精品解析：河南省濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试题

濮阳市一高高二年级（2024级）上学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 2. 在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意易知是的中位线，即， 所以. 故选：C 3. 椭圆的焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程写出，利用公式即可求得. 【详解】由可得，则椭圆的长半轴长为短半轴长为， 则其焦距为. 故选：B. 4. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. 15 B. 23 C. 21 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准方程形式，确定圆，圆的圆心和半径，根据条件可得两圆外切，结合圆的位置关系列方程求. 【详解】的标准形式为. 所以，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切， 所以，解得. 故选：B. 5. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中点到直线的距离的向量求法求解即可. 【详解】依题意，得，． 因此在上得投影长为， 所以点到直线的距离为． 故选：B． 6. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求出直线过定点，作出图象，求出和，数形结合可得或，即可求解. 【详解】由可得：， 由可得，所以直线：过定点， 作出图象如图所示： ，， 若直线与线段相交，则或， 所以实数的取值范围是或， 故选：B 7. 自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于轴的对称点的坐标，求出过点圆的切线斜率乘积即可． 【详解】因为关于轴的对称点为， 题中反射光线与圆相切，即为过点的圆的切线，切线斜率显然存在， 设切线方程为，即， 圆标准方程为，即圆心为，半径为， 则，化简得，所以． 故选：D． 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】由条件可得为正三角形，继而得出直线为线段的垂直平分线，写出直线的方程为并与椭圆方程联立，得到韦达定理，由利用弦长公式推出，结合图形将化简转化，利用椭圆的定义即可求得. 【详解】 如图，连接因为，即，， 因，则为正三角形. 又，则直线为线段的垂直平分线，故，，且， 故直线的方程为，代入椭圆的方程，得. 设，则，， 则， 解得，则， . 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据条件，求出平面方程，在判断点是否在平面上. 【详解】方法一：根据题意，平面的方程为：， 即. 对A：因为，所以点在平面内，故A正确； 对B：因为，所以点不在平面内，故B错误； 对C：因为，所以点不在平面内，故C错误； 对D：因为，所以点在平面内，故D正确. 方法二：对A：设，则，因为，所以在平面内，故A正确； 对B：设，则，因为，所以点不在平面内，故B错误； 对C：设，则，因为，所以点不在平面内，故C错误； 对D：设，则，因为，所以点在平面内，故D正确. 故选：AD 10. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为3 C. 的周长为12 D. 的最大值为16 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，，根据焦半径范围判断B，根据椭圆定义可判断C，根据基本不等式可判断D. 【详解】由椭圆可得：， 所以，故离心率为，故A正确； 根据椭圆焦半径取值范围可知：，故B错误； 根据椭圆的定义可知：的周长为，故C正确； 根据基本不等可得：，取等号条件是，故D正确； 故选：ACD. 11. 下列说法中错误的有（ ） A. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为. B. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是. D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，､为切点，则四边形面积最小值为. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，联立直线方程得到两直线的交点，有题意讨论，第三直线也过同一个交点，或第三直线分别与前两条直线平行，即可求得所有可能得取值组成的集合；B选项，先得到直线斜率一定存在，然后设直线方程，写出按题意平移后的直线方程，得到方程解得斜率；C选项，求出圆心到直线的距离，由题意列出不等式，解得半径的取值范围；D选项，由对称性先表示出四边的面积，通过边之间的关系找到何时面积取得最小值，求出面积最小值. 【详解】A选项，联立直线方程，解得， ①当点在直线上，即，； ②当两直线平行时，即，此时直线平行； ③当两直线平行时，即，此时直线平行； ∴实数所有可能的取值组成的集合为，A选项错误； B 选项，当直线斜率不存在时，显然不成立，故直线斜率存在， 设直线，则平移后的直线方程为，即， 由题意可知，即，B选项正确； C选项，圆心为，圆心到直线的距离， 要使得圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则，即，C选项正确； 对于D，圆的圆心，半径， 设四边形的面积为，根据对称性可知， 因为，所以当最小时，最小，也最小， 当垂直于直线时，最小，即， 此时，，故D错误. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由平行直线间的距离公式求解 【详解】由两直线与平行可知，解得， 直线，即， 所以两直线之间的距离. 故答案为： 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义结合空间向量数量积的坐标表示计算即可. 【详解】空间向量，，则向量在向量上的投影向量为： . 故答案为： 14. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合面面垂直的性质定理与线线垂直的性质定理可得，则可设，，结合向量线性运算可得；结合向量模长与数量积的关系，计算可得. 【详解】因四边形正方形，故，而平面平面， 平面平面，平面，故平面， 而平面，故． 设，则，其中， 由题设可得： ； ，故， 当且仅当即时等号成立，故 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标是，为的中点. （1）求中线的方程；（用一般式表示） （2）求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据两点式方程即可得解； （2）根据截距相等分类讨论，设出直线方程，代入点即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 故的方程是，即； 【小问2详解】 由直线在坐标轴上截距相等， 若直线过原点，设直线方程为， 代入，可得，所以直线方程，即； 若直线不过原点，设直线方程为， 代入，可得， 所以直线方程为，即. 综上，经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行； （1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以平面. 【小问2详解】 易知为平面的一个法向量，且. . 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意直接求解即可； （2）联立两圆方程，求出公共弦方程，即可求出. 【小问1详解】 设，由题意得: ， 化简得：. 【小问2详解】 圆与圆的方程联立，得到方程组， ②-①，得，即为直线的方程. 圆心到直线的距离， 又圆的半径为， ∴由勾股定理，得，故. 18. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则， 则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）. （2），或， 【解析】 【分析】（1）（i）根据所给新定义，利用圆心到直线距离等于半径得解； （ii）转化为圆与直线有公共点列出不等式求解即可； （2）根据新定义，可得出圆的方程，再设轴上存在定点，，使得，化简可知方程有解，求解即可得出点的坐标. 【小问1详解】 （ⅰ）因为圆：是集合的包络圆， 所以圆心到直线的距离为2， 所以. （ⅱ）由及，可得圆与直线有公共点， 所以. 所以的取值范围是. 小问2详解】 设，由题意可知：点到直线的距离是与无关的定值， 所以为无关的定值. 所以，故，此时. 所以圆：. 设，则即. 假设轴上存在点、，使得， 即， 即恒成立， 所以，解得或. 所以，或，. 【点睛】关键点点睛：解决此类题目，关键在于理解所给的新定义，利用新定义去解决问题，对能力要求较高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高二年级（2024级）上学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点且与直线垂直直线的方程为（ ） A B. C. D. 2. 在空间四边形中，分别是的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆焦距为（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知圆与圆恰有三条公切线，则（ ） A. 15 B. 23 C. 21 D. 17 5. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ） A B. C. D. 6. 已知点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为P，离心率为.过点且垂直于的直线与C交于两点，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的最小值为3 C. 的周长为12 D. 的最大值为16 11. 下列说法中错误的有（ ） A. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为. B. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. C. 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是. D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，､为切点，则四边形面积最小值为. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两平行直线与之间的距离为__________. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______. 14. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点M，N分别在正方形对角线和上移动，且（）．则线段的长的最小值为________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点坐标是，为的中点. （1）求中线的方程；（用一般式表示） （2）求经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.（用一般式表示） 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 18. 已知椭圆，，且离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 19. 若集合A表示由满足一定条件的全体直线组成的集合，定义：若集合A中的每一条直线都是某圆上一点处的切线，且该圆上每一点处的切线都是A中的一条直线，则称该圆为集合A的包络圆． （1）若圆是集合的包络圆． （ⅰ）求a，b满足的关系式； （ⅱ）若，求t的取值范围； （2）若集合的包络圆为C，P是C上任意一点，判断y轴上是否存在定点M，N，使得，若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $