12a2b3-24a5b2 （3）3a（x-y）4-6a2（y-x）3 =x2（a-b+c） =-6a2b2（3a2-2b+4a3） =3a（x-y）3（x-y+2a） 一、练习 新知导入 分解因式：4x2 - 9y2 你能分解吗？ 二、提出问题 新知讲解 一、回顾平方差公式 平方差公式 反过来写 两数的平方差，等于这两数的和乘以这两数的差 一、回顾平方差公式 1、计算： （1）（x+1）（x-1） （2）（2a+3b）（2a-3b） （3）（4m+7）（4m-7） （4）（5s+6t）（5s-6t） 2、把上面计算得到的多项式分解因式。 =x2-1 =4a2-9b2 =16m2-49 =25s2-36t2 （1）x2-1= （x+1）（x-1） （2）4a2-9b2= （2a+3b）（2a-3b） （3）16m2-49= （4m+7）（4m-7） （4）25s2-36t2 =（5s+6t）（5s-6t） 把平方差公式反过来用，能够将具有平方差的多项式分解因式 新知讲解 二、公式法 将乘法公式反过来用，对一些特殊的多项式分解因式。这种因式分解的方法称为公式法。 定 义 a、b的平方差 a、b的和 a、b的差 两数的平方差 =这两数的和 ×这两数的差 新知讲解 二、公式法 观察与发现 第一项： 系数是 1 次数是 2 第二项： 系数是-1 次数是 2 系数异号：一正一负 次数都是2 新知讲解 二、公式法 平方差公式适用条件 只有二项 两项的系数异号，即一正一负 每项的字母的指数是2的正整数倍 新知讲解 二、公式法 用平方差公式分解因式的步骤 第一步：判断。 能写成平方差的形式，就能够用平方差公式分解因式。 第二步：确定公式中的ａ和ｂ。 第三步：代入公式。 写成这两数和乘以这两数差的积的形式。 新知讲解 新知讲解 例１、把下列多项式分解因式 （１）ｘ２－４ｙ２ （２）－２５ｍ２＋１６ｎ２ 思考：（１）平方差公式的内容是什么？ （２）能够用平方差公式分解的多项式的特征是什么？ （３）用平方差公式分解的步骤是什么？ 二、公式法 新知讲解 例１、把下列多项式分解因式 （１）ｘ２－４ｙ２ （２）－２５ｍ２＋１６ｎ２ 解：（１）ｘ２－４ｙ２＝ｘ２－（２ｙ）２ ｘ２－（２ｙ）２就是ｘ与２ｙ的平方差，满足平方差的条件。 ｘ２－４ｙ２＝ｘ２－（２ｙ）２＝（ｘ＋２ｙ）（ｘ－２ｙ） 二、公式法 新知讲解 例１、把下列多项式分解因式 （１）ｘ２－４ｙ２ （２）－２５ｍ２＋１６ｎ２ 解： （２）－２５ｍ２＋１６ｎ２ ＝１６ｎ２－２５ｍ２ ＝（４ｎ）２－（５ｍ）２ （４ｎ）２－（５ｍ）２就是４ｎ和５ｍ的平方差，满足平方差的条件。 －２５ｍ２＋１６ｎ２＝（４ｎ）２－（５ｍ）２ ＝（４ｎ＋５ｍ）（４ｎ－５ｍ） 二、公式法 新知讲解 练习：把下列多项式分解因式 （１）４９ｘ２－６４ｙ２ （２）－９ｍ２＋１６ｎ２ （３）２ａ２－１８ｂ２ （４）４ｋｓ２－８１ｋｔ２ （５）ａ４－ｂ４ =（7x）2-（8y）2=（7x+8y）（7x-8y） =16n2-9m2=（4n+3m）（4n-3m） =2（a2-9b2）=2（a+3b）（a-3b） =k（4s2-81t2）=k（2s+9t）（2s-9t） =（a2）2-（b2）2=（a2+b2）（a2-b2） =（a2+b2）（a+b）（a-b） 二、公式法 新知讲解 例２、把下列多项式分解因式 （１）（２ｘ＋３ｙ）２－２５ｙ２ （２）９（ａ＋ｂ）２－２５（ａ－ｂ）２ 思考：（１）平方差公式分解需要满足哪些条件？ （２）上述这些多项式满足平方差公式分解的条件吗？ 二、公式法 新知讲解 例２、把下列多项式分解因式 （１）（２ｘ＋３ｙ）２－２５ｙ２ （２）９（ａ＋ｂ）２－２５（ａ－ｂ）２ 解：（１）（２ｘ＋３ｙ）２－２５ｙ２ ＝（２ｘ＋３ｙ）２－（５ｙ）２ ＝（２ｘ＋８ｙ）（２ｘ－２ｙ） ＝４（ｘ＋４ｙ）（ｘ－ｙ） ＝［（２ｘ＋３ｙ）＋５ｙ］［（２ｘ＋３ｙ）－５ｙ］ 注意：如果因式还能再分解，必须继续分解，直到不能再分解为止。 二、公式法 二、公式法 例２、把下列多项式分解因式 （１）（２ｘ＋３ｙ）２－２５ｙ２ （２）９（ａ＋ｂ）２－２５（ａ－ｂ）２ 解：（２）９（ａ＋ｂ）２－２５（ａ－ｂ）２ ＝［３（ａ＋ｂ）］２－［５（ａ－ｂ）］２ ＝［３（ａ＋ｂ）＋５（ａ－ｂ）］［３（ａ＋ｂ）－５（ａ－ｂ）］ ＝（８ａ－２ｂ）（－２ａ＋８ｂ） ＝－４（４ａ－ｂ）（ａ－４ｂ） 首项为负，一般要把负号提出来 新知讲解 新知讲解 练习：把下列多项式分解因式 （１）２５（ｍ＋ｎ）２－４９（ｍ－ｎ）２ （２）（３ｘ＋７ｙ）２－（５ｘ－ｙ）２ 解：（1）原式=（5m+5n+7m-7n）（5m+5n-7m+7n） =-4（6m-n）（m-6n） （2）原式=（3x+7y+5x-y）（3x+7y-5x+y） =-4（4x+3y）（x-4y） 二、公式法 １、下列多项式中，能够用平方差公式分解因式的是（　　　） Ａ、ａ２＋ｂ２ Ｂ、－４－ｘ２ Ｃ、９ｓ３－ｔ３ Ｄ、－２５ｙ２＋６４ 2、下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　　） Ａ、ｐ２－４ｑ２ Ｂ、（ａ＋ｂ）２－ｃ２ Ｃ、－１－ｔ２ Ｄ、２ｘ２－２ｙ２ D C 课堂练习 3、把下列多项式分解因式 （１）１００ａ２－９ｂ２ （２）－４ｘ２＋４９ｙ２ （３）９ａｍ２－１６ａｂ２ （４）１６ｘ４－８１ｙ４ （５）２５（３ｍ＋ｎ）２－（７ｍ－３ｎ）２ =（10a+3b）（10a-3b） =（7y+2x）（7y-2x） =a（3m+4b）（3m-4b） =（4x2+9y2）（2x+3y）（2x-3y） =16（11m+n）（m+n） 课堂练习 课堂总结 这节课有哪些收获？ 平方差公式 反过来写 因式分解 公式法 步骤 判 断 定a、b 代 入 谢谢 $