专题4.2 平行线（一）（举一反三讲义）数学华东师大版2024七年级上册

本讲义聚焦平行线核心知识，构建从定义、画法到基本事实，再到判定（同位角、内错角相等，同旁内角互补）与性质（两直线平行时角的关系），最终综合运用的递进学习支架，脉络清晰。 资料以“举一反三”为特色，例题结合风车、晾衣架等生活实例，变式题分层设计，培养几何直观与推理意识，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺，提升应用能力与创新意识。

专题4.2 平行线（一）（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 平行线的定义及其画法】 2 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 4 【题型3 同位角相等，两直线平行】 6 【题型4 内错角相等，两直线平行】 9 【题型5 同旁内角互补，两直线平行】 12 【题型7 两直线平行，内错角相等】 18 【题型8 两直线平行，同旁内角互补】 21 【题型9 平行线的判定与性质的综合运用】 24 知识点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．如图，直线a，b互相平行，记作a//b． 知识点2 平行线的画法 利用三角板、直尺画平行线的步骤 一“落”：将三角板的一边落在已知直线a上，如图（1）； 二“靠”：用一把直尺紧靠在三角板的另一边上，如图（2）； 三“推”：推移三角板，使与已知直线a重合的那一边经过已知点P，如图（3）； 四“画”：沿过已知点的三角板的一边画直线，如图（4）． 则画出的直线b就是与直线a平行的直线，如图（5）． 【题型1 平行线的定义及其画法】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的概念的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的概念，即可求判断． 【详解】解：由图观察，直线与直线有交点，直线与直线没有交点， ∴其中可能与直线平行的直线是， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，是基础题，熟练掌握定义与性质是解题的关键．根据平行公理，平行线的定义，对顶角与邻补角，逐一分析作出判断． 【详解】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．故说法错误； （2）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．故说法错误； （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种，故说法正确； （4）相等的角不一定是对顶角，故说法错误． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，平行线的判定；解题的关键是理解题意．根据长方体的特征，即可得到与棱平行的棱． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有棱、棱、棱， 故选：B． 【变式1-3】（24-25七年级下·北京东城·期末）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 知识点3 平行线基本事实 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 【例2】如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 根据不平行于，来判定与的关系． 【详解】解：∵不平行于，， ∴不平行于（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行） 即所在的直线与地面相交． 故答案为：相交；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，来解答即可． 【详解】解：当时，；时，． ∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴N，P，M三点在同一条直线上， 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-2】在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【答案】在同一条直线上，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】此题考查了过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解：A，B，C三点在同一条直线上，如图所示． 理由：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行公理，根据平行公理进行作答即可． 【详解】解：由题意，这个基本事实是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 知识点4 平行线的判定1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型3 同位角相等，两直线平行】 【例3】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，木条、与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据对顶角相等可知，再结合“同位角相等，两直线平行”得出答案． 【详解】解：如图，有 ， 当时，， ∴． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是理解“推平行线”过程中同位角的关系与两直线平行的联系． 观察图形，明确与为同位角；分析“推平行线”时与的关系（保持相等）；依据同位角相等，两直线平行的判定定理，得出该方法的依据． 【详解】解：“推平行线”法中，通过直尺和三角板的移动，使与保持相等，而与是同位角．根据平行线的判定定理，当同位角相等时，两条直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点在直线上，且，若，与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】题目主要考查同角的余角相等及平行线的判定，根据题意得出，确定，结合平行线的判定即可证明 【详解】解：平行；     理由：因为， 所以.     又因为， 所以，     所以 【变式3-3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据对顶角相等可推得，根据角平分线的定义可得，推得，根据平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：；理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 知识点5 平行线的判定2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【题型4 内错角相等，两直线平行】 【例4】已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【答案】；；；；；；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，则可得，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵、分别平分与， ∴，（角平分线定义）． ∵， ∴． ∵， ∴．（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；；；；内错角相等，两直线平行． 【变式4-1】（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【变式4-2】如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，作垂线，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，则即为所求； （2）根据角平分线的定义以及平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由垂直的定义得，即得，进而得到，即可求解； （）利用余角性质可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，平行线的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（）知：， ∵， ∴， ∴． 知识点6 平行线的判定3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型5 同旁内角互补，两直线平行】 【例5】（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，对顶角相等．根据对顶角相等得出，，，，根据同旁内角互补，两直线平行逐个分析，即可得出与不是平行线、、与不是平行线，根据平行线的性质得出，根据同旁内角互补，两直线平行得出与不是平行线，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵直线与直线，相交，直线与直线，相交， ∴，，，， ∵， ∴与不是平行线；即A选项错误； ∵， ∴；即D选项正确； ∴， ∵， ∴与不是平行线；即B选项错误； ∵， ∴与不是平行线；即C选项错误； 故选：D． 【变式5-1】如图，，当 度时，． 【答案】 【分析】根据对顶角相等，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”进行填空． 【详解】当时， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角相等，同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 已知：如图，，若， 求证： 证明： ___________（垂直的定义） 又 ______________________ ___________（___________） ___________ ___________ ______________________ （___________） 【答案】；；；；同角的余角相等；；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由垂直的定义得，，整理得，因为，所以，故，运用同旁内角互补，两条直线平行得，即可作答． 【详解】证明：， （垂直的定义）， 又， ， （同角的余角相等）， ， ， ， ， （同旁内角互补，两条直线平行）． 【变式5-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平角的定义，几何图形中角度计算，平行线的判定等知识，掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）由平角定义，知，结合已知条件计算求解； （2）由平角为可求得，，由直角三角形性质，得，于是，所以． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴． 同理：． ∵， ∴． ∴． 知识点7 平行线的性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型6 两直线平行，同位角相等】 【例6】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【答案】， 【分析】本题主要考查平行线的性质，由，推出，再根据，推出的度数，然后根据两直线平行同旁内角互补即可推出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线及垂线的性质；两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 【变式6-2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质．先由平行线的性质可得，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，，结合和三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴． 故答案为：． 知识点8 平行线的性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【题型7 两直线平行，内错角相等】 【例7】如图，已知，与互为余角，， 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了余角的定义，平行线的性质，掌握余角的定义是解题的关键．由与互为余角，可求得，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：与互为余角，， ， ， ． 故答案为：． 【变式7-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质定理,熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键． 由题意得，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 【变式7-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知：如图，是的平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角． 直接利用平行线的性质得出，再利用角平分线的定义得出，然后等量代换得出答案． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 【变式7-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质，可知，，从而得证； （2）先根据，推出，然后利用，求得，接着利用平角，求得，根据（1）可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】（1）证明： ，， ，， ； （2）解： ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ． 知识点9 平行线的性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型8 两直线平行，同旁内角互补】 【例8】如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 【变式8-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：B． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【答案】与互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．由得，结合角平分线的定义可证，从而，然后根据两直线平行，同旁内角互补可得结论．． 【详解】解：与互补，理由如下： ， ，   平分， ， 同理，， ， ， ． 【变式8-3】完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（               ），     又∵（已知）， ∴（               ）， ∵（已知）， ∴___________（               ）， 又∵平分（已知）， ∴_____________（               ）， 又∵平分（               ）， ∴（  ）∠____________（               ）， ∴（________+_______）， ∴_______， ∴（               ）， 即． 【答案】两直线平行，内错角相等；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；角平分线的定义；已知；；；角平分线的定义；；；；等量代换 【分析】本题考查了平行线的性质．首先由平行线的性质得出，，，再由平分，平分得出，然后通过等量代换证出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， 又∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴（等量代换）， 即． 【题型9 平行线的判定与性质的综合运用】 【例9】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：． 理由：如图，过点作， ， ， ， ， 即． （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 【变式9-1】平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据平行线的性质和垂直的定义，结合角的和差关系求解．本题主要考查了平行线的性质以及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质和分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：情况一： ∵， ∴． ∵， ∴． 情况二： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 故答案为：或． 【变式9-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点．根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故正确的有：①②④． 故选：C． 【变式9-3】已知点在内部，为射线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，． ①求的度数； ②过点作，则___________； (2)如图2，点在线段的延长线上，过点作，请问与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，点在线段上，延长到点，与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；②或 (2)或，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握平行线的性质，三角形内角和定理以及分类讨论思想是解决问题的关键． （1）①先由平行线的判定定理可得，再由平行线的性质可得与，由此可求； ②分两种情况进行讨论，即当射线与射线的方向相同时，与射线与射线的方向相同时，两种情况进行讨论即可求解． （2）添加辅助线构造平行线，分两种情况进行讨论，即当射线与射线的方向相同时，与当射线与射线的方向相同时，两种情况进行讨论，由此可解； （3）添加辅助线构造平行，根据角平分线定义可设，，再根据平行线的性质可得，，，由此可得数量关系． 【详解】（1）①过点作，如图1所示： ， ， ， ， 又，， ，， ； ②过点作，有以下两种情况： （ⅰ）当射线与射线的方向相同时，过点作交于， 如图1①所示： 由①可知：，， ， ， ， ； （ⅱ）当射线与射线的方向相同时，过点作交的延长线于， 如图1②所示： 由②（ⅰ）可知：， ， 综上所述：或， 故答案为：或． （2）解：与的数量关系是：或，理由如下： 过点作，有以下两种情况： （ⅰ）当射线与射线的方向相同时，设于交于点， 如图2①所示： ， ， ， ， ， ； （ⅱ）当射线与射线的方向相同时，设与交于点， 如图2②所示： ， ， ， ， ， ， 综上所述：与的数量关系是：或； （3）解：与的数量关系是：，理由如下： 延长交于，过点作交于，如图所示： 平分，平分， 设，， 则，，， ，， ， ， 又， ， ，，， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2 平行线（一）（举一反三讲义） 【华东师大版2024】 【题型1 平行线的定义及其画法】 1 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 3 【题型3 同位角相等，两直线平行】 4 【题型4 内错角相等，两直线平行】 5 【题型5 同旁内角互补，两直线平行】 7 【题型7 两直线平行，内错角相等】 9 【题型8 两直线平行，同旁内角互补】 11 【题型9 平行线的判定与性质的综合运用】 12 知识点1 平行线的定义及平面内两直线的位置关系 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．如图，直线a，b互相平行，记作a//b． 知识点2 平行线的画法 利用三角板、直尺画平行线的步骤 一“落”：将三角板的一边落在已知直线a上，如图（1）； 二“靠”：用一把直尺紧靠在三角板的另一边上，如图（2）； 三“推”：推移三角板，使与已知直线a重合的那一边经过已知点P，如图（3）； 四“画”：沿过已知点的三角板的一边画直线，如图（4）． 则画出的直线b就是与直线a平行的直线，如图（5）． 【题型1 平行线的定义及其画法】 【例1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直线在同一平面内，且直线交于一点，其中可能与直线平行的直线是（   ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东淄博·阶段练习）下列说法中错误的个数是（    ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行 （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种 （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25七年级下·福建漳州·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·北京东城·期末）已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 知识点3 平行线基本事实 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 如图（1），经过直线a外一点P，能且只能画出一条直线与直线a平行．如图（2），假设过点P画出的两条直线b，c都与直线a平行（实际上这种情况是不存在的），那么说明直线b，c是同一条直线，依据就是平行公理． 【题型2 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行】 【例2】如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【变式2-1】（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图①，有一个可折叠的晾衣架放置在水平地面上，图②是其侧面示意图，其中是地面，当时，；时，．同时满足上述条件时，一定有N，P，M三点在同一条直线上，其依据是 ． 【变式2-2】在同一平面内，直线l的同侧有A、B、C三点，如果，那么A、B、C三点是否在同一直线上？为什么？ 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，小明在纸上画了两条平行线，又画了一条直线与相交于，小明觉得直线一定和相交．小明作出这个判断的依据是教材上的一个基本事实．这个基本事实是 ． 知识点4 平行线的判定1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简述为：同位角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型3 同位角相等，两直线平行】 【例3】（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，木条、与木条钉在一起，，转动木条，当 时，木条与平行． 【变式3-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是 【变式3-2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点在直线上，且，若，与平行吗？为什么？ 【变式3-3】（24-25六年级下·山东淄博·期中）如图所示，直线相交于点C，过点C作射线，使得平分． (1)若，求的度数； (2)连接，若，判断直线是否平行？并说明理由． 知识点5 平行线的判定2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简述为：内错角相等，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果（或），那么a//b． 【题型4 内错角相等，两直线平行】 【例4】已知，如图，，、分别平分与，且． 求证：，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明：∵、分别平分与， ∴________，________（角平分线定义） ∵， ∴________________． ∵， ∴________．（等量代换） ∴________________（   ）． 【变式4-1】（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是 ． 【变式4-2】如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【变式4-3】如图，点分别在上，连接，于点，． (1)求的度数； (2)若，求证：． 知识点6 平行线的判定3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简述为：同旁内角互补，两直线平行． 数学语言：如图，直线a，b被直线c所截，如果，那么a//b． 【题型5 同旁内角互补，两直线平行】 【例5】（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知直线，，，，，及它们的夹角如图所示，则图中互相平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，，当 度时，． 【变式5-2】（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据 已知：如图，，若， 求证： 证明： ___________（垂直的定义） 又 ______________________ ___________（___________） ___________ ___________ ______________________ （___________） 【变式5-3】如图，台球运动中1号球击中桌边的点，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点，再次反弹经过点（提示：）． (1)若，求的度数； (2)已知，1号球经过的路线与一定平行吗？请说明理由． 知识点7 平行线的性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．简述为：两直线平行，同位角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型6 两直线平行，同位角相等】 【例6】（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，，，求和的度数 【变式6-1】如图，已知，垂直于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25七年级下·四川南充·期末）如图，直线，将直角三角板的直角顶点放在直线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26七年级上·山东东营·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，，若，则 ． 知识点8 平行线的性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等．简述为：两直线平行，内错角相等． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么（或）． 【题型7 两直线平行，内错角相等】 【例7】如图，已知，与互为余角，， 度． 【变式7-1】（24-25九年级下·辽宁本溪·开学考试）图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形，座位和座椅靠背的夹角，小桌板支撑杆与桌面的夹角，则座椅靠背与小桌板支撑杆形成的夹角的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）已知：如图，是的平分线，点在上，点在的延长线上，，交于点．求证：． 【变式7-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）如图，与相交于点，，点，分别在和上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 知识点9 平行线的性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 数学语言：如图，如果a//b且直线a，b被直线c所截，那么． 【题型8 两直线平行，同旁内角互补】 【例8】如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【变式8-1】（2025·贵州遵义·一模）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，交于点，平分，平分，与互补吗？为什么？ 【变式8-3】完成下面的证明：已知，如图，，平分，平分，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（               ），     又∵（已知）， ∴（               ）， ∵（已知）， ∴___________（               ）， 又∵平分（已知）， ∴_____________（               ）， 又∵平分（               ）， ∴（  ）∠____________（               ）， ∴（________+_______）， ∴_______， ∴（               ）， 即． 【题型9 平行线的判定与性质的综合运用】 【例9】（24-25七年级上·河南周口·期末）综合与实践 如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是______． (2)写出之间的数量关系，并说明理由． (3)如图2，平分，平分．，直接用含的代数式表示的度数． 【变式9-1】平面内，的一边与的一边平行，另一边与的另一边垂直，则 ． 【变式9-2】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如图，，点在上，点在上，连接，平分，平分交于点，．给出下面四个结论：①；②平分；③；④．上述结论中，结论正确的序号（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【变式9-3】已知点在内部，为射线上一点，连接． (1)如图1，点在线段上，． ①求的度数； ②过点作，则___________； (2)如图2，点在线段的延长线上，过点作，请问与有何数量关系，并说明理由； (3)如图3，点在线段上，延长到点，与的角平分线所在的直线相交于点，请直接写出与的数量关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $