精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 2025.11 一､单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. 不存在 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的图像可得倾斜角. 【详解】直线的图像与轴垂直， 故其倾斜角为. 故选：B 2. P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】首先将椭圆方程化成标准形式，进而得出椭圆长半轴长，再根据椭圆定义即可求解. 【详解】解：对椭圆方程变形得，易知椭圆长半轴的长为4， 由椭圆的定义可得, 又，故. 故选：A. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算，以为基地表示出，从而确定的值即可. 【详解】， ， ， . 故选：B 4. 若直线与圆相切，则的值是（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 【答案】C 【解析】 【分析】解方程即得解. 【详解】解：由题得圆的圆心坐标为半径为1， 所以或. 故选：C 5. 某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ） A. 规则一，规则二 B. 规则一，规则三 C. 规则二，规则三 D. 规则一，规则二，规则三 【答案】B 【解析】 【分析】计算出三种规则下甲发球和乙发球的概率，当两人发球的概率均为时，该规则对甲、乙公平，由此可得出正确选项. 【详解】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的； 对于规则二，记个红球分别为红，红，个黑球分别为黑、黑， 则随机取出个球的所有可能的情况有 （红，红），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（红，黑），（黑，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记个红球分别为红、红、红，则随机取出个球所有可能的情况有 （红，红），（红，红），（红，黑），（红，红），（红，黑），（红，黑），共种， 其中同色的情况有种，所以两人发球的可能性均为，是公平的. 因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三. 故选：B. 6. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】因为直线， 当时，，此时，即可以推出， 当时，，解得或， 又时，，此时，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】依题意以、、为基底，表示出、、，再根据数量积的运算律计算可得. 【详解】依题意，所以， ，， 所以 . 故选：A 8. 已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（ ） A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，直线恒过点，所以点到直线的距离的最大值可转化为点到定点的距离，根据两点间的距离公式，求解即可. 【详解】当变化时，直线恒过定点，所以点到直线的距离的最大值为， 即，解得或. 故选：D． 9. 已知圆的弦的中点坐标为，直线交轴于点，则（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得且，应用点到直线线的距离公式、弦长公式求得，即可求. 【详解】由题设，圆心，半径为，又的中点坐标为，易知， 所以，即，令，则，即， 到直线的距离，则， 而到的中点的距离为，所以. 故选：A 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得边上的高线，垂直平分线和中线合一，其“欧拉线”为边的垂直平分线，运用中点坐标公式和两直线垂直的关系，求得边上的垂直平分线方程，再由点到直线的距离公式结合圆的对称性得出答案. 【详解】解：因为在中， 所以边上的高线、垂直平分线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线 因为点，点，所以 因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为 所以的垂直平分线方程为，即 因为“欧拉线”与圆相切 所以可得圆心到“欧拉线”的距离为 圆心到直线的距离为 由圆的对称性可知，圆上的点到直线的距离的最小值为 故选：A 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用距离公式得出圆心到直线的距离，再由对称性得出最小值. 二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知向量，，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以， ， 故答案为：， 12. 经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线方程求出交点坐标，利用两直线垂直的条件求出斜率，点斜式写出直线方程. 【详解】联立，解得， 因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率为， 所以所求直线方程，即 故答案为： 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆方程的特征列式计算求解. 【详解】依题意，，由可得， 因该方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知圆与圆相交，写出满足条件的实数的一个取值为__________. 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据两圆方程得出圆心距与两圆半径之间的关系，解不等式可得出实数的取值范围. 【详解】易知圆的圆心为，半径为； 圆可化为，圆心为，半径为； 若两圆相交可得，即可得， 解得， 所以实数的一个取值可以为1. 故答案为：1 15. 如图，在棱长为4的正方体中，O为和的交点，点N在线段上，，E，F分别为棱和的中点． 给出下列四个结论： ①若点是线段上一动点，则直线平面； ②若点是平面内一点，且满足，则点的轨迹是椭圆； ③若点为平面内一点，且满足，则的最小值为； ④过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方体的性质，运用几何法利用面面平行推出线面平行，判断结论①，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角相等结合余弦定理判断结论②，利用平面的法向量垂直推出面面垂直判断结论④，利用几何法推出面面垂直进而判断结论③． 【详解】 是正方体，， ，平面，平面， 平面平面， 平面，则直线平面，故①正确； 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 正方体棱长为4，， ， 设点， ， ，，即， 即， 即， 化简整理得，即，，表示平面内的圆弧，非椭圆，故②错误； ， 是等边三角形， 连接，则，， 平面，平面，， ，又， 平面平面， ，的轨迹是， 当时，取得最小值，最小值为，故③正确； 以为坐标原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为4，分别取的中点， ， ， 设平面的法向量为，则，令，则， 设平面法向量为，则，令，则， ，，故平面平面， 平面即为该截面， ，平面为梯形， ， ， ，故平面为等腰梯形，故④正确． 故答案为：①③④． 三､解答题（本题共6小题，共85分） 16. 已知直线过点，且__________. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为. （1）求直线的一般式方程； （2）若直线与曲线相交于两点，求弦长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）选①，先得到点在圆上，从而根据垂直关系求出直线的斜率，得到直线的一般式方程；选②，求出，从而得到直线的一般式方程；选③，根据直线的一个方向向量求出的斜率，求出直线的一般式方程； （2）求出圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长. 【小问1详解】 若选①：因为，故点在圆上， 且圆心与连线的斜率为， 因为直线与圆相切，所以直线的斜率为2； 所以直线的一般式方程为； 若选②：设直线的倾斜角为，由得； 故直线的斜率； 所以直线的一般式方程为； 若选③：因为直线的一个方向向量为，所以的斜率； 所以直线的一般式方程为 【小问2详解】 曲线，即； 故为圆，圆心为，半径为； 则圆心到直线的距离为； 所以弦长. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线线平行得到线面平行即可证明； （2）由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，由线面角的夹角向量公式求出直线与平面夹角的正弦值即可求出角度； （3）在（2）基础上，由点到平面距离向量公式求出答案. 【小问1详解】 因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以， 直线与平面夹角的正弦值为， 则直线与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为. 18. 值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 【答案】（1）派甲参赛赢得比赛的概率更大 （2） 【解析】 【分析】（1）分别求解两位选手胜出的概率，比较大小可得结论； （2）先求两人均输掉比赛的概率，结合对立事件可得答案. 【小问1详解】 甲赢得比赛的概率为，乙赢得比赛的概率为， 因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大； 【小问2详解】 甲未赢得比赛的概率为，乙未赢得比赛的概率为， 所以两人均未赢得比赛的概率为， 所以两人中至少有一人赢得比赛的概率为. 19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为棱的中点，为棱上一点． （1）求证：无论点在棱的任何位置，都有成立； （2）若为中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若为中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见详解； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面，然后得到； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可； （3）设，得到，然后利用空间向量和平面列方程，解得即可. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， ∴， 【小问2详解】 取中点，连接，， ∵平面，平面， ∴， ∵为中点，为等边三角形， ∴，， ∵平面平面，平面， ∴平面， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， 如图，以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，, ∵平面， ∴可以作为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则， 令，则，，， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，，， 设，则， ∵平面， ∴，解得， 所以在棱上存在点使∥平面，此时. 20. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】（1）或 （2）①；②证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知：圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①分析可知，即可得方程；②设直线的方程为，设、，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. 【小问2详解】 ①若线段AB的中点为，可得，即， 可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②由（1）可知：直线的斜率存在， 设直线的方程为，即，点、， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 则 . 所以为定值． 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 【答案】（1）具有，理由见解析 （2）不存在，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合具有性质的特征，即可根据集合中的元素进行检验求解， （2）假设集合具有性质，分别考虑时，集合中的元素，即可根据的定义求解. （3）根据假设存在使得，考虑当时以及时，分量为1的个数即可讨论求解. 【小问1详解】 因为，同理． 又，同理． 所以集合具有性质． 【小问2详解】 当时，集合中的元素个数为．由题设． 假设集合具有性质，则 ①当时，，矛盾． ②当时，，不具有性质，矛盾． ③当时，． 因为和至多一个在中；和至多一个在中； 和至多一个在中，故集合中的元素个数小于，矛盾． ④当时，，不具有性质，矛盾． ⑤当时，，矛盾． 综上，不存在具有性质的集合． 【小问3详解】 记，则． 若，则，矛盾．若，则，矛盾．故． 假设存在使得，不妨设，即． 当时，有或成立． 所以中分量为的个数至多有． 当时，不妨设． 因为，所以的各分量有个，不妨设． 由时，可知，，中至多有个， 即的前个分量中，至多含有个． 又，则的前个分量中，含有 个，矛盾． 所以． 因为， 所以． 所以． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市顺义牛栏山第一中学2025-2026学年第一学期期中考试 高二数学试卷 2025.11 一､单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. 不存在 D. 2. P是椭圆上一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 9 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，若，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 4. 若直线与圆相切，则的值是（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 5. 某比赛为两运动员制定下列发球规则： 规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球； 规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球； 规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则对甲、乙公平的有（ ） A. 规则一，规则二 B. 规则一，规则三 C. 规则二，规则三 D. 规则一，规则二，规则三 6. 设，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．则与分别等于（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 已知，直线：，当变化时，点到直线的距离的最大值为，则（ ） A. 3或7 B. 3或8 C. 2或7 D. 2或8 9. 已知圆的弦的中点坐标为，直线交轴于点，则（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 10. 瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二､填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 已知向量，，则___________，___________． 12. 经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为______． 13. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为________. 14. 已知圆与圆相交，写出满足条件的实数的一个取值为__________. 15. 如图，在棱长为4的正方体中，O为和的交点，点N在线段上，，E，F分别为棱和的中点． 给出下列四个结论： ①若点是线段上一动点，则直线平面； ②若点是平面内一点，且满足，则点的轨迹是椭圆； ③若点为平面内一点，且满足，则的最小值为； ④过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形． 其中所有正确结论的序号是__________． 三､解答题（本题共6小题，共85分） 16. 已知直线过点，且__________. 在下列所给的三个条件中，任选一个补充在题中的横线上，并完成解答. ①与圆相切；②倾斜角的余弦值为；③直线的一个方向向量为. （1）求直线的一般式方程； （2）若直线与曲线相交于两点，求弦长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求点到平面的距离． 18. 值我校建校七十五周年之际，学校组织了丰富多彩的活动.为了响应号召，高二年级举办了知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为.甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. （1）从甲､乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？ （2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 19. 如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面平面，为棱的中点，为棱上一点． （1）求证：无论点在棱的任何位置，都有成立； （2）若为中点，求平面与平面夹角的余弦值； （3）若为中点，在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由． 20. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，. （1）若直线过点，求直线的方程； （2）①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值. 21. 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质． （1）判断集合是否具有性质？说明理由； （2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明； （3）若集合具有性质，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $