精品解析：河南省长葛市2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025～2026学年上学期期中质量监测 八年级数学 注意事项： 1．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：四个汉字中只有“善”字可以看作轴对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键. 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 3. 若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系，根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， ∴第三边可能为4， 故选：B． 4. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，领补角互补及三角板角度的有关计算，根据对顶角，领补角及余角逐个计算即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 选项A：，，，故不符合题意， 选项B：，，，故不符合题意， 选项C：，不一定相等，符合题意， 选项D：，故不符合题意， 故选：C． 5. 小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ） A. 2653 B. 5623 C. 3562 D. 3265 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 6. 下列三角形中全等的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是准确识别三角形中边与角的对应关系（两边及其夹角）． 确认各三角形中、边与角的位置，判断是否为两边的夹角，进而用判定全等． 【详解】解：A、①②：①中与的夹角为，②中与的夹角为，两边及夹角对应相等，满足判定，此选项符合题意； B、C、D选项均不满足两三角形全等的判定条件，均不符合题意； 故选：A． 7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（ ）． A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C. 角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D. 角的平分线上的点到角两边的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，理解角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键． 过两把直尺的交点P作，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图：过两把直尺的交点P作， ∵两把完全相同的长方形直尺， ∴， ∴平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）． 故选C． 8. 如图，在△ABC中，，是高，若，，则的长是（ ）． A. 6 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质、同角的余角相等等知识点，熟记直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 先说明，，再根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵，CD是高，， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，交于点O，连接．若，那么的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 如图，连接，由分别是边的垂直平分线可得，则、、，由，则，进而得到，然后再运用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是边的垂直平分线 ∴， ∴、、， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 10. 如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】①分别用外角减去内角表示∠ACB和∠APB，即可得到结论； ②根据角平分线的性质和三角形的面积公式即可求出结论； ③根据线段垂直平分线的性质即可得结果； ④根据角平分线的性质和平行线的性质即可得到结果． 【详解】解：①∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE， ∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∠PBE=∠PAB+∠APB， ∴∠CAB+∠ACB=2（∠PAB+∠APB）， ∴∠CAB+∠ACB=2∠PAB+2∠APB， ∴∠ACB=2∠APB；故①正确； ②过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，如图所示： ∴PM=PN=PS， ∴PC平分∠BCD， ∵S△PAC：S△PAB=（AC•PN）：（AB•PM）=AC：AB，而AC：AB不一定等于PC：PB， ∴S△PAC∶S△PAB不一定等于PC∶PB，故②错误； ③∵BE=BC，BP平分∠CBE， ∴BP垂直平分CE，故③正确； ④∵PG∥AD， ∴∠FPC=∠DCP， ∵PC平分∠DCB， ∴∠DCP=∠PCF， ∴∠PCF=∠CPF，故④正确． 综上分析可知，①③④正确，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和定义，平行线的性质，线段的垂直平分线的判定，等腰三角形的性质等． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了关于y轴对称点的坐标．根据关于y轴对称点的坐标特点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 13. 如图，中，，，边的垂直平分线分别与边交于点D，E，连接，则_________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键。 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，由线段垂直平分线的性质得，得出，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴． 故答案为：15． 14. 如图，射线平分，点D在射线上，于点P，，Q是上一点，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与三角形面积公式，解题的关键是利用角平分线上的点到角两边的距离相等，确定阴影三角形的高．根据角平分线性质得点到的距离等于，再结合三角形面积公式计算阴影部分面积． 【详解】解：∵射线平分，点在上，， ∴点到的距离等于． 阴影部分为，其面积为． 故答案为：． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，交于点E，当点E恰好在的垂直平分线上时，_________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，即，由垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据等边对等角、三角形外角的性质可得、；易得、，进而得到关于的方程求解即可． 【详解】解：如图：连接，即， ∵点E恰好在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得：． 故答案为：36． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 求出下列各图形中x的值． （1） （2） 【答案】（1）110 （2）60 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形外角的性质，解题的关键是根据内角和及外角性质建立方程求解． （1）利用三角形内角和求出，再结合邻补角关系求； （2）利用“三角形外角等于不相邻两内角和”列方程求解． 【小问1详解】 解：∵三角形内角和为， ∴， 解得，． ∵与互为邻补角， ∴； 【小问2详解】 解：∵三角形外角等于与它不相邻的两内角的和， ∴， 化简得， 解得． 17. 已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． （1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）①②③或①③④（写出一种情况即可） （2） 证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 18. 如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，若A点坐标为，C点坐标为，按要求解答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点B的坐标； （2）作出关于x轴的对称图形； （3）的面积为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查作图——轴对称变换、三角形的面积、平面直角坐标系等知识点，掌握轴对称变换的性质、会用分割法求三角形面积是解题的关键． （1）根据A点、点C的坐标确定平面直角坐标系，然后确定点B的坐标即可； （2）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，然后顺次连接即可； （3）直接运用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意建立平面直角坐标系如图所示，则； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 【小问3详解】 解：． 故答案为：5． 19. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下步骤进行：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出要证的结论和途径，写出证明过程．请你结合以上信息，完成对命题“如果三角形一边上的中线等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”的证明． 如图，已知，是边的中线，__________． 求证是直角三角形． 证明： 【答案】 ， 证明：∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了中线的定义、等边对等角、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先根据题意补充；由中线的定义可得，易得；由等边对等角可得，再利用三角形内角和定理可得，进而证明结论． 【详解】略 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）∠DAE∠DAC＝40° 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线与角平分线的尺规作图方法即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到DB＝DA，求出∠CAD=80°，再利用角平分线的性质即可求解． 【详解】解：（1）如图，点D，射线AE即为所求． （2）∵DF垂直平分线段AB ∴DB＝DA ∴∠DAB＝∠B＝30° ∵∠C＝40° ∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110° ∴∠CAD＝110°﹣30°＝80° ∵AE平分∠DAC ∴∠DAE∠DAC＝40°． 【点睛】此题主要考查垂直平分线与角平分线，解题的关键是熟知尺规作图的方法． 21. 如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 【答案】74cm 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，根据含30度角的直角三角形的性质可得cm, 同理可得，BF＝31cm，然后结合图形即可求解． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F， 在Rt△ACE中，∠ACE＝30°， ∴AE＝AC＝×62＝31（cm）， 同理可得，BF＝31cm， 又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm， ∴31+12+31＝74（cm）， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 22. 如图,是等边三角形，E是边上一点，连接，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用等边三角形的边角关系证明三角形全等，进而推导线段等量关系． （1）利用等边三角形得、及，证得； （2）结合等边三角形性质，将的周长转化为，代入数值计算． 【小问1详解】 证明： ∵是等边三角形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． ∴，即．在和中， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴． ∵是等边三角形，， ∴． 由（1）知， ∴的周长． 答：的周长为． 23. 发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． （1）如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； （2）如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； （3）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； （4）如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 【答案】（1）＝ （2） （3）2 （4）27 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据三角形面积等于底乘高的一半即可解答； （2）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可解答； （3）由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，设，则，．根据即可求解； （4）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出的面积即可． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴与等底同高， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：，理由如下： 由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：由（2）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的， 设，则，． ∴． 故答案为：2． 【小问4详解】 解：∵G是的重心， ， ∵，， ， ∵， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年上学期期中质量监测 八年级数学 注意事项： 1．请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 2．选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑． 3．非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1. 在一些汉字的美术字中，有的是轴对称图形．下面四个美术字中可以看作轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 若三角形的两边长分别为2和3，则第三边的值可能是（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 4. 将一副三角板如图摆放，则和不一定相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（ ） A. 2653 B. 5623 C. 3562 D. 3265 6. 下列三角形中全等的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④ 7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”小明的做法，其理论依据是（ ）． A. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 B. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 C. 角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上 D. 角的平分线上的点到角两边的距离相等 8. 如图，在△ABC中，，是高，若，，则的长是（ ）． A. 6 B. 8 C. 5 D. 4 9. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，交于点O，连接．若，那么的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC∶S△PAB＝PC∶PB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是_____． 12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 13. 如图，中，，，边的垂直平分线分别与边交于点D，E，连接，则_________． 14. 如图，射线平分，点D在射线上，于点P，，Q是上一点，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，交于点E，当点E恰好在的垂直平分线上时，_________． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 求出下列各图形中x的值． （1） （2） 17. 已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． （1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； （2）在（1）的条件下，求证：． 18. 如图，方格纸上的每个小方格都是边长为1的正方形，的顶点均在格点上，若A点坐标为，C点坐标为，按要求解答下列问题： （1）在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点B的坐标； （2）作出关于x轴的对称图形； （3）的面积为______． 19. 一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下步骤进行：①明确命题中的已知和求证；②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；③经过分析，找出由已知推出要证的结论和途径，写出证明过程．请你结合以上信息，完成对命题“如果三角形一边上的中线等于这边长的一半，那么这个三角形是直角三角形”的证明． 如图，已知，是边的中线，__________． 求证是直角三角形． 证明： 20. 如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°． （1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D； ②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数． 21. 如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度． 22. 如图,是等边三角形，E是边上一点，连接，以为边向上作等边，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 23. 发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案． （1）如图2，是的中线，与等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： （填＞、＜或＝）； （2）如图3，若三条中线交点为G，则也是的中线，利用上述结论可得：，同理，．若设，，，猜想a，b，c之间的数量关系为：__________； （3）如图3，被三条中线分成六个小三角形，点G为的重心，则 ； （4）如图4，点D、E在的边上，交于G，G是的重心，，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $