专题14 平行线的判定与性质的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14平行线的判定与性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 压轴专练 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结(2点) 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关 系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：己知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从 线的关系推角的关系。 解题技巧(2点) 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1.(24-25七年级上江苏淮安期末)如图，直线a,b分别与直线m,n相交，∠1=50°，∠2=50°. 、m (1)请判断直线a与b的位置关系，并说明理由： (2)若∠3=70°，则∠4=—° 【变式1-1】如图，己知∠1=48°，∠2=132°，∠C=∠D 1/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E如 (I)求证：BD∥CE; (2)若∠F=35°，求∠A的度数 【变式1-2】(24-25八年级上陕西渭南·期末)如图，在四边形BCDE中，A为CB延长线上一点，连接AD 交BE于点F,且∠A=∠ADE. E D B (1)若∠EDC=3∠C,求∠C的度数： (2)若LC=∠E,求证：BE∥CD. 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结(2点) 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角。 解题技巧(2点) 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角一→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例2.(24-25七年级下·全国课后作业)如图，直线AB∥CD,BEC是一条折线段，BP平分∠ABE. B 个 图① 图② (I)如图①，若BP∥CE,探究∠BEC和∠DCE的数量关系； (2)CQ平分∠DCE,直线BP,CQ交于点F 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图②，探究∠E和∠F的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线AB,CD之间时，若∠BEC=40°，直接写出∠BFC的度数. 【变式2-1】如图，已知AM∥BN,∠A=60°.点P是射线AM上一动点（与点A不重合）、BC,BD分 别平分∠ABP和∠PBN,分别交射线AM于点C,D. D -M B N (1)求∠CBD的度数 (2)当点P运动到使∠ADB=40°时，求∠APB的度数， (3)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化.请写出它们之间的关系， 并说明理由；若变化，请写出变化规律， (4)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是多少？为什么？ 【变式2-2】(24-25七年级上山西临汾期末)综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动.如图1，这是 凹透镜的剖面图，从位于点O发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线BA,CD都是水平线，即BA∥CD. wuuw M -D 图1 图2 【探索发现】 (1)如图1，∠ABO,∠OCD,∠BOC之间的数量关系为 【深入探究】 (2)如图2，直线AB∥CD,E,G分别为直线AB,CD上的点，F是平面内的任意一点，连接EF,GF. P,Q都是直线CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线MN∥FG,交FQ于点K,试猜想∠FKN与 ∠PFE之间的数量关系，并说明理由 (3)在(2)的条件下，若∠NKQ=∠AEF,试探究∠CPF与∠EFK之间的数量关系. 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结(2点) 1.性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定 值。 2.判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧(2点) 1.锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2.排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例3.如图1，直线l∥I,点A,B在直线上，点C、D在上，线段AD交线段BC于点E,且 ∠BED=60° h- D 图1 图2 (1)求证：∠ABE+LEDC=60°； (2)如图2，当F,G分别在线段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE,∠EDG=2LGDC,标记∠BFE为∠1， LBGD为∠2. ①若∠1-∠2=16°，求∠ADC的度数； ②当k为何值时，(k∠1+∠2)为定值，并求此定值， 【变式3-1】如图1，∠EFH=90°，点A、C分别在射线FE和FH上，AB∥CD. E A 一E B A一E B A B D D H 图1 图2 图3 (1)若∠FAB=150°，则∠HCD=-: (2)小明同学发现：无论∠FAB如何变化，∠FAB-∠HCD的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助 线作法：如图2，过作A作AM∥FH,交CD于M.请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅 助线)，确定该定值，并说明理由； 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，若把题干中的“LEFH=90°改为“∠EFH=120°”，其它条件保持不变，试猜想∠FAB与∠HCD的 数量关系，并说明理由， 【变式3-2】今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”.“灯光秀”为了强化灯光效果， 某地在河的两岸安置了可旋转探照灯.如图1，灯A射线AE自AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯 B射线BF自BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射.若灯A转动的速度是3°/秒，灯B 转动的速度是1°/秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即PQ∥MN,且 ∠BAN=45°. B 0 BDP MA MA 图1 图2 (1)∠EAN=°（用含t的式子表示）； (2)当1=55时，求∠BCA的度数： (3)如图2，在灯A射线已转过AB但未到达AN时.若两灯射出的光束交于点C,过C作CD⊥AC交PQ于 点D,在转动过程中，∠BCD:∠BAC的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由， 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结(2点) 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度(30°、45°、60°、90°)，结合平行线判定，通过角的关 系证两直线平行。 2.用平行推未知角：己知平行线时，依据性质，结合三角尺的己知角，通过等量代换或互补关系求未知 角。 解题技巧(2点) 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例4.(2425七年级上江苏宿迁·期末)如图，将一副三角板的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°. 5/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图① 图② 备用图 (1)如图①，点E在直线BC的上方，若∠BCD=25°，则∠ACD=°，∠ACE=一°； (2)如图②，点E在直线BC的下方，若CE∥AB,求∠BCD的度数； (3)若保持三角板ABC不动，三角板DCE绕直角顶点C顺时针旋转一周，当CE∥AB时，直接写出∠BCD的 度数 【变式4-1】(24-25九年级上辽宁铁岭期中)将一副直角三角板如图1，摆放在直线MW上（直角三角板 ABC和直角三角板EDC,∠EDC=90°，∠DEC=60°，∠ABC=90°，∠BAC=45°)，保持三角板EDC不动， 将三角板ABC绕点C以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t秒，当AC与射线CN重合时停止旋转. B B A M E M E Q D D 图1 图2 (1)如图2，当AC为∠DCE的角平分线时，求此时t的值： (2)当AC旋转至∠DCE的外部时，求∠DCA与∠ECB的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板ABC的其中一边平行于三角板EDC的某一边时，求此时1等于一（直接写 出答案即可). 【变式4-2】(24-25七年级上·黑龙江绥化阶段练习)三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两 块直角三角板的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当0°<∠ACE<90°，且点E在直线AC的上方 时，解决下列问题：（友情提示∠A=60°，∠D=30°，∠B=∠E=45°）. 6/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为-： ②若∠ACB=140°，则∠DCE的度数为- (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，请说明理由： 3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况？若存在，请直接写出∠ACE的度数的所有可能的值；若不 存在，请说明理由. 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结(2点) 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与 其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关 系，求解问题。 解题技巧(2点) 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推 导。 例5.如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中P,Q是直线1上的两个激光灯， ∠APQ=∠BQP=60°，现激光PA绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，同时激光QB绕点Q以每秒3°的速度 顺时针旋转，设旋转时间为t秒0<1<100，当AP∥QB时，t的值为 【变式5-1】将一副三角板如图放置（其中AD<BC,且∠B=45°，∠E=30°），在ABAC保持不动的前提 2 下，ADE绕点A旋转，当DE∥BC时，∠BAE的度数为 7/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式5-2】(24-25七年级上江苏宿迁期末)绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出 不同舞台灯光.光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨Q、b上分别安 置了可以旋转的光速灯A和C,光速灯A的光束AB按每秒6°的速度顺时针旋转180°便立即回转，光速灯C 的光束自CD以每秒2°的速度顺时针旋转180°便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转， 当光速灯A旋转时间为」 秒时，两束光线平行. A B -a b D C 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上广东中山期中)如图，在ABC中，∠C=60°，直线DE经过点A,且DE∥BC.若 ∠DAB=20°，则∠BAC的度数为() D AE B A.70 B.80° C.90° D.100° 2.(2025·福建福州模拟预测)在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含30°角的直 角三角尺的顶点D放在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且BC∥DF,则∠BDE的大小为() 8/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.10 B.15 C.20° D.25 3.(24-25七年级下陕西榆林期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,连接BD,DB平分∠ADC, 点E为CB延长线上一点，连接AE,∠ABE的平分线BG交DA的延长线于点G,交AE于点F,且 GB⊥BD.则∠C与∠G之间的数量关系为() G E B A.∠C=∠G B.2LC=∠G C.∠C=2LG D.ZC=3LG 二、填空题 4.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点 C落在C的位置上，若∠BFE=65°，则∠AEB的度数为」 5.(24-25七年级下·河北石家庄·期中)将三角板CDE如图所示放置，∠CED=90°，∠CDE=30°， 0°<∠AOB<90°，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M,且点M在点D的左 侧.若∠MDC的平分线DF交OB边于点F,且CE∥OA时，则∠OFD与∠AOB之间的数量关系为」 6.(23-24七年级上河南周口·期末)一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含45°角的三角尺ADE固定不 动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A按箭头方向转动至图2位置（点B在EA的延长线上）的过程中，当 BC与三角形ADE的边所在直线平行时，∠CAE的度数为 9/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A B 图1 图2 三、解答题 7.(22-23七年级下陕西安康·期末)如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交 于点H,∠C=∠EFG,∠CED=LGHD. M B G -D (1)求证：AB∥CD; (2)若ED⊥FG于点H,∠D=30°，求∠AEM的度数. 8.(24-25七年级下·四川雅安阶段练习)如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中 ∠A=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°. 备用图 (1)若∠BCD=150°，求∠ACE的度数； (2)试猜想LBCD与∠ACE的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE,试探究LBCD等于多少度时，CD∥AB,并简要 说明理由， 9.(24-25七年级下·福建福州期末)如图1，直线MN上点P位于点Q的左侧，点A,B位于MN的上方， 点C,D位于MN的下方，在点A,B,C,D位置变化的过程中始终保持∠CPD=∠AQB=45°. 10/12 专题14 平行线的判定与性质的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 压轴专练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 方法总结（2点） 1.判定用“角”定“平行”：看同位角、内错角相等或同旁内角互补，由此判定两直线平行，是从角的关系推线的关系。 2.性质用“平行”推“角”：已知两直线平行，可直接得同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，是从线的关系推角的关系。 解题技巧（2点） 1.先辨类型再下手：读题先判断是判定（证平行）还是性质（求角），避免混淆推导方向。 2.标记图形找关系：在图中圈出已知角、对顶角或邻补角，快速关联判定或性质所需的角。 例1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线分别与直线相交，，． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法进行说明即可； （2）根据平行性的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得出，再由平行线的性质得出，进而求出的度数； （2）根据，得出，得，再由，得出，由此可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴． 即． （2）证明：∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 方法总结（2点） 1.判定角度定平行：通过找同位角、内错角相等或同旁内角互补，先确定角的关系，再推导两直线平行。 2.性质平行推角度：已知直线平行，直接利用性质得出同位角、内错角相等或同旁内角互补，从线推角。 解题技巧（2点） 1.抓关键角建联系：识别对顶角、邻补角等，将已知角转化为判定或性质所需的“关键角”。 2.逆顺结合破题：证平行用“角→线”的顺向思维，求角用“线→角”的逆向思维，按需切换。 例2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 【变式2-1】如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不变，，理由见解析 (4)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （4）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， 所以的度数为． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （3）解：不变，，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 方法总结（2点） 1. 性质推导定值：已知平行线，用“平行→角相等/互补”，结合对顶角、邻补角等量代换，推导角度定值。 2. 判定辅助定角：未知平行时，先证平行（找角相等/互补），再用性质关联已知角，确定角度不变值。 解题技巧（2点） 1. 锁定不变条件：圈出题目中“始终平行”“固定点”等不变量，以此为核心推导角度。 2. 排除干扰角：忽略无关角，聚焦与平行线、已知固定角直接相关的角，简化计算。 例3．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 【变式3-1】如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 【变式3-2】今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值； 【知识点】实际问题中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、求一个角的补角 【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和， （1）根据题意得，则， （2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 故答案为：； （2）解：过点C作，如图， 则， 当时， ∴， ∵， ∴； （3）解：设A灯转动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的比值是一个定值，这个定值为． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 方法总结（2点） 1.借三角尺定已知角：利用三角尺固定角度（30°、45°、60°、90°），结合平行线判定，通过角的关系证两直线平行。 2.用平行推未知角：已知平行线时，依据性质，结合三角尺的已知角，通过等量代换或互补关系求未知角。 解题技巧（2点） 1.动态问题抓静态角：三角尺平移/旋转时，紧盯其不变的内角，以此为桥梁关联平行线相关角。 2.标注角名建等式：在图中给关键角标序号，将角度关系转化为等式，避免混淆。 例4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 【变式4-1】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 【变式4-2】（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 方法总结（2点） 1.定旋转中的不变角：抓住旋转图形（如三角尺、射线）的固定内角，结合平行线判定，通过不变角与其他角的关系证平行。 2.用平行锁定变量角：已知平行线时，依据性质，结合旋转角的变化规律，推导变量角的等量或互补关系，求解问题。 解题技巧（2点） 1.画旋转前后对比图：标注旋转前后的对应角，清晰区分不变角和变化角，避免混淆角度关系。 2.设旋转角为参数：用字母表示旋转角，通过平行线性质列等式，将几何问题转化为代数计算，简化推导。 例5．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 【答案】12或48或84 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键． 分情况讨论： ①，在直线l上方，得； ②在直线l下方，直线l上方，得； ③，都在直线l下方，得； ④，在直线l上方和下方，得，分别解方程即可． 【详解】解：分情况讨论： ①当，在直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ②当在直线l下方，直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ③当，都在直线l下方时，如图： 当时，则， ， ； ④当在直线l上方，直线l下方时，如图： 当时，则， ， （舍去）， 为12或48或84， 故答案为：12或48或84． 【变式5-1】将一副三角板如图放置（其中，且），在保持不动的前提下，绕点A旋转，当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算；分两种情况：当在点A和之间时，延长交于点F；当在点A上方时，延长交于点F， 利用平行线的性质即可求解． 【详解】当在点A和之间时， 延长交于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 延长交于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或． 【变式5-2】（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东中山·期中）如图，在中，，直线经过点A，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得出，再根据平角的定义即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2025·福建福州·模拟预测）在同一平面内，将直尺和一副直角三角尺按如图方式摆放，若含角的直角三角尺的顶点D放在含角的直角三角尺的斜边上，且，则的大小为（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，由平行线的性质得出，由角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 3．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，点E为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点G，交于点F，且．则与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算.根据平行线的性质，结合角平分线平分角，得到，，根据平角的定义结合垂直和角平分线，推出，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，的平分线交的延长线于点G， ∴，， 由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即. 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠，使点与点重合，点落在的位置上．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，属于常考题型． 根据平行线的性质可得，利用折叠的性质可得，再利用平角的定义即可解决问题． 【详解】解：∵由题意可知：， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）将三角板如图所示放置，，，，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．若的平分线交边于点，且时，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由得，由，得，所以，由得，且，由角平分线的定义得，最后根据即可得解． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ，且， 平分， ， ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·河南周口·期末）一副直角三角尺如图1所示叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点按箭头方向转动至图2位置（点在的延长线上）的过程中，当与三角形的边所在直线平行时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质和判定、角的运算，根据与三角尺的一直角边平行，分以下两种情况讨论，①时，②当时，根据这两种情况，分别利用平行线的性质求解，即可解题． 【详解】解：①时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 有， ， ， ， 故答案为：或． 三、解答题 7．（22-23七年级下·陕西安康·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． (1)求证：； (2)若于点H，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质． （1）根据同位角相等，两直线平行可得，再根据平行线的性质可得，再等量代换可得，进而证出结论； （2）结合（1）根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·四川雅安·阶段练习）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中，，． (1)若，求的度数； (2)试猜想与的数量关系，请说明理由； (3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究等于多少度时，，并简要说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)或，理由见详解． 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解决本题的关键． （1）根据直角可求解的度数，再由即可求解； （2）根据直角表示，再由即可求解； （3）分情况讨论，根据平行线的判定定理，即“同旁内角互补，两直线平行”和“内错角相等，两直线平行”，由此求解即可 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵ ∴， ∵ ∴， 即； （3）解：当为或时，， 由“同旁内角互补，两直线平行”，如图， 即， ∵， ∴； 由“内错角相等，两直线平行”，如图， 即， ∵， ∴； ∴当为或时，． 9．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图1，直线上点P位于点Q的左侧，点A，B位于的上方，点C，D位于的下方，在点A，B，C，D位置变化的过程中始终保持． (1)和是否可能为对顶角______（填“是”或“否”）； (2)若点A在点B左侧，点C在点D左侧，当时，请在图2中补全图形，试判断与的位置关系，并说明理由； (3)若点A在点B左侧，当时，若设，，直接写出α与β之间的数量关系． 【答案】(1)否 (2)图见解析，，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质与判定． （1）根据角的定义即可解答； （2）根据平行线的性质求得，计算得到，利用平行线的判定定理即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，利用平行线的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点P位于点Q的左侧， ∴点P与点Q不共点， ∴和没有公共顶点， ∴和不可能为对顶角， 故答案为：否； （2）解：补全图形，如图， ，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：分以下四种情况： 当点A在点B左侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B左侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D左侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 当点A在点B右侧，点C在点D右侧，如图， ∵， ∴， ∴， 整理得； 综上，α与β之间的数量关系为或或． 10．（25-26八年级上·河南郑州·期中）小熙和小组同学根据平行线的知识开展课题学习活动． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】一种路灯的示意图如图2，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角度数为，顶部支架与灯杆所成锐角度数为，的度数为______．（用含，的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据得，继而得，结合，得即可证明． （2）根据平行线的性质，等式性质解答即可． （3）过E作，利用平行线的性质，等式的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等式的性质，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：，理由如下： ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． （3）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图1、图2，直线，被射线所截，且，P是射线上的定点，点Q在射线上，连接，过点Q作，与直线交于点E，且． (1)如图1，当点Q与点N重合时，求的度数； (2)若点Q在线段上（点Q不与点M，N重合）． ①依题意，在图2中补全图形； ②猜想与之间的数量关系，并证明； (3)当点Q在线段的延长线上，且时，求的度数． 【答案】(1) (2)①答案见解答过程；②，证明见解答过程 (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，垂直定义，角的计算，熟练掌握平行线的性质，垂直定义，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）根据得，再根据，得，然后根据可得出答案； （2）①依题意补全图形即可； ②过点作，想证明，则，，进而得，由此可得与之间的数量关系； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况：①当在点的右侧时，过点作，先求出，再证得，，然后根据可得出答案；②当点在点的左侧时，过点作，先求出，同理，，然后根据可得出答案，综上所述即可得出的度数． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， ， ； （2）解：①依题意补全图形如图2所示： ②与之间的数量关系是：． 证明如下：过点作，如图3所示： ， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）当点在线段的延长线上，且时，有以下两种情况： ①当在点的右侧时，过点作，如图4所示： ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ； ②当点在点的左侧时，过点作，如图5所示： ， ， ， ， 同理：，， ， ． 综上所述：的度数为或． 12．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）实践与探究： 材料：一副直角三角尺，记作：和，其中，，． (1)操作一：如图①，将三角尺按如图摆放，其中点C、D、A、F在同一条直线上，另两条直角边所在的直线分别为、，与相交于点O，则的大小为 度； (2)操作二：保持、不变，将图①中的三角尺经过适当平移旋转，得到的位置如图②所示，点B在上，点F在上，点A与点E重合，点C与点D重合，若，求的度数； (3)操作三：如图③，将图①位置的三角尺绕点B以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点F以每秒的速度顺时针旋转，设运动时间为t秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边或）平行，求出所有满足条件的t值． 【答案】(1)105 (2) (3)20或50或80 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形添加平行线的辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质得到，利用同旁内角互补，两直线平行可得，则有，利用平行线的性质得到，再利用角的和差关系即可求解； （2）过点作，利用角的和差关系得到，利用平行线的性质可得，设，则，，列出关于的方程，求出的值即可解答； （3）根据题意分3种情况讨论：①且在上方；②且在下方；③，画出对应的示意图，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 由题意得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：105； （2）解：如图②，过点作， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：①当且在上方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ②当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ③当且在下方，如图，延长交于点， 由题意得，， 由①得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴综上所述，满足条件的t值为20或50或80． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $