满分压轴专讲：因式分解拓展 优等生讲义 2026−2027学年华东师大版八年级数学上册

满分压轴专讲：因式分解拓展 优等生讲义 2026−2027学年华师大版八年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握十字相乘法分解二次三项式 · 掌握分组分解法的四种常见分组策略 · 能综合运用提公因式、公式法、十字相乘、分组分解分解因式 · 会用因式分解解决整除性证明、代数式求值等压轴问题 · 能阅读新定义材料并迁移因式分解方法解题 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 对x2+(p+q)x+pq型：x2+(p+q)x+pq＝(x+p)(x+q) 系数凑配：两数积等于常数项、和等于一次项系数 二次项系数不为1时，拆二次项系数与常数项交叉相乘验证 十字相乘结果可回乘验证 概念辨析例题：因式分解x2-5x+6 解析：找两数乘积6、和-5：-2与-3，故原式＝(x-2)(x-3) ☆ 2.分组分解法 四项式先分组再提公因式：如ab-a-b+1＝(a-1)(b-1) 分组后套公式：如x2-2xy+y2-16＝(x-y)2-16 先分组再十字相乘或换元 分组目标：每组分解后出现相同因式 概念辨析例题：因式分解x2-2xy+y2-9 解析：前三项配方(x-y)2，再用平方差公式 ☆ 3.换元法与整体思想 把相同多项式整体设元，如设x2-6x＝y 换元后按二次三项式十字相乘或完全平方处理 结果要代回原字母并检查能否继续分解 注意分解要彻底，能再分解必须继续 概念辨析例题：因式分解(x2+2x)2+2(x2+2x)+1 解析：设y＝x2+2x，原式＝y2+2y+1＝(y+1)2＝(x+1)4 ☆ 4.因式分解的应用 整除性证明：把代数式分解成含因数形式的乘积 代数式求值：先分解再代入，如a3b-2a2b2+ab3 判断三角形形状：由等式分解出(a-b)2+…＝0形式 新定义题：理解定义后套用因式分解方法 概念辨析例题：已知a-b＝-1，ab＝6，求a3b-2a2b2+ab3的值 解析：原式＝ab(a-b)2＝6×1＝6 📋 知识总结表 方法 适用类型 注意事项 提公因式 各项有公因式 公因式提尽，注意符号 公式法 平方差、完全平方 先看能否套公式再分解 十字相乘 x2+(p+q)x+pq型 验证交叉相乘结果 分组分解 四项及以上多项式 分组后能继续分解 换元法 含相同子式 结果代回并彻底分解 综合应用 整除、求值、几何 分解彻底+灵活组合 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解−十字相乘法等（第1-10题） · 十字相乘：常数项分解为两数之积且和等于一次项系数 · 带字母系数的多项式先观察整体结构 · 分解结果用乘法回验 · 符号处理：负号提到最前面或放入因式内 1．（2025秋•德阳期末）若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 2．（2025秋•宜宾期末）明明和丽丽在因式分解关于x的多项式x2﹣ax+b时，明明获取的其中一个正确的因式为（x+3），丽丽获取的另一个正确的因式为（x﹣4），则a+b的值为（　　） A．﹣11 B．﹣13 C．11 D．13 3．（2025秋•官渡区期末）若x2+kx﹣6＝（x+3）（x﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 4．（2026秋•常宁市校级月考）因式分解x2﹣2xy﹣3y2，正确结果（　　） A．（x﹣3y）（x+y） B．（x+3y）（x﹣y） C．（x﹣3y）（x﹣y） D．（x+3y）（x+y） 5．（2025秋•驻马店期末）若x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2），则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．6 6．（2025秋•市中区期末）将多项式x2﹣px+100分解因式为：x2﹣px+100＝（x﹣5）（x+q），则（p﹣q）2＝（　　） A．2025 B．1225 C．625 D．225 7．（2026秋•常宁市校级月考）若x2+ax+b可以分解成（x+1）（x﹣2），则a＝_______ ，b＝_______ ． 8．（2025秋•浦东新区校级期末）因式分解：a2﹣11a+24＝_______________ ． 9．（2026秋•盘龙区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣6x+10）（x2﹣6x+8）+1进行因式分解的过程． 解：设x2﹣6x＝y，则原式＝（y+10）（y+8）+1（第一步） ＝y2+18y+81（第二步） ＝（y+9）2（第三步） ＝（x2﹣6x+9）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是_____ ． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？________ （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果___________ ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 10．（2025秋•无棣县月考）把下列各式因式分解： （1）a2+8a+16； （2）﹣4mn﹣4m2﹣n2； （3）（a+2b）2+6（a+2b）+9； （4）（x﹣1）（x﹣3）+1． 【考点2】分组分解法（第11-18题） · 四项式常用两两分组后提公因式 · 含完全平方特征先配方再用平方差 · 分组后出现相同因式可继续提 · 多法组合：先分组再十字相乘 11．（2026秋•常宁市校级月考）因式分解： （1）5a2﹣25a； （2）x2﹣10x+25； （3）9a2﹣（2b﹣c）2； （4）x3﹣2x2﹣x+2． 12．（2026春•龙岗区校级同步）分解因式： （1）2x2﹣12x+18； （2）﹣81b4+1； （3）9a2﹣25（a+b）2； （4）2a2（n﹣m）+8（m﹣n）； （5）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2； （6）4a2﹣b2﹣4a+1． 13．（2025秋•临澧县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16， ＝（x﹣y）2﹣16， ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：16m2﹣4x2+4xy﹣y2． （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的边长且满足2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 14．（2026秋•单元）把下列各式因式分解： （1）2（a﹣1）2﹣12（a﹣1）+18； （2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1． 15．（2026•凉州区一模）分解因式：ab﹣a﹣b+1＝_______________ ． 16．（2026春•深圳期末）分解因式：x2﹣2ax+a2﹣16＝___________________ ． 17．（2026•南京三模）如果3x2﹣4y2﹣4xy+4y+2x﹣1因式分解的结果为 ____________________ ． 18．（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【考点3】因式分解的应用（第19-31题） · 整除性：分解出含n的因子并说明整数性 · 求值：先分解再代入已知条件 · 几何判断：由等式分解得平方和非负式 · 新定义：按定义列出代数式再分解 19．（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且ab＝6，求阴影部分的面积． 20．（2026春•彰武县期末）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为_________________ ； （2）若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求m+n的值． 21．（2026春•裕华区校级月考）如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如8＝32﹣12，因此8是“智慧数”． （1）28_______ “智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为2k﹣1和2k+1（其中k为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 22．（2026春•盱眙县期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1． 解：将a﹣2b看成一个整体，令a﹣2b＝x，则原式＝x2+2x+1＝___________ ，将x还原得，原式＝（a﹣2b+1）2． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤：___________ ； （2）因式分解：（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4． 23．（2025秋•阿荣旗期末）已知一个长方形的长、宽分别为a、b，若它的周长为18，面积为20，则代数式a2b+ab2的值为________ ． 24．（2025秋•博山区期末）若ab＝2，a﹣4b＝﹣5则a2b﹣4ab2+ab的值为_______ ． 25．（2026春•瑶海区校级期中）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式（a+c）2﹣b2＝2ac，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 26．（2025秋•海安市期末）若实数a、b满足a+b﹣ab＝1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值为（　　） A．0 B．8 C．9 D．10 27．（2026春•江都区期中）如果a﹣b＝3，ab＝10，那么a2b﹣ab2的值是（　　） A．﹣30 B．﹣13 C．13 D．30 28．（2026•山西）用m、n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（　　） A．6 B．13 C．31 D．56 29．（2025秋•浦北县期末）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 30．（2026春•柯城区期末）如图，大长方形的面积为ab+2ac+bc+2c2，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式ab+2ac+bc+2c2可因式分解为（　　） A．a（a+b+c） B．（a+2b）（a+c） C．（2a+c）（b+c） D．（a+c）（b+2c） 31．（2026•福田区校级开学）某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如下表示： 密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 📝 随堂检测 【练习 1】（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为___________________ ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为____________________ ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【练习 2】（2026春•渠县期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：x2﹣4x+3． 解：原式＝x2﹣4x+4﹣4+3 ＝（x2﹣4x+4）﹣1 ＝（x﹣2）2﹣12 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3） 再如，求代数式2x2﹣4x+5的最小值． 解：原式＝2（x2﹣2x）+5 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5 ＝2（x﹣1）2﹣2+5 ＝2（x﹣1）2+3 可知，当x＝1时，2x2﹣4x+5有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把x2﹣6x﹣7因式分解． （2）多项式﹣2x2+4x﹣1有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【练习 3】（2025秋•顺河区校级期末）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A， 则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：（a2﹣4a）（a2﹣4a+8）+16； （2）证明：若n为正整数，则（2n+1）（n+2）•（2n2+5n）+1的值一定是某个整数的平方． 【练习 4】（2026•青岛校级开学）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：a（x+m）2+n，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将x2﹣3x+1配方成a（x+m）2+n的形式为：____________________ ； （2）利用配方法分解因式：a2﹣12a+32＝_______________ ； （3）多项式3x2+12x+2038的最小值为_________ ； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为_____ ． 【练习 5】（2026春•同步）利用因式分解说明255+511能被30整除． 【练习 6】（2026秋•常宁市校级月考）已知a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）． （1）若a+b+c＝0，求证：a3+b3+c3＝3abc； （2）利用结论计算：已知2025+2026+（﹣4051）＝0，求20253+20263﹣40513的值． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025秋•自贡期末）已知n为正整数，求证：（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【作业 2】（2026春•界首市期末）【实践探究】 小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究： （1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：___________________ ； 【问题解决】 （2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出y3﹣x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长，且a3﹣8n3＝（a﹣2n）（4﹣4an），当a﹣2n为整数时，求an的值． 【作业 3】（2026春•武侯区期末）本学期学习的乘法公式可以让我们更好地研究数字运算的规律． （1）填空：①152＝________ ；②1052＝__________ ． （2）探究：个位数字是5的三位数平方后，其结果的末尾两个数字有什么规律？请写出该规律并说明理由． （3）受上述探究过程的启发，小亮同学设计了如下数字游戏： ①先请同学甲在心中任意想一个三位数，把它称为“所想数”； ②接着用这个“所想数”连续两次减去其个位数字，把得到的结果称为“过程数”，例如：若“所想数”是567，则“过程数”是567﹣7﹣7＝553； ③将“所想数”与“过程数”相乘，把得到的结果称为“所得数”； ④同学甲说出“所得数”，请同学乙说出①中“所想数”． 两名同学按以上规则玩该数字游戏，若“所得数”是14391，请直接写出“所想数”，不必写解答过程． 【作业 4】（2026春•同步）阅读下列因式分解的过程，再回答问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述过程中用到的分解因式的方法是提公因式法，共应用了_____ 次． （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2024 （3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）n（n为正整数）＝_____________ ． （4）利用（3）中结论计算：5+52+53+…+52023． 【作业 5】（2026秋•重庆校级同步）若一个四位自然数N的各数位上的数字均不为0，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为N′，且F（N）． （1）若四位数A为“美美数”，其中，则四位数A＝_________ ； （2）规定G（N），若“美美数”N满足为整数，则满足条件的N的最大值与最小值的和为__________ ． 【作业 6】（2025秋•武汉期末）若a﹣b＝﹣1，ab＝6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 _____ ． 【作业 7】（2026•沙坪坝区校级开学）若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为F（M）．若是“公能数”，且，则四位数是_________ ；A、B均为“公能数”，A＝1000a+100b+10c+d，B＝1000x+800﹣10c+y（1≤a，x，c≤9，0≤b，d，y≤9，且a，b，c，d，x，y均为整数），若a3+b2+F（A）+F（B）＝50，且F（B）能被8整除，则满足条件的A的值为_________ ． 【作业 8】（2026春•江北区校级期末）一个四位自然数M，各个数位上的数字互不相等，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称M为“九九数”．例如：四位数5346，因5+4＝3+6＝9，所以5346是“九九数”；又如四位数3257，因为3+5≠9，所以3257不是“九九数”．则最小的“九九数”是_________ ．对于一个“九九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“九九数”N，记．若为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为_________ ． 【作业 9】（2026•武侯区校级开学）我们定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”，例如：12+22﹣1＝4，22+32﹣1＝12，32+42﹣1＝24，所以4，12，24都是“比肩数”．设两个连续正整数中较小的数为n，对应的“比肩数”记为Bn．当n＝4时，“比肩数”为_______ ；请用含n的代数式表示“比肩数”Bn为___________ ． 【作业 10】（2026•罗湖区校级开学）按要求完成以下问题． （1）分解因式：a3﹣4ab2； （2）若ab＝0，那么a＝0或b＝0．利用这个结论，我们可以解决以下问题：△ABC的三边a，b，c满足（b﹣c）a2+（b﹣c）b2﹣（b﹣c）c2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【作业 11】（2026秋•单元）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2）．求证：这个三角形是等边三角形． 【作业 12】（2026春•西城区校级期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：20，33，84中，“迥异数”为 _______ ；②计算：f（35）＝_____ ． （2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2k+2，且f（b）＝11，请求出“迥异数”b． （3）如果一个“迥异数”c，满足c﹣5f（c）＞35，请求出所有满足条件的c的值． 【作业 13】（2026•山西模拟）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题 对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如ax+by和ax﹣by的和差对偶形式、具体探究如下： 探究：例题：已知a+b＝10，求a2﹣b2+20b+8的值． 解：我们从a+b＝10这个式子的结构出发，构造a＝5+m，b＝5﹣m（m为实数）的对偶式． a2﹣b2+20b+8 ＝（5+m）2﹣（5﹣m）2+20×（5﹣m）+8 ＝25+10m+m2﹣（25﹣10m+m2）+100﹣20m+8 ＝25+10m+m2﹣25+10m﹣m2+100﹣20m+8 ＝108． 应用：… 任务： （1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是_____ ． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 （2）已知a+b＝﹣8，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求a2﹣b2﹣16b+22的值． （3）已知，求的值． 【作业 14】（2026•南京）求证：当n为整数时，（n+2）2﹣（3n+4）能被2整除． 复习建议 · 因式分解四步走：先提公因式，再看公式，再十字相乘，最后分组 · 十字相乘核心：常数项拆成两数之积，和为一次项系数 · 分组分解目标：每组分解后出现相同因式 · 换元后必须代回并检查能否继续分解 · 整除性证明：把代数式分解为因式乘积并指出因子 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 满分压轴专讲：因式分解拓展 优等生讲义 2026−2027学年华师大版八年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握十字相乘法分解二次三项式 · 掌握分组分解法的四种常见分组策略 · 能综合运用提公因式、公式法、十字相乘、分组分解分解因式 · 会用因式分解解决整除性证明、代数式求值等压轴问题 · 能阅读新定义材料并迁移因式分解方法解题 📚 知识梳理 ☆ 1.十字相乘法 对x2+(p+q)x+pq型：x2+(p+q)x+pq＝(x+p)(x+q) 系数凑配：两数积等于常数项、和等于一次项系数 二次项系数不为1时，拆二次项系数与常数项交叉相乘验证 十字相乘结果可回乘验证 概念辨析例题：因式分解x2-5x+6 解析：找两数乘积6、和-5：-2与-3，故原式＝(x-2)(x-3) ☆ 2.分组分解法 四项式先分组再提公因式：如ab-a-b+1＝(a-1)(b-1) 分组后套公式：如x2-2xy+y2-16＝(x-y)2-16 先分组再十字相乘或换元 分组目标：每组分解后出现相同因式 概念辨析例题：因式分解x2-2xy+y2-9 解析：前三项配方(x-y)2，再用平方差公式 ☆ 3.换元法与整体思想 把相同多项式整体设元，如设x2-6x＝y 换元后按二次三项式十字相乘或完全平方处理 结果要代回原字母并检查能否继续分解 注意分解要彻底，能再分解必须继续 概念辨析例题：因式分解(x2+2x)2+2(x2+2x)+1 解析：设y＝x2+2x，原式＝y2+2y+1＝(y+1)2＝(x+1)4 ☆ 4.因式分解的应用 整除性证明：把代数式分解成含因数形式的乘积 代数式求值：先分解再代入，如a3b-2a2b2+ab3 判断三角形形状：由等式分解出(a-b)2+…＝0形式 新定义题：理解定义后套用因式分解方法 概念辨析例题：已知a-b＝-1，ab＝6，求a3b-2a2b2+ab3的值 解析：原式＝ab(a-b)2＝6×1＝6 📋 知识总结表 方法 适用类型 注意事项 提公因式 各项有公因式 公因式提尽，注意符号 公式法 平方差、完全平方 先看能否套公式再分解 十字相乘 x2+(p+q)x+pq型 验证交叉相乘结果 分组分解 四项及以上多项式 分组后能继续分解 换元法 含相同子式 结果代回并彻底分解 综合应用 整除、求值、几何 分解彻底+灵活组合 ⚠️ 核心考点 【考点1】因式分解−十字相乘法等（第1-10题） · 十字相乘：常数项分解为两数之积且和等于一次项系数 · 带字母系数的多项式先观察整体结构 · 分解结果用乘法回验 · 符号处理：负号提到最前面或放入因式内 1．（2025秋•德阳期末）若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（　　） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【分析】根据多项式乘多项式展开，合并同类项，与题中条件对照，求出m，n的值，代入多项式求值即可． 【解答】解：∵（x+2）（x﹣1） ＝x2﹣x+2x﹣2 ＝x2+x﹣2 ＝x2+mx+n， ∴m＝1，n＝﹣2， ∴m+n＝1﹣2＝﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，根据多项式乘多项式展开化简，与题中条件对照，求出m，n的值是解题的关键． 2．（2025秋•宜宾期末）明明和丽丽在因式分解关于x的多项式x2﹣ax+b时，明明获取的其中一个正确的因式为（x+3），丽丽获取的另一个正确的因式为（x﹣4），则a+b的值为（　　） A．﹣11 B．﹣13 C．11 D．13 【分析】根据因式分解的性质，多项式等于两个正确因式的乘积，通过展开比较系数求a和b的值，再计算a+b． 【解答】解：∵明明获取的其中一个正确的因式为（x+3），丽丽获取的另一个正确的因式为（x﹣4）， ∴x2﹣ax+b＝（x+3）（x﹣4）， 展开右边：（x+3）（x﹣4）＝x2﹣x﹣12， 比较系数得：b＝﹣12，﹣a＝﹣1， ∴b＝﹣12，a＝1， ∴a+b＝1+（﹣12）＝﹣11． 故选：A． 【点评】本题主要考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，熟练掌握“多项式因式分解后，展开因式的乘积可通过系数对应求出原多项式的系数”是解题的关键． 3．（2025秋•官渡区期末）若x2+kx﹣6＝（x+3）（x﹣2），则k的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 【分析】根据多项式乘多项式的计算方法计算（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6即可． 【解答】解：∵x2+kx﹣6＝（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6， ∴k＝1， 故选：A． 【点评】本题考查十字相乘法，掌握十字相乘法与多项式乘多项式之间的关系是正确解答的关键． 4．（2026秋•常宁市校级月考）因式分解x2﹣2xy﹣3y2，正确结果（　　） A．（x﹣3y）（x+y） B．（x+3y）（x﹣y） C．（x﹣3y）（x﹣y） D．（x+3y）（x+y） 【分析】利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：原式＝（x﹣3y）（x+y）． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 5．（2025秋•驻马店期末）若x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2），则m的值为（　　） A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．6 【分析】原式右边利用多项式乘多项式法则计算后与左边比较即可求解． 【解答】解：x2+mx+6＝（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6， 解得：m＝﹣5． 故选：A． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 6．（2025秋•市中区期末）将多项式x2﹣px+100分解因式为：x2﹣px+100＝（x﹣5）（x+q），则（p﹣q）2＝（　　） A．2025 B．1225 C．625 D．225 【分析】通过比较因式分解后的系数，求出p和q的值，然后计算（p﹣q）2． 【解答】解：x2﹣px+100＝（x﹣5）（x+q）＝x2+（q﹣5）x﹣5q， ∴﹣5q＝100，q﹣5＝﹣p， 解得p＝25，q＝﹣20， ∴原式＝[25﹣（﹣20）]2＝2025． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 7．（2026秋•常宁市校级月考）若x2+ax+b可以分解成（x+1）（x﹣2），则a＝　﹣1　 ，b＝　﹣2　 ． 【分析】已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可． 【解答】解：若x2+ax+b可以分解成（x+1）（x﹣2），则： 根据题意得：x2+ax+b＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，则a＝﹣1，b＝﹣2． 故答案为：﹣1，﹣2． 【点评】本题考查因式分解﹣十字相乘法等，熟练掌握多项式乘法是解答本题的关键． 8．（2025秋•浦东新区校级期末）因式分解：a2﹣11a+24＝　（a﹣3）（a﹣8）　 ． 【分析】通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数﹣11，从而进行因式分解． 【解答】解：通过寻找两个数，它们的乘积为常数项24，且和为一次项系数﹣11，利用十字相乘法分解因式可得： a2﹣11a+24＝（a﹣3）（a﹣8）． 故答案为：（a﹣3）（a﹣8）． 【点评】本题考查的是因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 9．（2026秋•盘龙区校级月考）下面是某同学对多项式（x2﹣6x+10）（x2﹣6x+8）+1进行因式分解的过程． 解：设x2﹣6x＝y，则原式＝（y+10）（y+8）+1（第一步） ＝y2+18y+81（第二步） ＝（y+9）2（第三步） ＝（x2﹣6x+9）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是C ． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？　不彻底　 （填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果　（x﹣3）4 ． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 【分析】（1）根据完全平方公式进行求解即可； （2）根据因式分解结果，结合完全平方公式进行判断即可； （3）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【解答】解：（1）该同学第二步到第三步所用的因式分解的方法是两数和的完全平方公式． 故答案为：C； （2）该同学因式分解的结果不彻底， 设x2﹣6x＝y， 原式＝（y+10）（y+8）+1 ＝y2+18y+81 ＝（y+9）2 ＝（x2﹣6x+9）2 ＝（x﹣3）4， ∴因式分解的最后结果为：（x﹣3）4． 故答案为：不彻底；（x﹣3）4； （3）设x2﹣2x＝y， 原式＝y（y+2）+1 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝（x﹣1）4． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，因式分解﹣提公因式法，因式分解﹣十字相乘法，掌握因式分解的方法是关键． 10．（2025秋•无棣县月考）把下列各式因式分解： （1）a2+8a+16； （2）﹣4mn﹣4m2﹣n2； （3）（a+2b）2+6（a+2b）+9； （4）（x﹣1）（x﹣3）+1． 【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝（a+4）2； （2）原式＝﹣（n+2m）2； （3）原式＝（a+2b+3）2 （4）原式＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2． 【点评】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【考点2】分组分解法（第11-18题） · 四项式常用两两分组后提公因式 · 含完全平方特征先配方再用平方差 · 分组后出现相同因式可继续提 · 多法组合：先分组再十字相乘 11．（2026秋•常宁市校级月考）因式分解： （1）5a2﹣25a； （2）x2﹣10x+25； （3）9a2﹣（2b﹣c）2； （4）x3﹣2x2﹣x+2． 【分析】（1）根据因式分解的方法进行计算； （2）根据因式分解的方法进行计算； （3）根据因式分解的方法进行计算； （4）根据因式分解的方法进行计算． 【解答】解：（1）5a2﹣25a＝5a（a﹣5）； （2）x2﹣10x+25＝（x﹣5）2； （3）9a2﹣（2b﹣c）2 ＝[3a+（2b﹣c）][3a﹣（2b﹣c）] ＝（3a+2b﹣c）（3a﹣2b+c）； （4）x3﹣2x2﹣x+2 ＝x2（x﹣2）﹣（x﹣2） ＝（x2﹣1）（x﹣2） ＝（x+1）（x﹣1）（x﹣2）． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的方法是关键． 12．（2026春•龙岗区校级同步）分解因式： （1）2x2﹣12x+18； （2）﹣81b4+1； （3）9a2﹣25（a+b）2； （4）2a2（n﹣m）+8（m﹣n）； （5）25（m+n）2﹣9（m﹣n）2； （6）4a2﹣b2﹣4a+1． 【分析】（1）先提公因式2，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）直接利用平方差公式进行因式分解即可； （3）将a+b看作整体，根据平方差公式进行因式分解即可； （4）先提公因式2（n﹣m），再利用平方差公式进行因式分解即可； （5）利用平方差公式进行计算即可； （6）利用分组分解法，平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2； （2）原式＝1﹣81b4 ＝（1+9b2）（1﹣9b2） ＝（1+9b2）（1+3b）（1﹣3b）； （3）原式＝[3a+5（a+b）][3a﹣5（a+b）] ＝（8a+5b）（﹣2a﹣5b） ＝﹣（8a+5b）（2a+5b）； （4）原式＝2a2（n﹣m）﹣8（n﹣m） ＝2（n﹣m）（a2﹣4） ＝2（n﹣m）（a+2）（a﹣2）； （5）原式＝[5（m+n）+3（m﹣n）][5（m+n）﹣3（m﹣n）] ＝（8m+2n）（2m+8n） ＝4（4m+n）（m+4n）； （6）原式＝（4a2﹣4a+1）﹣b2． ＝（2a﹣1）2﹣b2 ＝（2a﹣1+b）（2a﹣1﹣b）． 【点评】本题考查公式法，分组分解法，提公因式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 13．（2025秋•临澧县期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16， ＝（x﹣y）2﹣16， ＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：16m2﹣4x2+4xy﹣y2． （2）已知a、b、c分别是△ABC三边的边长且满足2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【解答】解：（1）原式＝16m2﹣（4x2﹣4xy+y2） ＝16m2﹣（2x﹣y）2 ＝（4m+2x﹣y）（4m﹣2x+y）； （2）等边三角形，理由如下： 由条件可知（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）＝0， ∴（a﹣b）2+（a﹣c）2＝0， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ∴a﹣b＝0，a﹣c＝0， ∴a＝b＝c． ∴△ABC的形状是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． 14．（2026秋•单元）把下列各式因式分解： （1）2（a﹣1）2﹣12（a﹣1）+18； （2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1． 【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式； （2）先整理多项式，再利用完全平方公式． 【解答】解：（1）原式＝2[（a﹣1）2﹣6（a﹣1）+9] ＝2[（a﹣1）﹣3]2 ＝2（a﹣4）2； （2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1 ＝（x﹣y﹣1）2． 【点评】本题考查了多项式的提取公因式法、完全平方公式等知识点．掌握因式分解的提公因式法、完全平方公式是解决本题的关键． 15．（2026•凉州区一模）分解因式：ab﹣a﹣b+1＝　（a﹣1）（b﹣1）　 ． 【分析】运用分组分解法分解因式，将原式合理分组后，分别提取公因式，然后再次提取公因式即可得到结果． 【解答】解：ab﹣a﹣b+1 ＝（ab﹣a）+（﹣b+1） ＝a（b﹣1）﹣（b﹣1） ＝（a﹣1）（b﹣1）． 故答案为：（a﹣1）（b﹣1）． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握该知识点是关键． 16．（2026春•深圳期末）分解因式：x2﹣2ax+a2﹣16＝　（x﹣a+4）（x﹣a﹣4）　 ． 【分析】原式前三项结合后，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝（x2﹣2ax+a2）﹣16 ＝（x﹣a）2﹣42 ＝（x﹣a+4）（x﹣a﹣4）． 故答案为：（x﹣a+4）（x﹣a﹣4）． 【点评】此题考查了因式分解﹣分组分解法，对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组． 17．（2026•南京三模）如果3x2﹣4y2﹣4xy+4y+2x﹣1因式分解的结果为 　（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）　 ． 【分析】把2y﹣1当成一个整体，再因式分解即可． 【解答】解：原式＝3x2﹣4xy+2x﹣4y2+4y﹣1 ＝3x2﹣2x（2y﹣1）﹣（2y﹣1）2 ＝[3x+（2y﹣1）][x﹣（2y﹣1）] ＝（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）， 故答案为：（3x+2y﹣1）（x﹣2y+1）． 【点评】本题主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键． 18．（2026•蚌埠三模）分解因式：x3+x2﹣x﹣1＝（　　） A．（x﹣1）（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1）2 C．（x﹣1）（x2﹣x+1） D．（x+1）（x2+x﹣1） 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【解答】解：原式＝x2（x+1）﹣（x+1） ＝（x+1）（x2﹣1） ＝（x﹣1）（x+1）2． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，掌握因式分解的方法是关键． 【考点3】因式分解的应用（第19-31题） · 整除性：分解出含n的因子并说明整数性 · 求值：先分解再代入已知条件 · 几何判断：由等式分解得平方和非负式 · 新定义：按定义列出代数式再分解 19．（2026春•淳化县校级期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）观察图2，请用两种不同的方法表示图2中大长方形的面积，并写成因式分解的形式； （2）在图2中，若大长方形的周长为30，且ab＝6，求阴影部分的面积． 【分析】（1）用两种方式表示出大长方形的面积，从而即可得出结果； （2）由大长方形的周长得出a+b＝5，再结合完全平方公式计算得出a2+b2＝13，即可得出结果． 【解答】解：（1）图2面积为2a2+5ab+2b2，也可以表示为（2a+b）（a+2b）， 写成因式分解的形式为： 2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）． （2）大长方形的周长＝2（2a+b）+2（a+2b）＝6（a+b）＝30， ∴a+b＝5． ∵a2+2ab+b2＝（a+b）2， ∴a2+12+b2＝25， ∴a2+b2＝13， ∴阴影部分面积＝2a2+2b2＝2（a2+b2）＝26． 【点评】本题考查了因式分解的应用、整式的化简求值，熟练掌握以上知识点是关键． 20．（2026春•彰武县期末）颖颖同学将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，如图，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的相同小长方形，且m＞n． （1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　（m+2n）（2m+n）　 ； （2）若每块小长方形的面积为10，两个大正方形和两个小正方形的面积和为58，试求m+n的值． 【分析】（1）利用数形结合的思想，2m2+5mn+2n2表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论； （2）由题意，得到mn＝10，2m2+2n2＝58，利用完全平方公式进行求解即可． 【解答】解：（1）由图可知：大长方形的边长分别为：（2m+n），（m+2n）， ∴2m2+5mn+2n2＝（m+2n）（2m+n）； 故答案为：（m+2n）（2m+n）； （2）由题意得：mn＝10，2m2+2n2＝58， ∴m2+n2＝29， ∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝29+2×10＝49， ∴m+n＝7（负值舍去）． 【点评】本题考查因式分解，完全平方公式的变形运用．熟练掌握以上知识点是关键． 21．（2026春•裕华区校级月考）如果一个正整数能表示成两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数是“智慧数”，如8＝32﹣12，因此8是“智慧数”． （1）28　不是　 “智慧数”（填“是”或“不是”）； （2）说明16是一个“智慧数”； （3）设两个连续奇数为2k﹣1和2k+1（其中k为正整数），说明它们构造的“智慧数”能被8整除． 【分析】（1）设较小奇数为n，根据“智慧数”的定义得（n+2）2﹣n2＝28，求出n的值判断是否符合“智慧数”的定义即可； （2）由52﹣32＝25﹣9＝16可知16是一个“智慧数”； （3）利用平方差公式进行分解，判断分解后的结果是否是8的倍数即可． 【解答】解：（1）设两个连续奇数的平方差为28，较小奇数为n，则（n+2）2﹣n2＝28， 展开整理得4n+4＝28， 解得n＝6， ∵6不是奇数， ∴28不是“智慧数” 故答案为：不是； （2）∵52﹣32＝25﹣9＝16，且3和5是两个连续奇数， ∴16符合“智慧数”的定义， ∴16是一个“智慧数”； （3）原式＝（2k+1﹣2k+1）（2k+1+2k﹣1） ＝2×4k ＝8k， ∵8k是8的倍数， ∴两个连续奇数为2k﹣1和2k+1构造的“智慧数”能被8整除． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 22．（2026春•盱眙县期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1． 解：将a﹣2b看成一个整体，令a﹣2b＝x，则原式＝x2+2x+1＝　（x+1）2 ，将x还原得，原式＝（a﹣2b+1）2． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤：　（x+1）2 ； （2）因式分解：（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4． 【分析】（1）对（x2+2x+1）进行因式分解，可以直接套用完全平方公式； （2）观察到（x2+2x）在式子中重复出现，考虑使用整体代换，设m＝x2+2x，原式就变成（m+3）（m﹣1）+4，化简后再进行因式分解，最后将m还原成（x2+2x）即可． 【解答】解：（1）x2+2x+1＝（x+1）2， 故答案为：（x+1）2． （2）令m＝x2+2x， 则原式＝（m+3）（m﹣1）+4 ＝m2+2m﹣3+4 ＝（m+1）2， 将m还原， 原式＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4． 【点评】本题考查了因式分解和整体代换的思想．熟练掌握以上知识点是关键． 23．（2025秋•阿荣旗期末）已知一个长方形的长、宽分别为a、b，若它的周长为18，面积为20，则代数式a2b+ab2的值为　180　 ． 【分析】根据长方形的周长和面积公式，得出a+b和ab的值，然后将代数式因式分解后代入求值． 【解答】解：根据长方形的周长和面积公式可得： 2（a+b）＝18，即a+b＝9，ab＝20． 则原式＝ab（a+b）＝20×9＝180． 故答案为：180． 【点评】本题考查了因式分解的应用．理解题意是关键． 24．（2025秋•博山区期末）若ab＝2，a﹣4b＝﹣5则a2b﹣4ab2+ab的值为　﹣8　 ． 【分析】先运用提取公因式法进行因式分解，然后将ab＝2、a﹣4b＝﹣5整体代入计算即可． 【解答】解：先运用提取公因式法进行因式分解可得： a2b﹣4ab2+ab＝ab（a﹣4b+1），ab＝2，a﹣4b＝﹣5， ∴原式＝ab（a﹣4b+1）＝2×（﹣5+1）＝﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识点，掌握运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 25．（2026春•瑶海区校级期中）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式（a+c）2﹣b2＝2ac，则该三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【解答】解：根据完全平方公式展开等式整理可得： （a+c）2﹣b2＝a2+2ac+c2﹣b2＝2ac， ∴a2+c2﹣b2＝0， 整理得：a2+c2＝b2， ∴该三角形是直角三角形． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 26．（2025秋•海安市期末）若实数a、b满足a+b﹣ab＝1，则（a+2）2+（b+2）2的最小值为（　　） A．0 B．8 C．9 D．10 【分析】根据a+b﹣ab＝1可得a＝1或b＝1，再根据二次函数性质确定最小值即可． 【解答】解：∵a+b﹣ab＝1， ∴﹣（a﹣1）（b﹣1）＝0， ∴（a﹣1）（b﹣1）＝0， ∴a＝1或b＝1， 令y＝（a+2）2+（b+2）2， 当a＝1时，y＝（b+2）2+9， ∴a＝1，b＝﹣2时，代数式最小值为9； 当b＝1时，y＝（a+2）2+9， ∴a＝﹣2，b＝1时，代数式最小值为9； 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解及最值求法，熟练掌握以上知识点是关键． 27．（2026春•江都区期中）如果a﹣b＝3，ab＝10，那么a2b﹣ab2的值是（　　） A．﹣30 B．﹣13 C．13 D．30 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由条件可知a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝10×3＝30． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 28．（2026•山西）用m、n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（　　） A．6 B．13 C．31 D．56 【分析】表示原数和新数：原两位数为10m+n，新数为3m+8n（m是十位数字，n是个位数字）．计算差：（3m+8n）﹣（10m+n）＝7（n﹣m），差是7的倍数．分析选项：只有56是7的倍数． 【解答】解：因为m、n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字， 所以1≤m≤9，0≤n≤9， 这个两位数可以表示为：10m+n， 新数为3m+8n， （3m+8n）﹣（10m+n） ＝3m+8n﹣10m﹣n ＝﹣7m+7n ＝7（n﹣m）， 因为7（n﹣m）是7的倍数， 选项中6、13、31不是7的倍数，只有56是7的倍数． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是先根据两位数的表示方法列出原数与新数的表达式，再求两数的差，最后分析差的可能值． 29．（2025秋•浦北县期末）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】先提公因式xy因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【解答】解：∵xy＝﹣2，x+y＝4， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣2×4＝﹣8． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 30．（2026春•柯城区期末）如图，大长方形的面积为ab+2ac+bc+2c2，它可以被分割成2个正方形和4个小长方形，则多项式ab+2ac+bc+2c2可因式分解为（　　） A．a（a+b+c） B．（a+2b）（a+c） C．（2a+c）（b+c） D．（a+c）（b+2c） 【分析】将式子分成2组，分别提取公因式a、c，然后再次提取公因式（b+2c），将式子进行因式分解即可． 【解答】解：ab+2ac+bc+2c2 ＝a（b+2c）+c（b+2c） ＝（a+c）（b+2c）， 所以多项式ab+2ac+bc+2c2可因式分解为（a+c）（b+2c）． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式，解决本题的关键是熟练运用提公因式法分解因式． 31．（2026•福田区校级开学）某课外密码研究小组接收到一条密文：8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）．已知密码手册的部分信息如下表示： 密文 … m﹣n m+n x﹣y x+y 8 x … 明文 … 福 爱 田 外 我 幸 … 把密文8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）用因式分解解码后，明文可能是（　　） A．我爱福田 B．我爱福外 C．我爱幸福 D．幸福福田 【分析】先将密文因式分解，再对应密码手册解答即可． 【解答】解：将密文因式分解可得： 8x（m2﹣n2）﹣8y（m2﹣n2）＝8（m+n）（m﹣n）（x﹣y）， 8对应明文“我”，m+n对应明文“爱”，m﹣n对应明文“福”，x﹣y对应明文“田”， 则密文解码后，明文可能是我爱福田． 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解是关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026秋•同步）问题探究：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：我们可以通过表示几何图形面积的方法来快速地对多项式a2+2ab+b2进行因式分解． 如图（1）所示的边长为（a+b）的大正方形是由1张边长为a的正方形卡片A，1张边长为b的正方形卡片B，2张邻边长分别为a，b的长方形卡片C组成的，这个图形的面积可以表示成a2+2ab+b2或（a+b）2，从而验证a2+2ab+b2＝（a+b）2． （1）如图（2），用1张正方形卡片A，2张长方形卡片C拼成一个长方形，可以验证多项式的因式分解为a2+2ab＝a（a+2b）　 ； （2）某数学兴趣小组的同学用若干张卡片A、B、C，开展对多项式因式分解的几何验证活动： ①他们利用若干张卡片A、B、C拼成图（3）中的长方形，你认为他们想验证多项式的因式分解为a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）　 ； ②请你类比上述方法对多项式3a2+4ab+b2进行因式分解，要求画出因式分解的图形，标出各边的长度； ③问题②中，某同学发现他们所拼成的长方形面积为45，并且a，b均为正整数，请分别求出a，b的长． 【分析】（1）用两种方法表示出图（2）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； （2）①用两种方法表示出图（3）中图形的面积，得到验证多项式的因式分解即可； ②画出相关图形，借助图形得到验证多项式的因式分解即可； ③根据②中得到的因式分解判断出a+b和3a+b的值，进而得到a和b的值即可． 【解答】解：（1）这个图形的面积可以表示为：a2+2ab或a（a+2b），从而验证a2+2ab＝a（a+2b）， 故答案为：a2+2ab＝a（a+2b）； （2）①这个图形的面积可以表示为：a2+3ab+2b2或（a+b）（a+2b），从而验证a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）， 故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）； ② 这个图形的面积可以表示为：3a2+4ab+b2或（a+b）（3a+b），从而验证3a2+4ab+b2＝（a+b）（3a+b）， ③由题意得：（a+b）（3a+b）＝45， ∵a，b均为正整数， ∴， 解得：． 答：a＝2，b＝3． 【点评】本题考查因式分解的应用．借助图形得到因式分解的相应等式是解决本题的关键． 【练习 2】（2026春•渠县期末）教科书中这样写道：“形如a2±2ab+b2的式子称为完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等问题． 例如，分解因式：x2﹣4x+3． 解：原式＝x2﹣4x+4﹣4+3 ＝（x2﹣4x+4）﹣1 ＝（x﹣2）2﹣12 ＝（x﹣2+1）（x﹣2﹣1） ＝（x﹣1）（x﹣3） 再如，求代数式2x2﹣4x+5的最小值． 解：原式＝2（x2﹣2x）+5 ＝2（x2﹣2x+1﹣1）+5 ＝2（x﹣1）2﹣2+5 ＝2（x﹣1）2+3 可知，当x＝1时，2x2﹣4x+5有最小值，最小值是3． 根据以上材料，运用配方法解决下列问题． （1）请用配方法把x2﹣6x﹣7因式分解． （2）多项式﹣2x2+4x﹣1有最大值吗？若有，请计算x为何值时，此多项式有最大值；若没有，请说明理由． 【分析】（1）仿照示例，利用配方法和平方差公式进行因式分解即可； （2）仿照示例，利用配方法求解． 【解答】解：（1）x2﹣6x﹣7 ＝x2﹣6x+9﹣9﹣7 ＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4） ＝（x+1）（x﹣7）； （2）﹣2x2+4x﹣1 ＝﹣2（x2﹣2x）﹣1 ＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）﹣1 ＝﹣2（x﹣1）2+1， ∵﹣2（x﹣1）2≤0， ∴﹣2（x﹣1）2+1≤1， ∴当x＝1时，有最大值． 【点评】本题考查了因式分解的应用，正确计算是解题关键． 【练习 3】（2025秋•顺河区校级期末）【阅读材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A， 则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 【问题解决】 （1）因式分解：（a2﹣4a）（a2﹣4a+8）+16； （2）证明：若n为正整数，则（2n+1）（n+2）•（2n2+5n）+1的值一定是某个整数的平方． 【分析】（1）用换元法设a2﹣4a＝B，将原式化为B2+8B+16，再利用完全平方公式得出（B+4）2，再将B还原即可； （2）设2n2+5n＝C，则原式化为（C+2）C+1，即（C+1）2，再将C还原求解即可． 【解答】（1）解：设a2﹣4a＝B， 则原式＝B（B+8）+16＝B2+8B+16＝（B+4）2， 将“B”还原，原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4； （2）证明：（2n+1）（n+2）•（2n2+5n）+1＝（2n2+5n+2）（2n2+5n）+1． 设2n2+5n＝C，则原式＝（C+2）C+1＝C2+2C+1＝（C+1）2． 将“C”还原，原式＝（2n2+5n+1）2． ∵n为正整数， ∴2n2+5n+1为正整数， ∴（2n+1）（n+2）（2n2+5n）+1的值一定是某个整数的平方． 【点评】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 【练习 4】（2026•青岛校级开学）【课内链接】 我们知道因式分解是整式乘法的逆用，如：因式分解a2±2ab+b2＝（a±b）2． 【拓展新知】 利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）变形成局部为完全平方式与一个常数的和的形式：a（x+m）2+n，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法．配方法是一种重要的数学方法，运用多项式的配方法能对一些多项式进行“因式分解”与“求最值”． 【理解新知】 配方法的应用．例如： （1）将x2﹣3x+1配方成a（x+m）2+n的形式为：　　 ； （2）利用配方法分解因式：a2﹣12a+32＝　（a﹣4）（a﹣8）　 ； （3）多项式3x2+12x+2038的最小值为　2026　 ； （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝8，则四边形ABCD面积的最大值为　8　 ． 【分析】（1）根据配方法可进行求解； （2）根据配方法进行因式分解即可； （3）先对代数式3x2+12x+2038进行配方，然后再根据偶次幂的非负性进行求解即可； （4）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【解答】解：（1）根据配方法进行求解可得： ； ∴将x2﹣3x+1配方成a（x+m）2+n的形式为：； 故答案为：； （2）a2﹣12a+32＝a2﹣12a+36﹣4＝（a﹣6）2﹣4＝[（a﹣6）+2][（a﹣6）﹣2]＝（a﹣4）（a﹣8）； 故答案为：（a﹣4）（a﹣8）； （3）3x2+12x+2038 ＝3（x2+4x）+2038 ＝3（x2+4x+4﹣4）+2038 ＝3（x+2）2+2026； ∵3（x+2）2≥0， ∴3（x+2）2+2026≥2026， ∴当x＝﹣2时，多项式3x2+12x+2038有最小值，最小值为2026； 故答案为：2026； （4）如图， ∴， 由条件可知BD＝8﹣AC， ∴， ∵， ∴， ∴当AC＝4时，四边形ABCD面积有最大值，最大值为8． 【点评】本题主要考查配方法及因式分解，解题的关键是理解题意． 【练习 5】（2026春•同步）利用因式分解说明255+511能被30整除． 【分析】利用幂的乘方将255化为510，然后用提公因式法进行因式分解，再化成含有因数30的形式即可． 【解答】解：∵255+511＝（52）5+511＝510+510×5＝510×（1+5）＝6×510＝6×5×59＝30×59， ∴30×59能被30整除， ∴255+511能被30整除． 【点评】此题考查因式分解的应用，灵活运用幂的乘方是关键． 【练习 6】（2026秋•常宁市校级月考）已知a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）． （1）若a+b+c＝0，求证：a3+b3+c3＝3abc； （2）利用结论计算：已知2025+2026+（﹣4051）＝0，求20253+20263﹣40513的值． 【分析】（1）将a+b+c＝0代入题干给出的恒等式，化简即可得证； （2）利用（1）的结论，将对应数值代入公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a+b+c＝0， ∴a3+b3+c3﹣3abc＝0•（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）， ∴a3+b3+c3﹣3abc＝0， ∴a3+b3+c3＝3abc； （2）解：设a＝2025，b＝2026，c＝﹣4051， ∵a+b+c＝2025+2026+（﹣4051）＝0， ∴由（1）的结论得a3+b3+c3＝3abc， 即20253+20263+（﹣4051）3＝3×2025×2026×（﹣4051）， ∴20253+20263﹣40513＝﹣3×2025×2026×4051＝﹣49859505450． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 因式分解四步走：先提公因式，再看公式，再十字相乘，最后分组 · 十字相乘核心：常数项拆成两数之积，和为一次项系数 · 分组分解目标：每组分解后出现相同因式 · 换元后必须代回并检查能否继续分解 · 整除性证明：把代数式分解为因式乘积并指出因子 【作业 1】（2025秋•自贡期末）已知n为正整数，求证：（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【分析】利用平方差公式因式分解计算即可． 【解答】证明：（4n+3）2﹣（2n+3）2 ＝[（4n+3）+（2n+3）][（4n+3）﹣（2n+3）] ＝（4n+3+2n+3）（4n+3﹣2n﹣3） ＝（6n+6）•2n ＝12n（n+1）． ∵n为正整数， ∴n和n+1是连续的正整数， ∴n和n+1中一定有一个是偶数， ∴12n（n+1）一定是24的倍数， ∴（4n+3）2﹣（2n+3）2能被24整除． 【点评】本题考查因式分解的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 2】（2026春•界首市期末）【实践探究】 小青同学在学习“因式分解”时，用如图1所示编号为①②③④的四种长方体各若干块，进行实践探究： （1）现取其中两个拼成如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式：　（x+y）y2＝xy2+y3 ； 【问题解决】 （2）若要用这四种长方体拼成一个棱长为x+2y的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，请根据体积的不同表示方法，直接写出y3﹣x3因式分解的结果，并利用此结果解决问题：已知a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长，且a3﹣8n3＝（a﹣2n）（4﹣4an），当a﹣2n为整数时，求an的值． 【分析】（1）图2从整体上看是长为x+y，宽为y，高为y的长方体，体积为（x+y）•y•y，即（x+y）y2，也可以看作是一个长x，宽为y，高为y的长方体与棱长为y的正方体组成的，因此总体积为x•y•y+y3，即xy2+y3，可得代数恒等式； （2）计算出棱长为x+2y的正方体的体积，根据②号长方体和③号长方体的体积，即可得到需要几个②号长方体和③号长方体； （3）在一个棱长为y的正方体中挖出一个棱长为x的正方体，剩下部分的体积为两个正方体的体积的差，即y3﹣x3，从组成看，把几何体分割成三块，分别求出体积，整理后即可求得y3﹣x3因式分解的结果，然后根据相应公式展开a3﹣8n3，经过推理，求值即可． 【解答】解：（1）从整体看大长方体的体积为：（x+y）•y•y＝（x+y）y2， 从组成看大长方体的体积为：x•y•y+y3＝xy2+y3， ∴（x+y）y2＝xy2+y3， 故答案为：（x+y）y2＝xy2+y3； （2）∵（x+2y）3＝（x+2y）2（x+2y）＝（x2+4xy+4y2）（x+2y）＝x3+2x2y+4x2y+8xy2+4xy2+8y3＝x3+6x2y+12xy2+8y3， ②号长方体的体积是x2y，③号长方体的体积是xy2， ∴②号长方体需要6个，③号长方体需要12个； （3）从整体看几何体的体积为：y3﹣x3， 将图3几何体分割成三个部分的体积和，即（y﹣x）•y2+（y﹣x）•x2+（y﹣x）•xy＝（y﹣x）（y2+xy+x2）， ∴y3﹣x3＝（y﹣x）（y2+xy+x2）， ∴a3﹣8n3＝a3﹣（2n）3＝（a﹣2n）（a2+2an+4n2）． ∵a3﹣8n3＝（a﹣2n）（4﹣4an）， ∴a2+2an+4n2＝4﹣4an， ∴（a﹣2n）2+6an＝4﹣4an， （a﹣2n）2＝4﹣10an． ∵a﹣2n为整数，a与2n分别是两个大小不同正方体的棱长， ∴（a﹣2n）2为正整数， ∴4﹣10an为正整数，并且为某个整数的平方． ∴4﹣10an＝1． ∴10an＝3． ∴an＝0.3． 【点评】本题考查了因式分解的应用．根据几何图形整体与组成得到相应的等式是常用的数形结合解题思想． 【作业 3】（2026春•武侯区期末）本学期学习的乘法公式可以让我们更好地研究数字运算的规律． （1）填空：①152＝　225　 ；②1052＝　11025　 ． （2）探究：个位数字是5的三位数平方后，其结果的末尾两个数字有什么规律？请写出该规律并说明理由． （3）受上述探究过程的启发，小亮同学设计了如下数字游戏： ①先请同学甲在心中任意想一个三位数，把它称为“所想数”； ②接着用这个“所想数”连续两次减去其个位数字，把得到的结果称为“过程数”，例如：若“所想数”是567，则“过程数”是567﹣7﹣7＝553； ③将“所想数”与“过程数”相乘，把得到的结果称为“所得数”； ④同学甲说出“所得数”，请同学乙说出①中“所想数”． 两名同学按以上规则玩该数字游戏，若“所得数”是14391，请直接写出“所想数”，不必写解答过程． 【分析】（1）对于152，直接计算15×15得225；对于1052，直接计算105×105得11025； （2）个位数字是5的三位数平方后，末尾两个数字均为25．理由：三位数为10a+5（a为两位数），利用完全平方公式展开（10a+5）2，得到100a2+100a+25，提取公因式后为100a（a+1）+25．因100a（a+1）是100的倍数，末尾两位为00，加上25后末尾两位必为25； （3）设所想数为三位数x，个位数字为b，则过程数为x﹣2b，所得数为 x（x﹣2b）＝14391．分解14391得117×123＝14391，验证：若x＝123，则b＝3，过程数123﹣2×3＝117，乘积123×117＝14391，符合条件，故所想数为123． 【解答】解：（1）计算152：15×15＝225； 计算1052：105×105＝11025． 故答案为：225；11025； （2）设个位数字是5的三位数为10a+5， 其中a为两位数（10≤a≤99，a为整数）． ∴（10a+5）2＝100a2+2×10a×5+52＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25， 答：结果的末尾两个数字均为25； （3）答：所想数是123． 【点评】题目考查了因式分解的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 4】（2026春•同步）阅读下列因式分解的过程，再回答问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）2（1+x） ＝（1+x）3． （1）上述过程中用到的分解因式的方法是提公因式法，共应用了　2　 次． （2）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2024 （3）分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）n（n为正整数）＝　（1+x）n+1 ． （4）利用（3）中结论计算：5+52+53+…+52023． 【分析】（1）观察因式分解过程，第一步提取公因式（1+x），第二步再次提取公因式（1+x），共应用提公因式法2次； （2）从第一项1+x开始，逐步提取公因式（1+x），每提取一次，指数增加1，共提取2024次，结果为（1+x）2025； （3）通过观察规律，每多一项x（1+x）n，提取公因式后指数增加1，最终结果为（1+x）n+1； （4）由5＝1+4将式子变形成（3）中的形式，再利用（3）中的结论计算即可． 【解答】解：（1）1+x+x（x+1）+x（1+x）2 ＝（1+x）+x（x+1）+x（1+x）2 ＝（1+x）[1+x+x（x+1）] ＝（1+x）[（1+x）+x（x+1）] ＝（1+x）（1+x）（1+x） ＝（1+x）3， 共应用提公因式法2次， 故答案为：2； （2）1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2024 ＝（1+x）+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+⃯+x（1+x）2024 ＝（1+x）[1+x+x（1+x）2+x（1+x）3+⃯+x（1+x）2023] ＝（1+x）2[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2022] ＝（1+x）3[1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）2022] ＝..． ＝（1+x）2025． （3）由（2）可总结规律：每多一项x（1+x）n，提取公因式后指数增加1，最终结果为（1+x）n+1． ∴1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3+…+x（1+x）n（n为正整数）＝（1+x）n+1， 故答案为：（1+x）n+1； （4）5+52+53+…+52023 4（5+52+53+…+52023） （4×5+4×52+4×53+…+4×52023）（5+4×5+4×52+4×53+…+4×52023﹣5） [1+4+4×（1+4）+4×（1+4）2+4×（1+4）3+…+4×（1+4）2023﹣5] [（1+4）2024﹣5] ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，理解已知的计算过程和正确得出次数变化规律是解题关键． 【作业 5】（2026秋•重庆校级同步）若一个四位自然数N的各数位上的数字均不为0，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．若将N的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为N′，且F（N）． （1）若四位数A为“美美数”，其中，则四位数A＝　9234　 ； （2）规定G（N），若“美美数”N满足为整数，则满足条件的N的最大值与最小值的和为　13724　 ． 【分析】根据“美美数”定义得到各数位数字的关系，结合F（N）和G（N）的定义计算，第一问求解x，y得A；第二问推导得为整数，分别找出满足条件的最大N和最小N，求和即可． 【解答】解：（1）若一个四位自然数N的各数位上的数字均不为0，且千位上的数字与百位上的数字的差等于十位上的数字与个位上的数字的和，那么称这样的四位数为“美美数”．则： 由为“美美数”， 得9﹣x＝y+4， ∴y＝5﹣x， ∴A＝9000+100x+10y+4 ＝9004+100x+10（5﹣x） ＝90x+9054， 对调后得A′，千位为y，百位为4，十位为9，个位为x， ∴A′＝1000y+100×4+10×9+x ＝1000（5﹣x）+490+x ＝﹣999x+5490， ∵F（A）＝522， ∴， 解得：x＝2， 则y＝5﹣2＝3， ∴A＝9234； 故答案为：9234； （2）规定G（N），若“美美数”N满足为整数， 对于“美美数”， 得a﹣b＝c+d， 即a＝b+c+d，其中a，b，c，d都是1到9的整数， ∴N＝1000a+100b+10c+d＝1100b+1010c+1001d，N'＝1000c+100d+10a+b＝11b+1010c+110d， 计算得，， ∴， 由题意得是整数， 即35d﹣10c是4的倍数， 要使N最大，可以假设a最大， 当a＝9时，b＝9﹣c﹣d， 要b最大，则c+d最小， 当c＝1，d＝1时， ∵35d﹣10c＝35×1﹣10＝25，不是4的倍数，不满足条件， 当c＝1，d＝2时， ∵35d﹣10c＝35×2﹣10＝60，是4的倍数，满足条件， 此时b＝9﹣1﹣2＝6， ∴最大N＝9612， 要使N最小，可以假设a最小， 当a＝3时，可得b＝c＝d＝1， ∵35d﹣10c＝35×1﹣10×1＝25，不是4的倍数， ∴不满足； 当a＝4时， 要b最小，则b＝1， ∴c+d＝3，取c＝1，d＝2， ∵35d﹣10c＝35×2﹣10×1＝60，是4的倍数， ∴满足条件， ∴最小N＝4112，因此最大值与最小值的和为9612+4112＝13724． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业 6】（2025秋•武汉期末）若a﹣b＝﹣1，ab＝6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为 　6　 ． 【分析】通过因式分解将原式化为 ab（a﹣b）2，再代入已知条件计算． 【解答】解：∵ab＝6，a﹣b＝﹣1， ∴原式＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2 ＝6×（﹣1）2 ＝6×1 ＝6． 故答案为：6． 【点评】本题主要考查因式分解的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2026•沙坪坝区校级开学）若一个四位数M的各个数位上的数字均不相同，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个四位数M为“公能数”，记M各数位上的数字之和为F（M）．若是“公能数”，且，则四位数是　7542　 ；A、B均为“公能数”，A＝1000a+100b+10c+d，B＝1000x+800﹣10c+y（1≤a，x，c≤9，0≤b，d，y≤9，且a，b，c，d，x，y均为整数），若a3+b2+F（A）+F（B）＝50，且F（B）能被8整除，则满足条件的A的值为　1357　 ． 【分析】先根据公能数的定义和数字和条件列出二元一次方程组，求解出各个数位数字，再验证数位不重复，从而求出符合条件的四位数； 先利用公能数定义推导F（A）、F（B）表达式，结合整除约束确定c的可能值，再代入等式分类讨论，筛选数位不重复且等式成立的四位数． 【解答】解：是公能数，F（m5n2）＝m+5+n+2＝18， ∴m+n＝11， ∵公能数定义：千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和， ∴m+2＝5+n，化简得到m﹣n＝3， 联立两个方程，解得m＝7，n＝4， ∴四位数是7542，四个数字7、5、4、2互不相同，符合公能数定义． 故答案为：7542； ∵A为公能数，， ∴a+d＝b+c，F（A）＝a+b+c+d＝2（b+c）， ∵B＝1000x+800﹣10c+y，变形为B＝x7（10﹣c）y，B为公能数， ∴x+y＝7+（10﹣c）＝17﹣c，F（B）＝x+7+（10﹣c）+y＝2（17﹣c）＝34﹣2c， ∵F（B）可以被8整除，1≤c≤9， ∴c可取1、5、9，对应F（B）为32、24、16， ∵a3+b2+F（A）+F（B）＝50，a是千位正整数，a3＜50， ∴a只能取1、2、3， 分情况讨论：∵当c＝5，F（B）＝24，a＝1时， 解得b＝3，d＝7，得到 A＝1357，数字互不重复， 代入验证等式成立， ∴满足条件的A的值为1357． 故答案为：1357． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 【作业 8】（2026春•江北区校级期末）一个四位自然数M，各个数位上的数字互不相等，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为9，则称M为“九九数”．例如：四位数5346，因5+4＝3+6＝9，所以5346是“九九数”；又如四位数3257，因为3+5≠9，所以3257不是“九九数”．则最小的“九九数”是　1089　 ．对于一个“九九数”，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“九九数”N，记．若为整数，则满足条件的M的最大值与最小值的差为　8019　 ． 【分析】设“九九数”M的千位数字为a，百位为b，十位为c，个位为d，由定义得a+c＝b+d＝9，且a，b，c，d互不相等，对于第一空，要使M最小，则要保证千位数字最小，取a＝1，则c＝8，再令b最小即可得到最小的M；对于第二空，根据题意用含a、b的式子表示出M、N，进而表示出，结合是整数得到4（a﹣1）+b是11的倍数，设4（a﹣1）+b＝11k，k为整数，可求出0≤4（a﹣1）+b≤37，故11k的可能取值为0，11，22，33，讨论11k的值，从而确定对应情形下a、b的值，进而确定符合题意的M的值，最后比较即可得到答案． 【解答】解：设“九九数”M的千位数字为a，百位为b，十位为c，个位为d，由定义得a+c＝b+d＝9，且a，b，c，d互不相等，要使M最小，首先要保证千位数字最小， ∴取a＝1，则c＝8， 当取b＝0，d＝9时，此时能保证M最小，即最小的“九九数”是1089； 由定义得c＝9﹣a，d＝9﹣b， M＝1000a+100b+10c+d＝990a+99b+99， N＝1000c+100d+10a+b＝9900﹣990a﹣99b， ∴， ∴ ， ∵为整数， ∴4（a﹣1）+b是11的倍数； 设4（a﹣1）+b＝11k，k为整数， ∵新的“九九数”N的千位数是c， ∴c≠0， 又∵a+c＝9， ∴a≤8， 又∵1≤a≤9， ∴1≤a≤8， 又∵0≤b≤9， ∴0≤4（a﹣1）+b≤37， 故11k的可能取值为0，11，22，33． 当11k＝0时，得a＝1，b＝0，满足数位互不相等，a+b≠9，对应M＝1089． 当11k＝11时，4a+b＝15，则a＝2，b＝7或a＝3，b＝3（舍去）， 当a＝2，b＝7时，c＝7＝b，不符合题意； 当11k＝22时，4a+b ＝ 26， 若a＝5，b＝6，则对应M＝5643， 若a＝6，b＝2，则对应M＝6237． 当11k＝33时，4a+b＝37 若a＝7，b＝9，则对应M＝7920， 若a＝8，b＝5，则对应M＝8514． 若a＝9，b＝1，则对应M＝9108 ∴所有符合条件的M中，最小值为1089，最大值为9108，差为9108﹣1089＝8019． 故答案为：1089，8019． 【点评】本题考查了因式分解的应用，理解新定义，熟练掌握整式的运算是关键． 【作业 9】（2026•武侯区校级开学）我们定义：如果一个正整数能表示为两个连续整数的平方和与1的差，则称这个正整数为“比肩数”，例如：12+22﹣1＝4，22+32﹣1＝12，32+42﹣1＝24，所以4，12，24都是“比肩数”．设两个连续正整数中较小的数为n，对应的“比肩数”记为Bn．当n＝4时，“比肩数”为　40　 ；请用含n的代数式表示“比肩数”Bn为　2n2+2n ． 【分析】根据“比肩数”的定义，两个连续正整数中较小数为n时，较大数为n+1，代入定义式计算化简即可． 【解答】解：根据“比肩数”的定义，两个连续正整数中较小数为n可知： 当n＝4时，相邻的较大正整数为4+1＝5， 根据“比肩数”的定义计算得： 42+52﹣1＝16+25﹣1＝40， 因此n＝4时，“比肩数”为40． 推导含n的代数式时，较大的连续正整数为n+1， 代入定义得：． 展开并化简：． 故答案为：40，2n2+2n． 【点评】本题考查了新定义、因式分解的应用，熟练掌握以上知识点是关键． 【作业 10】（2026•罗湖区校级开学）按要求完成以下问题． （1）分解因式：a3﹣4ab2； （2）若ab＝0，那么a＝0或b＝0．利用这个结论，我们可以解决以下问题：△ABC的三边a，b，c满足（b﹣c）a2+（b﹣c）b2﹣（b﹣c）c2＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解即可； （2）对等式左边分解因式即可判断． 【解答】解：（1）原式＝a（a2﹣4b2） ＝a（a+2b）（a﹣2b）； （2）△ABC是等腰三角形或直角三角形；理由如下： ∵（b﹣c）a2+（b﹣c）b2﹣（b﹣c）c2＝0， ∴（b﹣c）（a2+b2﹣c2）＝0， 根据题中“若ab＝0，则a＝0或b＝0”的结论，得b﹣c＝0或a2+b2﹣c2＝0， 即b＝c或a2+b2＝c2， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用，正确进行计算是解题关键． 【作业 11】（2026秋•单元）已知：a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2）．求证：这个三角形是等边三角形． 【分析】将已知式子展开得到2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0，再将式子因式分解为（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0，即可证明． 【解答】解：∵（a+b+c）2＝3（a2+b2+c2）， ∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝3a2+3b2+3c2， ∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc＝0， ∴（a2+b2﹣2ab）+（a2+c2﹣2ac）+（b2+c2﹣2bc）＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝0， ∴a＝b＝c， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴这个三角形是等边三角形． 【点评】本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解题的关键． 【作业 12】（2026春•西城区校级期中）定义：对任意一个两位数a，如果a满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一个“迥异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为f（a）．例如：a＝12，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为21+12＝33，和与11的商为33÷11＝3，所以f（12）＝3．根据以上定义，回答下列问题： （1）填空：①下列两位数：20，33，84中，“迥异数”为 　84　 ；②计算：f（35）＝　8　 ． （2）如果一个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2k+2，且f（b）＝11，请求出“迥异数”b． （3）如果一个“迥异数”c，满足c﹣5f（c）＞35，请求出所有满足条件的c的值． 【分析】（1）①根据定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零”，可以确定84是“迥异数”，而20和33不是． ②根据所给定义代入并运算就可以求得f（32）的值． （2）根据“迥异数”的定义代入可得f（b）的值为3k+2＝11，可求得k＝3，再出b的值为38． （3）先设c的个位为n，十位为m，可以代入求得f（c）的值为m+n．再根据c﹣5f（c）＞35，可求得关于m和n的不等式，再对m、n进行讨论就可以求得c的值． 【解答】解：（1）①由定义“个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为迥异数”可知，20，33，不符合定义a＝84， 对调个位数字与十位数字得到新两位数48，新两位数与原两位数的和为84+48＝132，和与11的商为132÷11＝12，所以f（84）＝12． ∴“迥异数”为84．②f（35）＝（35+53）÷11＝8． 故答案为：84，8． （2）∵这个“迥异数”b的十位数字是k，个位数字是2（k+1），∴b＝10×k+2（k+1）＝12k+2．将这个数的个位和十位调换后为：10×2（k+1）+k＝21k+20，∴f（b）＝（12k+2+21k+20）÷11＝3k+2，又f（b）＝11，∴3k+2＝11，∴k＝3．故这个“迥异数”b＝12k+2＝38． （3）设这个“迥异数”c的个位为n，十位为m，则m≠n，且m，n均为大于1小于10的正整数．则c＝10m+n，调换个位和十位后为：10n+m，故f（c）＝（10m+n+10n+m）÷11＝m+n， ∵c﹣5f（c）＞35， ∴10m+n﹣5（m+n）＞35．整理得：5m﹣4n＞35， ∴m， 又∵m≤9， ∴9， 解得：n＜2.5， 又n为正整数，故n＝1或2，当n＝1时，m＝8或9，此时c＝81或91；当n＝2时，m＝9，此时c＝92； 故所有满足条件的c有：81或91或92． 【点评】本题主要考查学生对新定义的理解和运用，还考查了列代数式和解不等式的知识，解题关键是需要讨论不等式的整数解． 【作业 13】（2026•山西模拟）阅读与思考 下面是小颖同学数学笔记中的内容，请认真阅读并完成相应的任务． 构造和差对偶式解决复杂代数问题 对偶法，是一种通过发现和构造在代数结构上具有某种对称关系的一对或者一组式子，然后对这些式子进行恰当的运算进而获得结论的数学方法．有时，我们可以根据问题中代数式的结构，构造形如ax+by和ax﹣by的和差对偶形式、具体探究如下： 探究：例题：已知a+b＝10，求a2﹣b2+20b+8的值． 解：我们从a+b＝10这个式子的结构出发，构造a＝5+m，b＝5﹣m（m为实数）的对偶式． a2﹣b2+20b+8 ＝（5+m）2﹣（5﹣m）2+20×（5﹣m）+8 ＝25+10m+m2﹣（25﹣10m+m2）+100﹣20m+8 ＝25+10m+m2﹣25+10m﹣m2+100﹣20m+8 ＝108． 应用：… 任务： （1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是B ． A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 （2）已知a+b＝﹣8，请根据材料中构造和差对偶式的思路，求a2﹣b2﹣16b+22的值． （3）已知，求的值． 【分析】（1）根据转化思想解答即可； （2）仿照材料中的例题解答过程解答即可； （3）仿照材料中的例题解答过程解答即可． 【解答】解：（1）材料中的例题解答过程中体现的一个数学思想是转化思想； 故选：B． （2）a2﹣b2﹣16b+22 ＝（﹣4+m）2﹣（﹣4﹣m）2﹣16×（﹣4﹣m）+22 ＝16﹣8m+m2﹣（16+8m+m2）+64+16m+22 ＝16﹣8m+m2﹣16﹣8m﹣m2+64+16m+22 ＝86； （3） ＝（2+m）2﹣（2﹣m）2+8（2﹣m）+1 ＝4+4m+m2﹣（4﹣4m+m2）+16﹣8m+1 ＝4+4m+m2﹣4+4m﹣m2+16﹣8m+1 ＝17． 【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 14】（2026•南京）求证：当n为整数时，（n+2）2﹣（3n+4）能被2整除． 【分析】先把原式展开、合并同类项，化简得到n2+n；对化简后的式子因式分解，得到n（n+1）；因为n是整数，n和n+1是连续整数，必有一个是偶数，所以这个乘积能被2整除，即可得证． 【解答】解：（n+2）2﹣（3n+4） ＝n2+4n+4﹣3n﹣4 ＝n2+n ＝n（n+1）， 因为n为整数， 所以n、n+1是相邻两个连续整数， 所以两数一共是一奇一偶， 所以n（n+1）是偶数， 所以（n+2）2﹣（3n+4）能被2整除． 【点评】本题考查因式分解的应用，解决本题的关键是先将原式展开并合并同类项，再分析结果是否能被2整除． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $